宁海中学数学组
一、 一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；
Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.
4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：
5．当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题：
(以下等价关系要求会用公式 ；Δ=b2-4ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数 = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数 =1且Δ≥0 a = c且Δ≥0；（3）两根异号 ＜0 a、c异号；6．几个常见转化： ；；
二、 解三角形
全等三角形的识别（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记（边边边或SSS）(2) 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这个三角形全等。简记为（边角边
SAS） （3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（角边角ASA） （4）如果两个三角形的斜边
及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。简记为（HL）
1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么
sinA=； cosA=；
tanA=；
2．余角三角函数关系 ------ “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°,那么：
sinA=cosB； cosA=sinB； 3. 同角三角函数关系：
sin2A+cos2A =1； tanA=
4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数
值增大；余弦函数随角的增大，函数值反而减小.
5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设
k, 它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.
∠A 0°30°45°60°90°6. 函数值的取cosA 1 0值范围： 在0° tanA01不存在90°时.
正弦函数值范
围：0 1； 余弦函数值范围: 1 0； 正切函数值范围：0 无穷大；
7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.
8. 关于直角三角形的两个公式： Rt△ABC中: 若∠C=90°,
9．坡度： i = 1:m = h/l = tanα； 坡角: α.
10. 方位角： sinA
0
1
11．仰角与俯角：
12．解斜三角形：已知“SAS” “SSS” “ASA” “AAS” 条件的任意
三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.
13．解符合“SSA”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA”条件，则可分三种情况：（1）∠A≥90°，图形唯一可解； （2） ∠A＜90°，∠A的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）∠A＜90°，∠A的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解.14．解三角形的基本思路：
（1）“斜化直，一般化特殊” ------- 加辅助线的依据；
（2）合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想；
（3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法---------方程思想.
三、 四边形
1．一般性质（角）
⑴内角和：360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ⑶外角和：360°2．特殊四边形
(1)平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 (2)判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→菱形——→正方形 (3)对角线的作用：3．对称图形
⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）
4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2 ；②三角形、梯形的中位线定理 ；③平行
线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）
5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连
结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。6．作图：任意等分线段。
四、 相似形
一、相似三角形的判定和性质 （比例的有关性质）：
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 注意：①定理中“对应”二字的含义; ②平行→相似（比例线段）→平行。 二、相似三角形性质
1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。
五、函数及其图象
一 函数基本概念
1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x的每一个值, y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.
3. 函数的确定：对于 y=kx2 (k≠0), 如x是自变量，这个函数是二次函数；如x2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数.4.平面直角坐标系：
（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为: M（x,y），x叫横坐标，y叫纵坐标；
（2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：
（3） x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0; 即“x轴上的点纵
为0，y轴上的点横为0”；反之也
成立；
（4）象限角平分线上点M(x,y) 的坐标特征:
x=y <=> M在一三象限角平分线上； x=-y <=> M在二四象限角平分线上.
（5）对称两点M(x1,y1), N(x2,y2) 的坐标特征：
关于y轴对称的两点 <=> 横相反，纵相同；
关于x轴对称的两点 <=> 纵相反，横相同；关于原点对称的两点 <=> 横、纵都相反.
5.坐标系中常用的距离几个公式 -------“点求距”
（1）如图，轴上两点M、N之间的距离：MN=|x1-x2|=x大-x小 , PQ=|y1-y2|=y大-y小 .
（2）如图， 象限上的点M（x,y）:
到y轴距离：dy=|x|； 到x轴距离: dx=|y|；
.
（3）如图，轴上的点M（0,y）、N（x,0）到原点的距离： MO=|y|； NO=|x|.
（4）如图，平面上任意两点M（x2,y2）、N（x2,y2）之间的距离：
6. 几个直线方程 :
y轴 <=> 直线 x=0 ； x 轴 <=> 直线 y=0 ；
与y轴平行，距离为∣a∣的直线 <=> 直线 x=a；与x轴平行，距离为∣b∣的直线 <=> 直线 y=b.
二、二次函数
1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)
2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.
3. y=ax2 (a≠0)的特性：当y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函
数为y=ax2 (a≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：
（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax2 (a≠0)可以经
过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).
4. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式：
5. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：
(1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；
(2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；
c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；
(3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y
轴的左侧；
b=0 <=> 对称轴是y轴；
(4) Δ＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点；
Δ=0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）；Δ＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.
6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.
8．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k.
9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x0,y0）和图象上
的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -x0)2+ y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）
10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才
好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：
k值增大 <=> 图象向上平移； k值减小 <=> 图象向下平移；
（x-h）值增大 <=> 图象向左平移； (x-h)值减小 <=> 图象向右平移.
