二次函数常见题型

二次函数的常见题型

二次函数是高中数学的重要内容，在高考中所占比例很大．它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系在高三复习要时针对几类常见题型进行分析和归纳，才能解

决好这类题。

一．求二次函数的解析式 待定系数法

例1．二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

变：（人教A版第27页A组第6题）

若fxxbxc，且f10，f30，求f1的值．

2变式1：若二次函数fxaxbxc的图像的顶点坐标为2,1，与y轴的交点

2坐标为(0,11)，则

A．a1,b4,c11 B．a3,b12,c11 C．a3,b6,c11 D．a3,b12,c11

变式2：若fxxb2x3,x[b,c]的图像x=1对称，则c=_______．

2变式3：若二次函数fxaxbxc的图像与x轴有两个不同的交点Ax1,0、

2Bx2,0，且x1x222269，试问该二次函数的图像由fx3x1的图像向上平

2移几个单位得到？ 2．（北师大版第52页例2）图像特征

将函数fx3x6x1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及

2最大值或最小值，并画出它的图像．

变式1：已知二次函数fxaxbxc，如果fx1fx2(其中x1x2)，则

2xx2f1 2A．b2a B．ba C． c D．

4acb4a2

1

二次函数的常见题型

变式2：函数fxxpxq对任意的x均有f1xf1x，那么f0、2f1、f1的大小关系是

y

f1f1f0

A．

B．f0f1f1

C

．

f1f0f1

D．f1f0f1

变式3：已知函数fxaxbxc的图像如右图所示，

2O x

请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．

．如图，二次函数yax2bxc的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴．给出四个结论：① abc0；② 2ab0；③ ac1； ④a1．其中正确结论的序号是 ．

．已知二次函数f(x)axbxc的图象与直线y25有公共点，且不等式axbxc0的解是－

22y 2 12＜x＜

13，求a、b、c的取值范围.

-1 O 1 x 3．（人教A版第43页B组第1题）单调性

已知函数fxx2x，gxx2xx[2,4]．

22(1)求fx，gx的单调区间；(2) 求fx，gx的最小值．

变式1：已知函数fxx4ax2在区间,6内单调递减，则a的取值范围

2是

A．a3 B．a3 C．a3 D．a3 12变式2：已知函数fxxa1x5在区间( ,1)上为增函数，那么f2的取

2值范围是_________．

变式3：已知函数fxxkx在[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围．

2

2

二次函数的常见题型 4．（人教A版第43页B组第1题）最值

已知函数fxx2x，gxx2xx[2,4]．

22(1)求fx，gx的单调区间；(2) 求fx，gx的最小值．

变式1：已知函数fxx2x3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取

2值范围是

A．1, B．0,2 C．1,2 D．,2 变式2：若函数y3x4的最大值为M，最小值为m，则M + m的值等于________．

变式3：已知函数fx4x4axa2a2在区间[0,2]上的最小值为3，求a

222的值． 5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性

已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fxx1x．画出函数fx的图像，并求出函数的解析式．

变式1：若函数fxm1x2m21x1是偶函数，则在区间,0上fx是

A．增函数 B．减函数 C．常数 D．可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数fxaxbx3aba1x2a是偶函数，则点a,b的坐

2

3

二次函数的常见题型 标是________．

变式3：设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR．

(I)讨论f(x)的奇偶性；(II)求f(x)的最小值． 6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换 x24x3,3x0已知f(x)3x3,0x1．

2x6x5,1x6(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数yx2x3的单调区间． 变式2：已知函数f(x)|x2axb|(xR)．

给下列命题：①f(x)必是偶函数；

② 当f(0)f(2)时，f(x)的图像必关于直线x=1对称； ③ 若a2b0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数； ④f(x)有最大值|ab|．

其中正确的序号是________．③

变式3：设函数f(x)x|x|bxc,给出下列4个命题：

4

222二次函数的常见题型

①当c=0时，yf(x)是奇函数；

②当b=0，c>0时，方程f(x)0只有一个实根； ③yf(x)的图象关于点（0，c）对称；

④方程f(x)0至多有两个实根．

上述命题中正确的序号为 ．

7．（北师大版第54页A组第6题）值域

求二次函数f(x)2x26x在下列定义域上的值域： (1)定义域为xZ0x3；(2) 定义域为2,1． 变式1：函数f(x)2x6x2x2的值域是

2 A．20,993220,420,20, B． C． D． 222 变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是__________． 变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根．

