函数的基本概念及性质典型例题

函数的概念及性质

一、知识导航

1.常量和变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫变量，数值保持不变的量叫常量。 2.函数的概念：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x为自变量，y为应变量。 3.自变量的取值范围

（1）自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。

①当自变量以整式形式出现时，自变量取值范围是全体实数；

②当自变量以分式形式出现时，自变量取值范围是使分母不为零的实数； ③当自变量以偶次方根形式出现时，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数； ④当自变量出现在零次幂（或负整数指数幂）的底数中时，自变量的取值范围是使底

数不为零的实数 4.函数值

（1）概念：对于自变量在取值范围内时应变量的一个确定值 （2）求法：①代入②求值 5.函数图象

（1）概念：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内就有一个相应的点。由这样的点的集合组成的图形叫做函数的图象。 （2）画法：①列表；②描点；③连线。 6.函数的三种表示方法

（1）解析法：用含自变量的代数式表示函数的方法； （2） 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法； （3）图象法：用图象表示函数关系的方法

二、典例导学

例1、汽车在匀速行驶的过程中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么对于等式s=vt，下列说法正确的是（ ）

A.s与v是变量，t是常量 B.t与s是变量，v是常量 C.t与v是变量，s是常量 D.s、v、t三个都是变量

例2、下列变量之间的关系中，不是函数关系的是 （ ） A.长方形的宽一定，其长与面积 B.正方形的周长与面积 C.等腰三角形的底边和面积 D.球的体积和球的半径

例3、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．

例4、 求下列各函数的自变量的取值范围: （1）y （4）y

例5、求下列函数当x分别为4,x11 （2）y （3）yx5 2x2x1x3 （5）y （6）yx1x51x35x

1时的函数值. 22（1）y(x1)(x2) （3）yx2x3

例6、甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑

至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是 （ ）

例7、甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

举一反三

1、《大河报》每份0.5元，购买《大河报》所需钱数y（元）与所买份数x之间的关系是 ，其中 是常量， 是变量。 2、 时间t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 温度ºc 16 15 14 12.5 14 15 16 18 21 如图是一天中一段时间内气温c（摄氏度）随时间t（小时）变化而变化的情况，请问；c是t的函数吗？t是c的函数吗？

温度 16 时间 0 3

3、求下列各函数的自变量的取值范围:

y12x2x3 （8）y

2x33x5

4、求下列函数当x分别为4,(3) y1时的函数值. 2x4 (4) y4x18 x2

三、错因指津

学会观察函数图像得到相关信息

1、由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万米)与干旱的时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )． A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米 B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米 C．干旱开始时，蓄水量为200万米 D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米

3

3

33

3

12001000800600400200OV/万米310

20304050t/天2、星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图7所示．根据图象回答下列问题： （1）小明家离图书馆的距离是____________千米； （2）小明在图书馆看书的时间为___________小时； （3）小明去图书馆时的速度是______________千米/小时．

3 O y(千米) 12 72 t(分)

四、延拓挖掘

1、某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图． 请结合图象，回答下列问题：

（1）根据图中信息，请你写出一个结论； （2）问前15位同学接水结束共需要几分钟?

（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗?请说明理由．

2、如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x9时，点R应运动到（ ）

A．N处 B．P处

C．Q处 D．M处

M （图1）

Q P R N

O 4 9 （图2） x y

本次课课后练习

1、在圆的周长公式C=2πr中，常量是 ，变量是 。

2、弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（千克）的关系如下：

弹簧总长L（cm） 重物质量x（千克） （1）求L与x之间的关系

（2）请估计重物为5（千克）时弹簧总长L（cm）是多少？

3、函数y

4、已知:yaxb(a0,a、b为常数),当x1时,y1;当x1时, y5,求a、

16 0.5 17 1.0 18 1.5 19 2.0 20 2.5 x中，自变量x的取值范围是 ． x1b的值.

5、如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用ABCDA运动一周，图象表示大致是（ ）

y 2 1 O 1 2 3 4 A.

s y 2 1 O 1 2 3 4 B.

y 2 1 s O 1 2 3 4 C.

y 2 1 s O 1 2 3 4 D.

s

6、如图，△ABC和的△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B与点D重

合，点A,BD.,E在同一条直线上，将△ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B,D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（ ）