11. 二次函数的零点式：(即两点式) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)；由双根
式直接可得二次函数图象与x轴的交点（x1,0）,（x2,0）.12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x轴的交点坐标
（x1,0），（x2,0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. （注意：习题最后结果要求化为一般式）
13．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利
用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.
三、反比例函数
1. 反比例函数的一般形式：图象叫双曲线.
2. 关于反比例函数图象的性质： 反比例函数y=kx-1中自变量x不能取0,
故函数图象与y轴无交点; 函数值y也不会是0, 故图象与x轴也不相交.3. 反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系：
4. 求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式y=kx-1, 代入这一点可求k 值，从而求出解析式.
四、二次函数与一元二次方程的关系：
（1）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交，函
数值y=0，此时, 二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，这个方程的两个根x1 、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1 ,0）（x2 ,0）；
（2）当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时，应立即把函数
转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，Δ值，根系关系等都可用于这个二次函数.
（3）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交于两点A（x1 ,0）,B（x2 ,0）有重要关系式: OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点C(0,c),也有关系式: OC=|c|.
五、二元二次方程组解的判断：
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的Δ值将决定原方程组解的情况，即：
Δ＞0 <=> 方程组有两个解； Δ=0 <=>方程组有一个解；Δ＜0 <=>方程组无实解.
六、 圆
几何基本概念：
一 基本概念：
圆的有关概念：（1）、确定一个圆的要素是圆心和半径。
（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆周的圆弧叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线
的交点；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。直角三角形内切圆半径满足：。二 定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆.
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三 公式：
1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR2.
（4）扇形面积S扇形 =；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图）
2.圆柱与圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）四 常识：
1． 圆是轴对称和中心对称图形.
2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3． 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心;( 三角形的重心 两中线的交点 顶点到重心的距离=重心到对边中点距离的两倍;
三角形的垂心 两高线的交点顶点与垂心的连线垂直于对边. ) 4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）
直线与圆相交 d＜r ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 d＞r.
5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示
两个圆的半径且R≥r）
两圆外离 d＞R+r； 两圆外切 d=R+r； 两圆相交 R-r＜d＜R+r；
两圆内切 d=R-r； 两圆内含 d＜R-r.
6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.
关于几何圆的基本图形1.垂径定理及推论: 几何表达式举例： 如图：有五个元素，“知二可推三”；∵ CD过圆心需记忆其中四个定理，∵CD⊥AB即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例：2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”； “等弦对等角”；“等角对等弧”； “等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD几何表达式举例：（1） ∵∠ACB=∠AOB∴ ……………（2） ∵ AB是直径∴ ∠ACB=90°（3） ∵ ∠ACB=90°∴ AB是直径（4） ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC是RtΔ半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)
（1） （2）（3） （4） 5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 几何表达式举例：（1） ∵OC是半径6．切线的判定与性质定理:∵OC⊥AB如图：有三个元素，“知二可推一”；∴AB是切线需记忆其中四个定理.（2） ∵OC是半径（1）经过半径的外端并且垂直于这条∵AB是切线半径的直线是圆的切线；∴OC⊥AB（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过（3） …………… 切点；（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA、PB是切线∴ PA=PB∵PO过圆心∴∠APO =∠BPO几何表达式举例：∵ ABCD是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180° 8．弦切角定理及其推论:几何表达式举例：（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（1）∵BD是切线，BC是弦（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么∴∠CBD =∠CAB这两个弦切角也相等；（如图）（2）（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数∵ ED，BC是切线的一半.（如图）∴ ∠CBA =∠DEF （1） （2） 9．相交弦定理及其推论:几何表达式举例：（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两（1） ∵PA·PB=PC·PD条线段长的乘积相等；∴………（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一（2） ∵AB是直径半是它分直径所成的两条线段长的比例中∵PC⊥AB项.∴PC2=PA·PB （1） （2）10．切割线定理及其推论:几何表达式举例：（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线（1） ∵PC是切线，长是这点到割线与圆交点的两条线段长的PB是割线比例中项；∴PC2=PA·PB（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点（2） ∵PB、PD是割线到每条割线与圆的交点的两条线段长的积∴PA·PB=PC·PD相等. （1） （2）11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.几何表达式举例：（1） ∵O1，O2是圆心∴O1O2垂直平分AB（2） ∵⊙1 、⊙2相切∴O1 、A、O2三点一线 （2）12．正多边形的有关计算:（1）中心角n ，半径RN ， 边心距rn ， 边长an ，内角n ， 边数n；（2）有关计算在RtΔAOC中进行.
（1） 公式举例：(1) n =；(2)
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