(1)求 f (x) 的解析式；

(2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果

存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由．

8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题

5

二次函数的常见题型

当a,b,c具有什么关系时，二次函数fxaxbxc的函数值恒大于零？恒小于

2零？

变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．

(I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．

变式2：已知函数f(x)x2ax3a，若x2,2时，有f(x)2恒成立，求a的取值范围．

变式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不论 、 为何实数，恒有 f (sin  )≥0，f (2 + cos  )≤0．

(I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c≥3；

(III) 若函数 f (sin  ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．

6

二次函数的常见题型 9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系

右图是二次函数fxaxbxc的图像，它与x轴交于点x1,0和x2,0，试

2确定a,b,c以及x1x2，x1x2的符号．

变式1：二次函数yaxb与一次函数

yaxb(ab)在同一个直角坐标系的图像为

2y1xx1O1x2

变

式

2

y

y

O

y

y

x

O

x

O A． 2

：

x

O B．

直

2x

C．

ymx32D．

与

抛

物

线

线

C1:yx5mx4m,C2:yx(2m1)xm3,

C3:yx3mx2m3中至少有一条相交，则m的取值范围是．

2

7

二次函数的常见题型

变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0  R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x1、x2．

1

(I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > ；

2(II)若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值范围．

变式4： 已知函数f(x)x2(2a1)xa22与非负x轴至少有一个交点，求a取值范围 。

变式5：： 求f(x)= log3x－6 log3 x + 1 的取值范围。

变式6：： 求f(x)= 22x－2x + 1+ 3的取值范围。

10．（北师大版第52页例3）应用

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

变式1：在抛物线fxxax与x轴所围成图形

22y的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

8

ADxOBC二次函数的常见题型

变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）

(1) 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关

系式；

(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B

两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？

变式3：设a为实数，记函数f(x)a1x21x1x的最大值为g(a) ．

（Ⅰ）求g(a)；（Ⅱ）试求满足g(a)g()的所有实数a．

a1

9

二次函数的常见题型

10

二次函数的常见题型

二次函数答案

例1．解法1：∵抛物线顶点为（4，－3）且过点（1，0） ∴有方程组：

1b4a2a384acb23 解得： b 4a370abcc3解法2：∵抛物线与x轴两个交点的坐标分别是（1，0）和（7，0） ∴设二次函数解析式为y＝a(x－1)(x－7)

把顶点（4，-3）代入得 －3＝a(4－1)（4－7）， 解得：a= ∴y＝

1313

（x－1）（x－7） 即y＝

13x－

2

83x＋

73

解法3：物线的顶点为（4，－3）且过点（1，0）

2

∴设y＝a(x－4)－3

将（1，0）代入得0＝a(1－4)－3, 解得 a＝ ∴y＝

132

13

(x－4)－3 即y＝

2

13x－132

832

x＋8373 73 ∴ 所求二次函数解析式为：y＝x－x＋

点评：因为二次函数当x＝4时有最小值－3，所以顶点坐标为（4，－3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。此题可用一般式解，也可以用双根式或顶点式或顶点坐标公式来解。

b2a2a324acb1，解得b12，故选D． 变式1： 解：由题意可知4ac11c11

11

二次函数的常见题型

b20c变式2： 解：由题意可知

21，解得b=0，∴

21，解得c=2．

变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为fx3x12k， 展开得fx3x26x3k，

∴x1x22,x1x23k3，

∴x2222x2641x2x1x21x29，即423k3269，解得k3．

所以，该二次函数的图像是由fx3x12的图像向上平移 43 单位得到的，它

的解析式是fx3x1243，即fx3x26x53．

2．（北师大版第52页例2）图像特征 变式1： 解：根据题意可知

x1x2bxx224acb22a，∴ f124a，故选D．变式2： 解：∵f1xf1x，∴抛物线fxx2pxq的对称轴是x1，∴ p21即p2，

∴fxx22xq，∴f0q、f13q、f11q， 故有f1f0f1，选C． y

变式3： 解：观察函数图像可得：

① a>0(开口方向)；② c=1(和y轴的交点)；

③ 4a2b10(和x轴的交点)；④ab10(f10)； ⑤ b24a0(判别式)；⑥ 1b2a2(对称轴)．

变式4：

O 解：由图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0； ∵对称轴x＝b2a在(1，0)的左侧，∴b2a＜1，∴2ab0；

∵图象过点(－1，2)和(1，0)，∴abc2abc0，∴ac1，b＝－1；



12

x

二次函数的常见题型

∴a＝1－c＞1. ∴正确的序号为：②③④．

点评：函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用.本

题通过形(图象及其位置)的条件得出数(相等和不等关系)的结论.在复习总要加强这种思想方法的渗透. 变式5

解：依题意ax2bxc0有解，故Δ=b－4a（c－25）≥0.又不等式ax2bxc0的解是－

∴b=

12162

＜x＜

13， ∴a＜0且有－

1ba=－

16，

ca=－

16.

a，c=－a. ∴b=－c，代入Δ≥0得c2+24c（c－25）≥0.

