2014年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．y=
B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x
D．y=log0.5（x+1）
3．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（ ）
A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上 C．在直线y=x﹣1上
D．在直线y=x+1上
4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（
A．7 B．42 C．210 D．840
5．（5分）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5分）若x，y满足
，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（高考真题解析
） ） ）高考真题及答案
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，
），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx
坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3 C．S3=S1且S3≠S2 D．S3=S2且S3≠S1
8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）复数（
）2= ．
+=（λ∈R），则
10．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且|λ|= ．
11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与的方程为 ；渐近线方程为 ．
﹣x2=1具有相同渐近线，则C
12．（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= 时，{an}的前n项和最大．
13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种．
14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[
，
]上具有单调性，且f（
）=f（
）=﹣f（
），则f（x）
的最小正周期为 ．
三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
高考真题解析
高考真题及答案
15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=cos∠ADC=． （1）求sin∠BAD； （2）求BD，AC的长．
，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，
16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
场次 主场1 主场2 主场3 主场4 主场5
投篮次数
22 15 12 23 24
命中次数
12 12 8 8 20
场次 客场1 客场2 客场3 客场4 客场5
投篮次数
18 13 21 18 25
命中次数
8 12 7 15 12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．
17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
高考真题解析
高考真题及答案
18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，（1）求证：f（x）≤0； （2）若a＜
＜b对x∈（0，
]
）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4， （1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，T（=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}kP）
表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．
高考真题解析
高考真题及答案
2014年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集． 【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}， ∴A∩B={0，2} 故选：C．
【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．y=
B．y=（x﹣1）2 C．y=2x
﹣
D．y=log0.5（x+1）
【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．
【解答】解：由于函数y=
在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，
由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件， 由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件， 故选：A．
【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．
3．（5分）曲线
（θ为参数）的对称中心（ ）
A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上 C．在直线y=x﹣1上
高考真题解析
D．在直线y=x+1上
高考真题及答案
【分析】曲线【解答】解：曲线y=﹣2x上， 故选：B．
（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．
（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线
【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．
4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
A．7 B．42 C．210 D．840
【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值， 当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5， ∴跳出循环的k值为4， ∴输出S=7×6×5=210． 故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．
5．（5分）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（ ）
高考真题解析
高考真题及答案
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立． 若an=﹣1
为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，
故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．
6．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件作出可行域如图，
高考真题解析
高考真题及答案
当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=∴B（﹣
）．
，
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣此时故选：D．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，
），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx，解得：k=﹣．
）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3 C．S3=S1且S3≠S2 D．S3=S2且S3≠S1 【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．
【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，
在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=
．
），
在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，
），S2=.
在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，
），S3=
，
高考真题解析
高考真题及答案
则S3=S2且S3≠S1， 故选：D．
【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．
8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．
【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，
语文成绩得B得也最多只有一个， 得C最多只有一个， 因此学生最多只有3人，
显然（AC）（BB）（CA）满足条件， 故学生最多有3个． 故选：B．
【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）复数（
）2= ﹣1 ．
【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案． 【解答】解：（
高考真题解析
）2=．
高考真题及答案
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．
10．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且 ．
【分析】设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且
+=（λ
+=（λ∈R），则|λ|=
∈R），可得，解出即可．
【解答】解：设=（x，y）．
∵向量，满足||=1，=（2，1），且∴
+=（λ∈R），
=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），
∴
，化为λ2=5．
解得故答案为：
． ．
【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与
﹣x2=1具有相同渐近线，则C
的方程为 ；渐近线方程为 y=±2x ．
【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论． 【解答】解：与
﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为
﹣x2=m，（m
高考真题解析
高考真题及答案
≠0），
∵双曲线C经过点（2，2）， ∴m=
即双曲线方程为
，
﹣x2=﹣3，即
，
对应的渐近线方程为y=±2x， 故答案为：
，y=±2x．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．
12．（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= 8 时，{an}的前n项和最大．
【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．
【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0， ∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，
∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数， ∴等差数列{an}的前8项和最大， 故答案为：8．
【点评】本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．
13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 36 种．
【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案． 【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有B可交换位置，所以有2
高考真题解析
种方法，而A、
=48种摆法，
