方差分析公式

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方差分析公式

（2012-06-26 11:03:09） 转载▼ 标签：

杂谈

分类： 统计方法

方差分析

，简写为AN0\\或ANOV）可用于两个或两个 方差分析（analysis of varianee 以上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本； 各样本来自正 态分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把 全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，

然后再作分析。常用的设计有

完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。 一、完全随机设计的多个样本均数的比较

又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差） 两部分。目的是推断k个样本所分别代表的卩1,卩2,……卩k是否相等，以便 比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表

19-6.

表19-6完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式

变异来源 总 离均差平方和SS 工 乂-C* 自由度v 均方MS F N-1 组间（处理组间） g'X J* J_ J J_-C b SS总-SS组间 k-1 SS组间/v组间 MS组间/MS组间 组内（误差） N-k SS组内/v组内 C=(艺X) 2/N=2 ni , k为处理组数

表19-7 F值、P值与统计结论

a 0.05 0.05 0.01 F值 P值 > 0.05 < 0.05 < 0.01 统计结论 不拒绝H，差别无统计学意义 拒绝H，接受H，差别有统计学意义 拒绝耳，接受H,差别有高度统计学意义 V F)A F)A F).05 ( v1.V2 ) .05 ( v1.V2 ) .01 ( v1.V2 ) 方差分析计算的统计量为F,按表19-7所示关系作判断

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例19.9某湖水不同季节氯化物含量测量值如表 无差别？

19-8 ,问不同季节氯化物含量有

表19-8某湖水不同季节氯化物含量（mg/L） 春 22.6 22.8 21.0 X 16.9 20.0 21.9 21.5 21.2 工Xj j ni X 工 Xijj 3548.51 3231.95 2206.27 2114.11 8 20.99 8 19.91 8 16.49 8 夏 19.1 22.8 24.5 18.0 15.2 18.4 20.1 21.2 159.3 131.9 秋 18.9 13.6 17.2 15.1 16.6 14.2 16.7 19.6 129.3 冬 19.0 16.9 17.6 14.8 13.1 16.9 16.2 14.8 588.4 （工 X） 32 （N） 167.9 16.16 11100.84 （工 X） 22

HO:湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即 H1:四个总体均数不等或不全相等

卩仁卩2=卩3=卩4

a =0.05

先作表19-8下半部分的基础计算。

C=（艺 x） 2/N= （588.4） 2/32=10819.205 SS 总=艺 x2-C=11100.84-10819.205=281.635 V总=N-仁31

■ 10819. 2C5= 141. ] 70

V组间=k-仁4-仁3

SS 组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465 V 组内=N-k=32-4=28

MS组间二SS组间 /v 组间=141.107/3=47.057

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MS组内=SS组内 /v 组内=140.465/28=5.017 F=MSfi 间 /MS 组内=47.057/5.017=9.380

以v1 (即组间自由度)=3, v2 (即组内自由度)=28查附表19-2 , F界值表，得 F0.05 (3, 28) =2.95 , F0.01 (3, 28) =4.57.本例算得的 F=9.380>F0.01 (3, 28), Pv0.01，按a =0.05检验水准拒绝H0,接受H1,可认为湖水不同季节的 氯化物含量不等或不全相等。必要时可进一步和两两比较的q检验，以确定是否 任两总体均数间不等。

资料分析时，常把上述计算结果列入方差分析表内，如表

表19-9例19.9资料的方差分析表

变异来源 组间 组内 总

19-9.