6∴c≥24.故得a、b、c的取值范围为a≤－144，b≤－24，c≥24.

点评：二次方程ax2bxc0，二次不等式ax2bxc0（或＜0）与二次函数

y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的

问题. 3．（人教A版第43页B组第1题）单调性

变式1： 解：函数fxx4ax2图像是开口向上的抛物线，其对称轴是

2x2a，

由已知函数在区间,6内单调递减可知区间,6应在直线x2a的左侧， ∴2a6，解得a3，故选D．

12变式2：解：函数fxxa1x5在区间( ,1)上为增函数，由于其图像(抛

2物线)开口向上，所以其对称轴x应有

a1212a12或与直线x12重合或位于直线x12的左侧，即

，解得a2，

∴

f24a1257，即f27．

2变式3：解：函数fxxkx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是xk2，

k2∵ 已知函数在[2,4]上是单调函数，∴ 区间[2,4]应在直线x

13

的左侧或右侧，

二次函数的常见题型

即有

k22或

k24，解得k4或k8．

4．（人教A版第43页B组第1题）最值

y

变式1： 解：作出函数fxx22x3的图像，

O

开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)， ∴m的取值范围是1m2，故选C．

变式2： 解：函数有意义，应有x240，解得2x2，

∴ 0x244  0x242  03x246，

∴ M=6，m=0，故M + m=6．

2变式3： 解：函数fx的表达式可化为fx4ax222a．

① 当0a22，即0a4时，fx有最小值22a，依题意应有22a3，

解得a12，这个值与0a4相矛盾．

②当a20，即a0时，f0a22a2是最小值，依题意应有a22a23，

解得a12，又∵a0，∴a12为所求．

③当

a22，即a4时，f2168aa22a2是最小值，

依题意应有168aa22a23，解得a510，又∵a4，∴a510为所求．

综上所述，a12或a510．

5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性

14

x

二次函数的常见题型

变式1： 解：函数fxm1x2m21x1是偶函数  m210  m1，

当m1时，fx1是常数；当m1时，fx2x1，在区间,0上

2fx是增函数，故选D．

变式2：解：根据题意可知应有a12a0且b0，即a1,0． 313且b0，∴点a,b的坐标是变式3： 解：（I）当a0时，函数f(x)(x)2|x|1f(x)，此时，f(x)为偶函数；

当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1，

f(a)f(a)，f(a)f(a)，此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函

数．

（II）（i）当xa时，f(x)x2xa1(x若a12212)a234，

，则函数f(x)在(,a]上单调递减，从而函数f(x)在(,a]上的

最小值为f(a)a1．

若a1f()f(a)． 212，则函数f(x)在(,a]上的最小值为f()2134a，且

（ii）当xa时，函数f(x)x2xa1(x若af(12)f(a)，

1212)a12234，

34a，且

，则函数f(x)在(,a]上的最小值为f()若a122，则函数f(x)在[a,)上单调递增，从而函数f(x)在[a,)上的

最小值为f(a)a1．

15

二次函数的常见题型

综上，当a当1212时，函数f(x)的最小值为

1234a；

a12时，函数f(x)的最小值为a21；

34a．

当a时，函数f(x)的最小值为

6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换

变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．

当x0时，yx22x3x14， 当x0时，yx22x3x14． 作出函数图像，由图像可得单调区间．

22y

O x

在,1和0,1上，函数是增函数；在1,0和1,上，函数是减函数． 变式2： 解：若a1,b1,则f(x)|x2x1|x2x1，显然不是偶函数，所以①是不正确的；

若a1,b4,则f(x)|x2x4|，满足f(0)f(2)，但f(x)的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；

若a2b0，则f(x)|x2axb|x2axb，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是xa，∴f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，即③是正确的；