高考真题及答案
又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2故满足条件的摆法有48﹣12=36种． 故答案为：36．
=12种摆法，
【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．
14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[
，
]上具有单调性，且f（
）=f（
）=﹣f（
），则f（x）
的最小正周期为 π ． 【分析】由f（
）=f（
）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[）=﹣f（
）
，
]上具有单调性，且f（
可得函数的半周期，则周期可求． 【解答】解：由（f则x=又f（
）=f（
），可知函数（fx）的一条对称轴为x=
．
，0），
，
离最近对称轴距离为）=﹣f（
），则f（x）有对称中心（，
]上具有单调性， ，从而
由于f（x）在区间[则
≤T⇒T≥
=⇒T=π．
故答案为：π．
【点评】本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．
三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=cos∠ADC=． （1）求sin∠BAD；
高考真题解析
，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，
高考真题及答案
（2）求BD，AC的长．
【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=， ∴sin∠ADC=
=
=
=
，
×﹣
则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=
=
．
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×即AC=7．
=49，
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．
16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
场次 主场1 主场2 主场3 主场4 主场5
投篮次数
22 15 12 23 24
命中次数
12 12 8 8 20
场次 客场1 客场2 客场3 客场4 客场5
投篮次数
18 13 21 18 25
命中次数
8 12 7 15 12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的
高考真题解析
高考真题及答案
概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．
【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可， （2）根据互斥事件的概率公式，计算即可． （3）求出平均数和EX，比较即可．
【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场
所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=
，
（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=（3）=EX=
【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．
17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4
，客场命中率超过0.6的概率
；
，
高考真题解析
高考真题及答案
【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；
（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos
|，求出角α；设H（u，v，w），再设
，
用λ表示H的坐标，再由n公式求出PH的长．
=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离
【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点， ∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE， ∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG， ∴AB∥FG；
（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE， 如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0）， B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2）， E（0，2，0），F（0，1，1），
设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则
即
，
，
令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1）， 设直线BC与平面ABF所成的角为α，则
高考真题解析
高考真题及答案
sinα=|cos＜，＞|=||=， ，
，
∴直线BC与平面ABF所成的角为
设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设
即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF的法向量， ∴∴PH=
=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（
=2．
），
【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．
18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，（1）求证：f（x）≤0； （2）若a＜
＜b对x∈（0，
）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
）
]
【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，（0）=0．
高考真题解析
]上单调递减，从而f（x）≤f
高考真题及答案
（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx
＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．
【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得 f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx， 此在区间∈（0，
）上f′（x）=﹣xsinx＜0，
]上单调递减，
所以f（x）在区间∈[0，从而f（x）≤f（0）=0．
（2）当x＞0时，“＜0”
＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx
令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c， 当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，当c≥1时，因为对任意x∈（0，所以g（x）在区间[0，
）上恒成立，
），g′（x）=cosx﹣c＜0，
]上单调递减，
）恒成立，
从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，g（x）与g′（x）在区间（0，
x g′（x） g（x）
）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，
）上的情况如下：
x0
（x0，
﹣ ↓
）
（0，x0）
+ ↑
因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，
所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，当且仅当综上所述当且仅当
高考真题解析
）恒成立，
时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，
高考真题及答案
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，所以若a＜值为1
＜b对x∈（0，
）恒成立，
，b的最小
）上恒成立，则a的最大值为
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．
19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4， （1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；
（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到
，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标
相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切．
【解答】解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2． 因此a=2，c=
．
；
．
故椭圆C的离心率e=
（2）直线AB与圆x2+y2=2相切． 证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0． ∵OA⊥OB， ∴
，即tx0+2y0=0，解得
．
．
当x0=t时，
高考真题解析
，代入椭圆C的方程，得
高考真题及答案
故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．
此时直线AB与圆x2+y2=2相切． 当x0≠t时，直线AB的方程为
即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0． 圆心O到直线AB的距离d=
． ，
又，t=．
故=．
此时直线AB与圆x2+y2=2相切．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．
20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，T（=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}kP）
表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．
【分析】（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2
高考真题解析
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≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；
（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小； （Ⅲ）根据新定义，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8； （Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}． 当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，
∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）； 当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，
∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）； ∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；
（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小； T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．
【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．
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