《圆的综合》（三）
1．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB． （1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
2．如图①，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝α（45°＜α＜90°，D为一点，连接CD交AB于点E．
（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求α的大小； （2）如图②，若点B恰好是
中点，求证：CE2＝BE•BA；
上
（3）如图③，将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问
是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
3．如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F． （1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，P为N，延长DC至点E，使得∠CPE＝∠PDC． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若OM•ON＝6，求AB的长．
上一点，PC、PD分别与直线AB交于M、
5．已知，ABCD为菱形，点A，B，D在⊙O上．
（Ⅰ）如图①，若CB，CD为⊙O的切线，求∠C的大小；
（Ⅱ）如图②，BC，CD与⊙O分别交于点E，点F，连接BF，若∠BDC＝50°，求∠CBF的度数．
6．如图，直角△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线OD交BC的延长线于点D，与⊙O的切线CE交于点E． （1）求证：EC＝ED；
（2）如果AC＝2BC＝4，求BD的长．
7．如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，且∠CAE＝∠B，⊙O经过点A、C、E． （1）求证AC＝AE； （2）求证AB与⊙O相切．
8．已知AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠CAB＝26°，连接BC． （1）如图1，若BD平分∠ABC，求∠ABC和∠ACD的大小；
（2）如图2，若点D为弧AC的中点，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点P，求∠P的大小．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长线上一点，且PA是⊙O的切线，A是切点． （1）求证：AP＝AB；
（2）若PD＝，求阴影部分的面积．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，过点B作BE⊥DC，交DC延长线于点E．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、EF． （1）当∠CFE＝45°时，求CD的长； （2）求证：∠BAC＝∠CEF；
（3）是否存在点D，使得△CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．
12．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°．
（Ⅰ）如图①，求∠CAB的度数；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E，求∠E的大小． 13．如图，AB为⊙O的直径，AC、BC是⊙O的两条弦，CE是⊙O的切线，且OE⊥AB交AC于点D．
（1）求证：CE＝DE．
（2）若⊙O的半径为8，CE＝6，求弦AC的长．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径作⊙O交AC于点H，E为AC上一点，且AB＝AE，BE交⊙O于点D，OD交AC于点F． （1）求证：DO⊥AC．
（2）若CE＝4，BC＝8，求DE的长．
15．如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．
（1）求证：∠ADE＝∠DBE；
（2）若sinA＝，BC＝6，求⊙O的半径．
参考答案
1．（1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠CAB＝90°， 又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°， ∵∠ADB＝30°，
∴OA＝OD＝（OB+BD）， ∵OA＝OB，BD＝2， ∴OA＝2， ∴AC＝2OA＝4． 2．解：（1）∵
＝
，
∴∠CAB＝∠CDB＝40°，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°，∠ABC＝∠ACB＝α， ∴α＝
（2）证明：∵点B是∴
＝
，
＝70°； 的中点，
∴∠DCB＝∠A， ∵∠ABC＝∠CBE， ∴△BCE∽△BAC， ∴
，
∴BC2＝BE•BA，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∠BEC＝∠ACD+∠A，∠BCD＝∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BEC， ∴CB＝CE， ∴CE2＝BE•BA； （3）是定值．
∵将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，
∴∠DCN＝2∠DCA，∠DCM＝2∠DCB，CN＝CD＝CM＝2r， ∴∠MCN＝2∠ACB＝2α，