显然函数f(x)|x2axb|xR没有最大值，所以④是不正确的．

22xbxc,x0变式3： 解：f(x)x|x|bxc，

2xbxc,x022222(1)当c=0时，f(x)xxbx，满足f(x)fx，是奇函数，所以①是正确的；

16

二次函数的常见题型

2xc,x0(2)当b=0，c>0时，f(x)xxc，

2xc,x0x2c0x2c0方程f(x)0即 或 ，

x0x0x2c0x2c0显然方程无解；方程的唯一解是xc ，所以② 是正确

x0x0的；

(3)设

x0,y0是函数f(x)x|x|图像bxc上的任一点，应有

， y0x0|x|0bxc0而该点关于（0，c）对称的点是x0,2cy0，代入检验2cy0x0|x0|bx0c即y0x0|x0|bx0c，也即y0x0|x0|bx0c，所以x0,2cy0也是函数

f(x)x|x|bxc图像上的点，所以③是正确的；

(4)若b1,c0，则f(x)x|x|x显然方程x|x|x0有三个根，所以④ 是，不正确的．

7．（北师大版第54页A组第6题）值域

变式1： 解：作出函数f(x)2x6x2x2的图象，容易发现在2,223上是增函数，在,2上是减函数，求出f(2)20，f(2)4，f()233292，注意到

函数定义不包含x2，所以函数值域是20,．

29变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx  [－1,1]，

则y=－2t2+t+1，其中t [－1,1]，

99

∴y  [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．

88变式3： 解：(I) ∵

f (1 + x) = f (1－x)，

b

∴ － = 1，

2a

17

二次函数的常见题型

又方程 f (x) = x 有等根  a x 2 + (b－1) x = 0 有等根，

1

∴ △= (b－1) 2 = 0  b = 1  a = － ，

21

∴ f (x) = － x 2 + x．

2

(II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1， 1 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数， 1

∴ 3m = f (x)min = f (n) = － n 2 + n (*)，

2

1

3n = f (x)max = f (m) = － m 2 + m，

2

1

两式相减得：3 (m－n) = － (n 2－m 2) + (n－m)，

2∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解． 2 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数， 1

∴ 3m = f (x)min = f (m) = － m 2 + m，

2

1

3n = f (x)max = f (n) = － n 2 + n，

2∴ m = －4，n = 0．

3 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1  [m,n]，

11

∴ 3n = f (x)max = f (1) =  n = 与 n≥1 矛盾．

26

综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．

8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题

变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R，

 a > 0

∴应有   a > 1，

 △= 4－4a < 0

∴ 实数 a 的取值范围是(1,+) ．

(II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+) 的所有值．

1 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；

 a > 0

2 当 a ≠ 0 时，应有  0 < a≤1．

 △= 4－4a ≥0

∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．

变式2： 解法一：(转化为最值)

f(x)2在2,2上恒成立，即f(x)xax1a0在2,2上恒成立．

2

18

二次函数的常见题型

⑴a41a0， 222a222；

2a24(1a)0f(2)0⑵f(2)0，5a222． a2或a222综上所述5a222． 解法二：（运用根的分布） ⑴当存在；

⑵当2a22，即4a4时，应有g(a)f(a22，即a4时，应有g(a)f(2)73a2， 即a53，a不

a2)a24a32，

即－222a222，4a222； ⑶当a2，即a4时，应有g(a)25a4

f(2)7a，2即a5 ，

综上所述5a222．

变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos ) = f (1)≤0，

2

∴ f (1) = 0  1 + b + c = 0  b + c = －1， (II) 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c (*)

∵ f (2 + cos  )≤0  (2 + cos  ) 2－(c + 1) (2 + cos  ) + c≤0

 (1 + cos  ) [c－(2 + cos  )]≥0，对任意  成立．

∵ 1 + cos  ≥0  c≥2 + cos  ， ∴ c≥(2 + cos  )max = 3．

(III) 由 (*) 得：f (sin  ) = sin 2－(c + 1) sin  + c，

设 t = sin  ，则g(t) = f (sin  ) = t 2－(c + 1) t + c，－1≤t≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = 3 + 1

