【数学】培优二次函数辅导专题训练含详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由； （4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）3）． 【解析】

9；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣4试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；

（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；

（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93bc0b4，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

1bc0c3（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣

32939）+．∵a=﹣1＜0，∴当x=时，线段PD的长度有最大值； 2424（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．

综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；

（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则kb0k3，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣

b3b33x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M（2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．

点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．

2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）当x＝15.5时，w的最大值为1805元；（3）当x＝13时，w＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【解析】

【分析】

（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b即可求解； （2）由题意得：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，即可求解；

（3）当x＝15.5时，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，当x＝13时，既能销售完又能获得最大利润． 【详解】

解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b得：

20015kb， 30010kb解得：k20，

b500即：函数的表达式为：y＝﹣20x+500，（x≥6）；

（2）设：该品种蜜柚定价为x元时，每天销售获得的利润w最大， 则：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6）， ∵﹣20＜0，故w有最大值， 当x＝﹣

b31＝＝15.5时，w的最大值为1805元； 2a2（3）当x＝15.5时，y＝190， 50×190＜12000，

故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x元时，既能销售完又能获得最大利润w， 由题意得：50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13， w＝﹣20（x﹣25）（x﹣6）， 当x＝13时，w＝1680，

此时，既能销售完又能获得最大利润． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

3．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为

每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

11x；（2）z=-x2+40x+12000；（3）w=-x2+42x+10800，当每个房

101010间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元． 【解析】

【答案】（1）y=60-试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；

（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；

xxx），则利润w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣），101010利用配方法化简可求最大值． 试题解析：解：（1）由题意得：

（3）支出费用为20×（60﹣y=60﹣

x 10x12x+40x+12000 ）=﹣

1010xx）﹣20×（60﹣） 1010（2）p=（200+x）（60﹣

（3）w=（200+x）（60﹣=﹣=﹣

12x+42x+10800 101（x﹣210）2+15210 10当x=210时，w有最大值．

此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．

4．函数y12xmx1x≥0,m>0的图象记为C1，函数21yx2mx1x0,m>0的图象记为C2，其中m为常数，C1与C2合起来的图象

2记为C.

（Ⅰ）若C1过点1,1时，求m的值； （Ⅱ）若C2的顶点在直线y1上，求m的值； （Ⅲ）设C在4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当

3≤y0≤9时，求m的取值范围. 2【答案】（Ⅰ）m【解析】 【分析】

19；（Ⅱ）m2；（Ⅲ）1≤m≤. 22（Ⅰ）将点C的坐标代入C1的解析式即可求出m的值；

（Ⅱ）先求出抛物线C2的顶点坐标，再根据顶点在直线y1上得出关于m的方程，解之即可

（Ⅲ）先求出抛物线C1的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线C2的顶点坐标，和x的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】

解：（Ⅰ）将点1,1代入C1的解析式，解得m1. 2m21， （Ⅱ）抛物线C2的顶点坐标为m,2m2令11，得m2, 2∵m>0，∴m2.

m2m21，抛物线C2的顶点Qm,1， （Ⅲ）∵抛物线C1的顶点Pm,22当0m2时，最高点是抛物线G1的顶点

3m2∴y019，解得1m2. 22当2m4时，G1中（2，2m-1）是最高点，y02m-1 ∴

32m-19，解得2m4. 2当m>4时，G2中（-4，4m-9）是最高点，y04m-9． ∴

394m-99，解得4m. 229即为所求. 2综上所述，1m【点睛】

本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．

5．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：

时间(天) 日销售量(件) 1 94 3 90 6 84 10 76 36 24 … … 未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.

(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.

【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4． 【解析】

分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；

（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少； （3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围 ．

详解：（1）设数m=kt+b，有

析式故所求函数的解析式为m=-2t+96． （2）设日销售利润为P， 由P=（-2t+96）

=t2-88t+1920=（t-44）2-16，

,解得

∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上

∵21≤t≤40且对称轴为t=44，

∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，

∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），

答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元. （3）P1=（-2t+96）=-+（14+2a）t+480-96n，

∴对称轴为t=14+2a， ∵1≤t≤20，

∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大， 又∵a＜4， ∴3≤a＜4．

点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．

6．已知抛物线yx2(5m)x6m. （1）求证：该抛物线与x轴总有交点；

（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；

2（3）设抛物线yx(5m)x6m与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点

关于直线yx的对称点恰好是点M，求m的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）1?（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零，再判断出物线与x轴总有交点．

（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x2+（5-m）x+6-m，求出与y轴的交点M的坐标，再确定抛物线与x轴的两个交点关于直线y=-x的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】

（1）证明：∵b24ac5m46mm70 ∴抛物线与x轴总有交点.

（2）解：由（1）m7，根据求根公式可知，

2m5（m7）方程的两根为：x

2222，x2m6 即x11由题意，有 3<-m6<5

1(3)解：令 x = 0， y =m6 ∴ M（0，m6）

由（2）可知抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（m6，0）， 它们关于直线yx的对称点分别为（0 ， 1）和（0， m6）， 由题意，可得：

m61或m6m6 m5或m6

【点睛】

本题考查对抛物线与x轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．

7．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或5+41或217132375-41；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

66662【解析】

分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到

∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=22，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），

AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（解析式为y=-

15，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的22115112x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则52255y＝x5解方程组112得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，

y＝x55如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式

13+x得到3=6，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

2详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5）， 当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得

25a30c0a1，解得， c5b5∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM=

22AB=×4=22， 22∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=2PQ=2×22=4，

设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4， 当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=综上所述，P点的横坐标为4或

5+415-41，m2=， 225+415-41或； 22②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB， ∵△ANB为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（设直线EM1的解析式为y=﹣把E（

15，﹣， 221x+b， 5151512，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣， 221025112x﹣ 55∴直线EM1的解析式为y=﹣

13xyx513176M解方程组得，则（，﹣）； 111217yx66y556作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB， 设M2（x，x﹣5），

13+x∵3=6

223∴x=，

6237∴M2（，﹣）.