过点C作CQ⊥MN于点Q，则MN＝2NQ，∠NCQ＝∠MCN＝α，∠CQN＝90°，
连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP＝90°， ∵
，
∴∠P＝∠ACB＝∠NCQ＝α， ∵AP＝CN，∠ABP＝90°＝∠NQC， ∴△ABP≌△NQC（AAS）， ∴AB＝NQ＝MN， ∴
，
为定值．
3．（1）证明：∵OC＝OA，D为AC的中点， ∴OD⊥AC，
∴∠DCE+∠DEC＝90°， ∵AB与⊙相切于点A， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， ∴∠FAB+∠B＝90°， ∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B， ∴∠CED＝∠AFB，
∵∠CED＝∠OEF，∠AFB＝∠OFE， ∴∠OEF＝∠OFE， ∴OE＝OF；
（2）解：∵sin∠AOD＝， ∴
，
设AD＝3x，OA＝5x， ∴OD＝4x， ∵OE＝OF＝3，
∴DE＝4x﹣3，AF＝5x﹣3， ∴AC＝2AD＝6x， ∴AB＝6x， ∵∠ACB＝∠B， ∴tan∠ACB＝tan∠B， ∴∴
解得x＝1， ∴AF＝2，AB＝6， ∴BF＝
＝
＝2
．
，
，
4．（1）证明：作直径PQ，连接CQ，
∴∠PCQ＝90°， ∴∠CPQ+∠Q＝90°，
∵＝，
∴∠Q＝∠D， ∵∠CPE＝∠D， ∴∠CPE＝∠Q， ∴∠CPQ+∠CPE＝90°， ∴PQ⊥PE， ∴PE是⊙O的切线； （2）解：∵CD⊥AB， ∴∠D+∠DNB＝90°， ∵∠DNB＝∠ONP， ∴∠D+∠ONP＝90°，
∵∠OPC+∠Q＝90°，∠Q＝∠D， ∴∠OPC＝∠ONP， 又∵∠PON＝∠PON， ∴△OPN∽△OMP， ∴
，
∴OP2＝OM•ON＝6， ∴OP＝∴AB＝2
， ．
5．解：（Ⅰ）如图①，连接OB、OD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠A＝∠C，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A， ∴∠BOD＝2∠C， ∵CB，CD为⊙O的切线， ∴OB⊥BC，OD⊥CD， ∴∠BOD+∠C＝180°， ∴2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝60°；
（Ⅱ）如图②，∵四边形ABCD为菱形，∠BDC＝50°， ∴∠BDA＝∠BDC＝50°，AB＝AD， ∴∠DBA＝∠BDA＝50°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵四边形ABFD是⊙O内接四边形， ∴∠CBF＝∠A＝80°．
6．（1）证明：连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE，
∴∠ECD+∠OCB＝90°， ∵OD⊥AB，
∴∠D+∠OBC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠ECD＝∠D， ∴EC＝ED；
（2）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2， 由勾股定理得，AB＝∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠D＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△ACB∽△DOB，
＝
＝2
，
∴＝，即＝，
解得，BD＝10．
7．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠D＝∠B，AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∵∠D＝∠B，∠CAE＝∠B， ∴∠D＝∠CAE， ∵∠AEC＝∠D+∠DAE， ∴∠ACD＝∠AEC， ∴AC＝AE；
（2）连接OA，OC，
∵OA＝OC，∠AOC＝2∠AEC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣2∠AEC）＝90°﹣∠AEC， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵∠ACD＝∠AEC， ∴∠BAC＝∠AEC， ∴∠BAC+∠OAC＝90°， 又∵点A在⊙O上， ∴AB与⊙O相切．
8．解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝26°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝64°， ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝32°， ∴∠ACD＝∠ABD＝32°， 即∠ABC＝64°，∠ACD＝32°；
（2）连接BD，DO，
由（1）知：∠ABC＝64°， ∵D为
的中点，
64°＝32°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABD＝32°，
∴∠POD＝∠ABD+∠ODB＝32°+32°＝64°， ∵PD切⊙O于D， ∴∠ODP＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠POD＝90°﹣64°＝26°． 9．（1）证明：连接OA，AD，
∵∠ACB＝60°， ∴∠ADB＝∠ACB＝60°， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°， ∵OB＝OA，
∴∠OAB＝∠ABD＝30°， ∴∠AOP＝∠ABD+∠OAB＝60°， ∵PA切⊙O于A， ∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝30°， 即∠P＝∠ABD， ∴AB＝AP；