SS 141.170 140.465 281.635 v 3 28 MS 47.057 F 9.38 P v 0.01 5.017 31 二、随机区组(配伍组)设计的多个样本均数比较

又称两因素方差分析。把总变异分解为处理间变异、区组间变异及误差三部分。 除推断k个样本所代表的总体均数，卩1,卩2,……卩k是否相等外，还要推断 b个区组所代表的总体均数是否相等。也就是说，除比较多个处理的差别有无统 计学意义外，还要比较区组间的差别有无统计学意义。该设计考虑了个体变异对 处理的影响，故可提高检验效率。

表19-10随机区组设计的多个样本均数比较的方差分析公式

变 异 来 源 总 均 离均差平方和SS 自由 方 度v MS 2 F 工X-C N-1 SSMS处 处 处 理 间 沪J b ¥冷5;一「“心小十⑷门门—八⑷十卩\" b SEIS. k-1 理/v 理 /MS 处理 误差 区 组 间 SS区 a — MS区 /v 组b-1 组MS 误差 区组

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V总-V 误 SS误 差 SS总-SS处理-SS区组 处理 -V 差/V 区组 误差 C、k、N的意义同表19-6 , b为区组数

例19.10为研究酵解作用对血糖浓度的影响，从8名健康人中抽血并制成血滤液。 每个受试者的血滤液被分成4份，再随机地把4份血滤液分别放置0，45，90, 135分钟，测定其血溏浓度（表19-11），试问放置不同时间的血糖浓度有无差 别？ 处理间：

H0:四个不同时间血糖浓度的总体均数相等，即

卩仁卩2=卩3=卩4

表19-11血滤放置不同时间的血糖浓度（mmol/L）

受试者小计 放置时间（分） 工Xi 0 区组号 1 2 3 4 5 6 7 8 工Xj j N X 2 45 5.27 5.22 5.83 5.38 5.44 6.22 5.72 5.11 44.19 90 4.94 4.88 5.38 5.27 5.38 5.61 5.38 5.00 41.84 135 4.61 4.66 5.00 5.00 4.88 5.22 4.88 4.44 38.69 j 20.09 20.03 22.09 21.09 21.36 23.27 21.81 19.82 169.56 （工 X） 5.27 5.27 5.88 5.44 5.66 6.22 5.83 5.27 44.84 8 5.6050 252.1996 8 5.5238 245.0671 8 5.2300 219.2962 8 32 （ N） 4.8363 187.5585 904.1214 （工 X） 2工Xij j

H1:四个总体均数不等或不全相等

a =0.05

区组间：

H0:八个区组的总体均数相等，即 卩仁卩2=……卩8 H1:八个区组的总体均数不等或不全相等

a =0.05

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先作表19-11下半部分和右侧一栏的基本计算 C=（艺 X）2/N=（ 169.56）2/32=898.45605 SS 总=艺 X2-C=904.1214-898.45605=5.66535 V总=N-仁32-仁31

V 处理=k-1=4-1=3

—

V区组=b-1=8-仁7

45605 = 2.493

SS误差=SS总-SS 处理-SS 区组=5.66535-2.90438-2.49800=0.26297 V误差=(k-1 )( b-1 ) =3X 7=21

MS处理=SS处理 /v 处理=2.90438/3=0.9681 MS区组=SS区组/v 区组=2.49800/7=0.3569 MS误差=SS误差 /v 误差=0.26297/21=0.0125 F 处理=MS处理 /MS 误差=0.9681/0.0125=77.448 F 区组=MS区组/MS误差=0.3569/0.0125=28.552

推断处理间的差别，按v仁3, v2=21查F界值表，得F0.005 (3, 21) =3.07 , F0.01 (3, 21) =4.87 , Pv 0.01 ;推断区组间的差别，按 v仁7, v2=21查F界值 表，得 F0.05 (7, 21) =2.49 , F0.01 ( 7, 21) =3.64 , Pv 0.01.按 a =0.05 检验 水准皆拒绝H0,接受H1,可认为放置时间长短会影响血糖浓度且不同受试者的 血糖浓度亦有差别。但尚不能认为任两个不同放置时间的血糖浓度总体均数皆有 差别，必要时可进一步作两两比较的

q检验。

表19-12例19.10资料的方差分析表

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变异来源 处理间 区组间 误差 总 SS 2.90438 2.49800 0.26297 5.66538 v 3 7 21 MS 0.9681 0.3569 F 77.448 28.552 P V 0.01 V 0.01 0.0125 31 、多个样本均数间的两两比较的 q检验