66综上所述，点M的坐标为（

1317237，﹣）或（，﹣）． 6666点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

8．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．

(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝

k(k为常数，k≠0)的图象上，且这x三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；

(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．

①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”； ②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(

cb，)与原点O的距离OP的取值范围． aa2≤OP2【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；②＜

10且OP≠1． 2【解析】 【分析】

（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；

（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；

（3）①由直线解析式可求得x1＝﹣

c，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次bbc，x2x3＝，再利用和谐三数组的定义证明即可；aa方程根与系数的关系可求得x2+x3＝﹣

②由条件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得

b的取值范围，令m＝ab，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2a的取值范围，从而可求得OP的取值范围． 【详解】

（1）不能，理由如下：

∵1、2、3的倒数分别为1、∴

11、， 23111111+≠1，1+≠，1+≠， 232332k(k为常数，k≠0)的图象上， x∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；

（2）∵M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数∴y1、y2、y3均不为0，且y1＝

kkk，y2＝，y3＝， tt1t311tt11t3∴＝，＝，＝， y1ky2y3kk∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”， ∴有以下三种情况： 当

111tt1t3++＝时，则＝，即t＝t+1+t+3，解得t＝﹣4；

y1y2y3kkk当

111t1tt3＝+时，则＝+，即t+1＝t+t+3，解得t＝﹣2； y1y3y2kkk111t3tt1当＝+时，则＝+，即t+3＝t+t+1，解得t＝2；

y1y2y3kkk∴t的值为﹣4、﹣2或2； （3）①∵a、b、c均不为0， ∴x1，x2，x3都不为0，

∵直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)， ∴0＝2bx1+2c，解得x1＝﹣

c， b联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c＝ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c＝0， ∵直线与抛物线交与B(x2，y2)，C(x3，y3)两点， ∴x2、x3是方程ax2+bx+c＝0的两根，

∴x2+x3＝﹣

bc，x2x3＝， aabx2x311a＝﹣b＝1， ∴+＝＝

cx2x3x2x3x1ca∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”； ②∵x2＝1， ∴a+b+c＝0， ∴c＝﹣a﹣b， ∵a＞2b＞3c，

a2b3b1∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，

5a25b3a∵P(

cb，)， aac2b2ab2b2bbb11)+()＝()+()＝2()2+2+1＝2(+)2+， aaaaaaa22∴OP2＝(令m＝

b3111，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2＝2(m+)2+， a5222∵2＞0，

∴当﹣

31313＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m＝﹣时，OP2有最大临界值，5252511时，OP2有最小临界值， 22当m＝﹣当﹣＝∴

1111＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m＝﹣时，OP2有最小临界值，当m222215时，OP2有最大临界值， 2215≤OP2<且OP2≠1， 22102≤OP＜且OP≠1． 22∵P到原点的距离为非负数， ∴

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在(3)①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．

9．如图，已知直线ykx6与抛物线yax2bxc相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。

2【答案】解：（1）yx2x3；（2）存在，P（1-1313-1，）；（3）Q点坐标2273）或（0，）或（0，－1）或（0，－3）. 22【解析】 【分析】

为（0，-（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.

（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】

解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2， ∴y＝2x﹣6， 令y＝0，解得：x＝3， ∴B的坐标是（3，0）． ∵A为顶点，

∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4， 把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，

解得a＝1，

∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． （2）存在．

∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC， 此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x． 设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1+131-13（m＝＞0，舍），

2∴P（

1-1313-12，2）． （3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB， ∴

ADODDQ15DQ15DB，即6=35，∴DQ1＝2， ∴OQ71＝

2，即Q，-71（02）； ②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB， ∴

OBODOQ2OB，即3OQ263， ∴OQ32＝

2，即Q32（0，2）； ③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ3∽△Q3EA， ∴

OBOQOQ3Q3，即3 3EAE4OQ31∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3， 即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）． 综上，Q点坐标为（0，-

72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣

23）． 10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；

（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=是等腰三角形时，m的值为2，﹣2，1，2． 【解析】

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

27；（3）当△BMN8（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得

ab3＝0， 9a3b3＝01a＝解得，

b＝4这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），

设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得

3kb＝0， b＝0解这个方程组，得

k＝1 b＝3直线BC的解析是为y=-x+3， 过点P作PE∥y轴

，

交直线BC于点E（t，-t+3）， PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，

12733（-t2+3t）×3=-（t-）2+，

22282733∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=. 228（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）

∴S△BCP=S△BPE+SCPE=

MN=m2-3m，BM=2|m-3|，

当MN=BM时，①m2-3m=2（m-3），解得m=2， ②m2-3m=-2（m-3），解得m=-2 当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°， m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍） 当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，

-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍）， 当△BMN是等腰三角形时，m的值为2，-2，1，2．

点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．