由 (II) 知：t≥ = 2，

2∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数．

19

c + 1

， 2

二次函数的常见题型

∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3

∴ b = －c－1 = －4． 9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系

变式1： 解：二次函数yax2b与一次函数图象yaxb交于两点(o,b)、

(1,ab)，由二次函

数图象知a,b同号，而由B,C中一次函数图象知a,b异号，互相矛盾，故舍去B,C．

又由ab知，当ab0时，ba1，与D中图形相符．

ba1，此时与A中图形不符，当0ab时，

变式

2： 解：原命题可变为：求方程mx3x25mx4m，

22mx3x(2m1)xm3，

“三个方程mx3x3mx2m3中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m的值，即得所求．

(4m)24(4m3)0,322解不等式组(m1)4m0,得 m1，

224m4(2m)0,2故符合条件的m取值范围是m32或m1．

b

变式3： 解：(I) 由 f (x) 表达式得 m = － ，

2a

∵ g(x) = f (x)－x = a x 2 + (b－1) x + 1，a > 0，

由 x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 < 1 < x2， bb11

∴ g(1) < 0  a + b < 0  － > 1  － > ，即 m > ．

a2a22(II) △= (b－1) 2－4a > 0  (b－1) 2 > 4a，

x1 + x2 =

1－b1

，x1x2 = ， aa

1－b 24

∴ | x1－x2 | 2 = (x1 + x2) 2－4x1x2 = ( )－ = 2 2，

aa

20

二次函数的常见题型

∴ (b－1) 2 = 4a + 4a 2 (*) 又 | x1－x2 | = 2，

∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x =

1－b

的距离都为1， 2a

要 g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)， 则 g(x) 对称轴 x = ∴ －3 <

1－b

 (－3,3)， 2a

b－11

< 3  a > | b－1 |， 2a6

21

把代入 (*) 得：(b－1) 2 > | b－1 | + (b－1) 2，

3917

解得：b < 或 b > ，

44

17

∴ b 的取值范围是：(－, )∪( ,+)．

44

f(0)09(2a1)变式4：解：由题知f(0)0或 0，得2a240点评：此题属于利用yaxbxc(a0)的图象和性质，讨论解决二次方

程ax2bxc0实根分布的问题。其方法可概括为：首先根据题设画出有关抛物线，然后写出问题成立的不等式（组）再解之。在分析时要抓住四点：开口方向、判别式、对称轴与区间的相对位置和区间端点函数值的正负

10．（北师大版第52页例3）应用

变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0axaxax,0，A点的坐标为,则B点的坐标为．

242222设矩形ABCD的周长为P，

2222ax12a1a2x22(02，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和ax422，两边之比为8:a24；

21

二次函数的常见题型

②若0 综上所述，当a>2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:a24；当0 变式2： 解：(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为

f (x) = kx，g(x) = mx ，

5

由 f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5  m = ，

415

∴ f (x) = x（x≥0），g(x) = x ．

44

(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元，

151565

∴ 企业的利润 y = (10－x) + x = [－(x － ) 2 + ]（0≤x≤10），

44424565

∴ x = ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 ≈4 万元．

216

答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万

元．

变式3： 解：设t1x1，

212x22a222无最大值，也就是说周长最大的内

1x21x，要使t有意义，必须1x0且1x0，即

∵t221x[2,4]，且t0„„① ∴t的取值范围是[2,2]． 由①得：1x2112t1，

1at22不妨设m(t)a(t21)t2（I）由题意知g(a)即为函数m(t)21ta，t[2,2]．

22atta，t[2,2]的最大值，

当a0时，m(t)t，t[2,2]，有g(a)=2； 当a0时，此时直线t1a是抛物线m(t)12at2ta的对称轴，

∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当a0时，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，

由t1a0知m(t)在t[2,2]上单调递增，故g(a)m(2)a2；

（2）当a0时，，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

22

二次函数的常见题型

若t若t1a1a1(0,2]即a222时，g(a)m(2),1]时，g(a)m(2，

22a1若t(2,)即a(,0)时，g(a)m(2)a2．

a2(2,2]即a(1)a12a，

a21综上所述，有g(a)=a2a2(a,(2212)12))．

a22(a1111

（II）若a>0，则 >0，此时g(a)=g( )  a+2= +2  a = a =1(舍去a=－

aaaa1)；

1111

若－ 2aa2

去)；

2 11

112

此时g(a)=g( )  －a－ = 2  a=－ (舍去)；

a2a2

2 12

若－2 ≤a≤－ ，则－2 ≤ ≤－ ，

2a21

此时g(a)=g( )  2 =2 恒成立；

a

2 11

若－2≤a<－2 ，则－ < ≤－ ，

2a2

112

此时g(a)=g( )  2 =－a－  a=－ (舍去)；

a2a211

若a<－2，则－ < <0，

2a1

此时g(a)=g( )  2 = a+2 a=－2+2 >－2 (舍去) ．

a若－综上所述，满足g(a)g()的所有实数a为：a12a22或a1．

23