（2）解：过O作OQ⊥AB于Q，
∵∠PAO＝90°，∠P＝30°， ∴OP＝2AO， ∵PD＝∴OD+
，OA＝OD， ＝2OA，
＝OB，
解得：OA＝OD＝
在Rt△BQO中，∠OQB＝90°，∠ABO＝30°，
∴OQ＝OB＝，
＝
＝
，
由勾股定理得：BQ＝∵OA＝OB，OQ⊥AB， ∴AB＝2BQ＝2×
＝
，
∵∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴阴影部分的面积S＝S
AOB﹣S△AOB＝
扇形
﹣×＝﹣
．
10．（1）证明：∵CD与⊙O相切于C， ∴OC⊥DC， ∵BE⊥DC， ∴BE∥OC， ∴∠EBC＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠EBC＝∠OBC， 即BC是∠ABE的平分线；
（2）解：过C作CM⊥BD于M， ∵BC是∠ABE的平分线，BE⊥CE， ∴CE＝CM，
∵OC⊥DC， ∴∠OCD＝90°，
∵DC＝8，OC＝OA＝6， ∴OD＝∵S△DCO＝
∴8×6＝10×CM， 解得：CM＝4.8， 即CE＝CM＝4.8．
11．（1）解：∵∠CDE＝∠CFE＝45°， ∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠CDA＝45°， ∴CD＝AC＝6；
＝
＝
＝10，
，
（2）证明：∵CF∥AB， ∴∠B＝∠FCB， ∵∠FCB＝∠DEF， ∴∠B＝∠DEF， 又∠BAC+∠B＝90°， ∵CD是圆O的直径， ∴∠CED＝90°， ∴∠DEF+∠CEF＝90°， ∴∠BAC＝∠CEF；
（3）解：存在点D，使得△CFE是CF为底的等腰三角形，则EF＝CE． 如图，连接FD，并延长和AB相交于G， 则∠EFC＝∠ECF，
∵四边形CEDF为圆内接四边形， ∴∠ADG＝∠ECF， 又∵∠CDE＝∠CFE， ∴∠ADG＝∠CDE， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DFC＝90°， ∵FC∥AB， ∴∠FGA＝90°， ∴∠FGA＝∠ACD， ∵AD＝AD，
∴△AGD≌△ACD（AAS）， ∴DG＝CD，AC＝AG＝6， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6， ∴BC＝
＝8，
在Rt△BDG中，设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4，DG＝CD＝x， ∵BG2+DG2＝BD2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3， 即CD＝3．
12．解：（1）如图①，连接BC，
由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝26°， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝64°；
（2）由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ADC＝52°， ∵EC是⊙O的切线， ∴∠ECO＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠AOC＝38°．
13．（1）证明：连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE，
∴∠ECD+∠OCA＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠ECD+∠OAC＝90°， ∵OE⊥AB，
∴∠ODA+∠OAC＝90°， ∴∠ECD＝∠ODA， ∵∠ODA＝∠EDC， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴CE＝DE；
（2）在Rt△OCE中，OE＝∴OD＝OE﹣DE＝OE﹣CE＝4， 在Rt△OAD中，AD＝∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
＝4
， ＝
＝10，
∵∠A＝∠A，∠AOD＝∠ACB， ∴△AOD∽△ACB， ∴
＝
，即
＝．
，
解得，AC＝
14．（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠OBD＝90°， 又∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠DEF， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODB+∠DEF＝90°， 即∠DFE＝90°， ∴DO⊥AC；
（2）解：设AB＝AE＝x， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2， ∵CE＝4，BC＝8，
∴（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6， ∴∴∴∴
，
， ， ，
∴∴
，
，
在Rt△DEF中，
15．（1）证明：连接OD，如图， ∵AC为切线， ∴OD⊥AD， ∴∠ODA＝90°， ∵BE为直径， ∴∠BDE＝90°，
∵∠DBE+∠BED＝90°，∠ADE+∠ODE＝90°， 而∠ODE＝∠OED， ∴∠ADE＝∠DBE；
（2）解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ACB中，sinA＝
＝，
．
∴AB＝BC＝×6＝10， ∵OD⊥AD，BC⊥AC， ∴OD∥BC， ∴△ADO∽△ACB， ∴
＝
，即，
． ＝，
解得r＝
即⊙O的半径为
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