经方差分析后，若按a =0.05检验水准不拒绝H0,通常就不再作进一步分析；若 按a =0.05甚至a =0.01检验水准拒绝H0, 且需了解任两个总体均数间是否都存 在差别，可进一步作多个样本均数间的两两比较。 两两比较的方法较多，在此仅 介绍较常用的q检验（Newman-Keuls法） （各组ni不等）公式（19.15）

（各组ni相等）公式（19.14）

式中，xA-xB为两两对比中，任两个对比组 A、B的样本均数之差；sxA-xB为两 样本均数差的标准误；ni为各处理组的样本含量；nA, nB分别为A B两对比组 的样本含量；MS误差为单因素方差分析中的组内均方（MS组内）或两因素方差 分析中的误差均方（MS误差）。

计算的统计量为q,按表19-13所示关系作判断。 例19.11对例19.9资料作两两比较

H0:任两个季节的湖水氯化物含量的总体均数相等，即 H1:任两总体均数不等，即 卩Ap B

表19-13 |q| 值、P值与统计结论

a 0.05 0.05

卩A=y B

|q| P值 统计结论 不拒绝差别无统计学意义 拒绝H0。接受差别有统计学意义 拒绝f，接受H，差别有高度统计学意义 V qA qA q°.05 ( v.a ) > 0.05 < 0.05 < 0.01 0.05 ( v.a ) 0.01 0.01 ( v.a )

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a = 0.05

1. 将四个样本的均数由大到小排列编秩，注明处理组

Xi 处理组 秩次

167.9 春 1 159.3 夏 2 131.9 秋 3 129.3 冬 4 2. 计算sxA-xB本例各处理组的样本含量n1相等，按式（19， 14）计算两均数 差的标准误。已知 MS组内=5.017，n=8

3. 列两两比较的q检验计

算表（表19-14）

表19-14两两比较的q检验计算表 A与B X A -x B (2) (1) (1)与(4) (1)与(3) (1)与(2) (2)与(4) (2)与(3)

组数，a （3） 38.6 36.0 8.6 30.0 27.4 2.6 4 3 2 3 2 2 q值 (4) = (2) /0.7919 48.744 45.460 10.860 37.884 34.600 3.283 q0.05 ( v.a ) (5) 3.85 3.49 2.89 3.49 2.89 2.89 q0.01 ( v.a ) (6) 4.80 4.45 3.89 4.45 3.89 3.89 P值 (7) v 0.01 v 0.01 v 0.01 v 0.01 v 0.01 v 0.05 (2)与(4) 表中第（1）栏为各对比组，如第一行1与4,指A为第1组，B为第4组。第（2） 栏为两对比组均数之差，如第一行为 X1与X4之差，余类推。第（3）栏为四个 样本均数按大小排列时，A B两对比组范围内所包含的组数 a,如第一 “1与4” 范围内包含4个组，故a=4.第（4）栏是按式（19.13 ）计算的统计量q值，式| 中的分母0.7919是按式（19.14 ）计算出来的SXA-XB第（5）、（ 6）栏是根据 误差自由度v与组数a查附表19-3q界值表所得的q界值，本例v误差=28，因 q界值表中自由度一栏无28,可用近似值30或用内插法得出q界值，本例用近 似值 30 查表，当 a=4 时，q0.05（ 30，4） =3.85，q0.01 （ 30, 4） =4.80，余类 推。第（7）栏是按表19-13判定的。

4. 结论由表19-14可见，除秋季与冬季为PV0.05夕卜，其它任两对比组皆为 PV 0.01，按a =0.05检验水准均拒绝H0,接受H1,可认为不同季节的湖水氯化物 含量皆不同，春季氯化物含量最高，冬季含量最低。

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PS:进行方差分析前必须要做方差齐性检验和正态分布检验

，至于如何做, 方法很多

检验。方 p值应

了，常见的正态性检验有 Kolmogorov-Smirnov 检验和 Shapiro-Wilk 差齐性常

采用Bartlett 检验。相同的数据，不同的软件，采用相同的方法给出的 该是一样的。