2019-2020学年浙江省绍兴市越城区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)

一、选择题（共10小题）.

1．（4分）函数y(x1)22的最小值是( ) A．1 2．（4分）若A．

2 5B．1

a2a的值是( ) ，那么

b3ab3B．

5C．2 D．2

C．

3 2D．

5 23．（4分）在RtABC中，C90，已知a和A，则下列关系中正确的是( ) A．casinA

B．ca sinAC．cacosA D．ca cosA4．（4分）如图，四边形ABCD内接于O，若A:C5:7，则C( )

A．210

B．150

C．105

D．75

5．（4分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是( )

A．24 B．18 C．16 D．6

6．（4分）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有( ) A．0种

B．1种

C．2种

D．3种

7．（4分）抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x   3 6 2 1 0 6 1 6   y 0 4 容易看出，(2,0)是它与x轴的交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为( ) A．(1,0)

B．(2,0)

C．(3,0)

D．(4,0)

8．（4分）如图，将ABO的三边扩大一倍得到CED（顶点均在格点上），它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )

A．(0,3)

B．(0,0)

C．(0,2)

D．(0,3)

9．（4分）如图，AB是O的直径，且AB4，C是O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，314，21.41，31.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是( )

A．3.2

B．3.6

C．3.8

D．4.2

10．（4分）小敏打算在某外卖网站点如下表所示的菜品和米饭．已知每份订单的配送费为3元，商家为促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小敏在购买下表的所有菜品和米饭时，采取适当的下单方式，那么他点餐的总费用最低可为( )

菜品 水煮牛肉（小) 醋溜土豆丝（小) 豉汁排骨（小) 手撕包菜（小) 米饭 单价（含包装费） 30元 12元 30元 12元 3元 数量 1 1 1 1 2 A．48元 B．51元 C．54元 D．59元

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）正五边形的一个内角的度数是 ．

12．（5分）已知两个相似三角形的相似比为2:5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为 ．

13．（5分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sinABC ．

14．（5分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：直线a和直线外一点P． 求作：直线a的垂线，使它经过P． 作法：如图2， （1）在直线a上取一点A，连接PA； （2）分别以点A和点P为圆心，大于1AP的长为半径作弧， 2两弧相交于B，C两点，连接BC交PA于点D； （3）以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于 点E，作直线PE． 所以直线PE就是所求作的垂线． 请回答：该尺规作图的依据是 ．

15．（5分）如图，一抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线段CDDE上移动，已知点C，D，E的坐标分别为(2,8)，(8,8)，(8,2)，若点B横坐标的最小值为0，则点

A横坐标的最大值为 ．

16．（5分）如图，在ABC中，ACB90，sinB3，将ABC绕顶点C顺时针旋转，5得到△A1B1C1，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么A1D:DB ．

三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）

17．（8分）计算：4sin302cos45tan260． 18．（8分）已知抛物线y125xx． 22（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；

（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BACB，点E，F分别在AB，BC上，且EFBD． （1）求证：EFB∽CDA；

（2）若AB20，AD5，BF4，求EB的长．

20．（8分）“红灯停，绿灯行”是我们过路口遇见交通信号灯时必须遵守的规则．小明每天从家骑自行车上学要经过三个路口，假如每个路口交通信号灯中红灯和绿灯亮的时间相同，且每个路口的交通信号灯只安装了红灯和绿灯．那么某天小明从家骑车去学校上学，经过三个路口抬头看到交通信号灯．

（1）请画树状图，列举小明看到交通信号灯可能出现的所有情况； （2）求小明途经三个路口都遇到红灯的概率．

21．（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且ACBC，CD400米，tanADC2，ABC35． （1）求道路AB段的长；（精确到1米）

（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin350.57358，cos350.8195，tan350.7)

22．（12分）如图1，O的直径AB4cm，点C为线段AB上一动点，过点C作AB的垂线交O于点D，E，连结AD，AE．设AC的长为xcm，ADE的面积为ycm2．

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题：

（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了y与x的几组对应值，如下表： x/cm 0 0 0.5 0.7 1 1.7 1.5 2.9 2 a 2.5 4.8 3 5.2 3.5 4.6 4 0 y/cm 请求出表中小东漏填的数a；

（2）如图2，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象；

（3）结合画出的函数图象，当ADE的面积为4cm2时，求出AC的长．

23．（12分）已知：ABC中，点D为边BC上一点，点E在边AC上，且ADEB． （1）如图1，若ABAC，求证：（2）如图2，若ADAE，求证：

CEBD； CDACCEBD； CDAE1，则AB ． 2（3）在图2的条件下，若DAC90，且CE4，tanBAD

24．（14分）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DEDC，DEDC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PFCD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似？ （3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，

N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；

若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）函数y(x1)22的最小值是( ) A．1

B．1

C．2

D．2

解：根据二次函数的性质，当x1时，二次函数y(x1)22的最小值是2． 故选：D． 2．（4分）若A．解：ba2a的值是( ) ，那么

b3ab3B．

52 5a2， b3C．

3 2D．

5 23a， 2aa2； aba3a52故选：A．

3．（4分）在RtABC中，C90，已知a和A，则下列关系中正确的是( ) A．casinA

B．ca sinAC．cacosA D．ca cosAc2a2a解：直角三角形中，sinA，cosA，

cc可以求得ca，故B选项正确， sinA故选：B．

4．（4分）如图，四边形ABCD内接于O，若A:C5:7，则C( )

A．210 B．150 C．105 D．75

解：AC180，A:C5:7， C1807105． 57故选：C．

5．（4分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是( )

A．24 B．18 C．16 D．6

解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%， 摸到白球的频率为115%45%40%，

故口袋中白色球的个数可能是4040%16个． 故选：C．

6．（4分）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有( ) A．0种

B．1种

C．2种

D．3种

解：两根铝材的长分别为27cm、45cm，若45cm为一边时， 则另两边的和为27cm，2745，不能构成三角形， 必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，

设另外两边长分别为x、y，则 （1）若27cm与24cm相对应时， 27xy， 243036解得：x33.75cm，y40.5cm，

xy33.7540.574.25cm45cm，故不成立；

（2）若27cm与36cm相对应时， 27xy， 363024解得：x22.5cm，y18cm，xy22.51840.5cm45cm，成立； （3）若27cm与30cm相对应时，

27xy， 303624解得：x32.4cm，y21.6cm，xy32.421.654cm45cm，故不成立； 故只有一种截法． 故选：B．

7．（4分）抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x   3 6 2 1 0 6 1 6   y 0 4 容易看出，(2,0)是它与x轴的交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为( ) A．(1,0)

B．(2,0)

C．(3,0)

D．(4,0)

解：根据题意，知抛物线yax2bxc上过点(2,0)、(0,6)和(1,6)，把它们代入方程，得

4a2bc0(1) c6(2)abc6(3)a1解得b1

c6抛物线方程是yx2x6，

抛物线方程是yx2x6与x轴的另一个交点就是方程x2x60的另一个根， 解方程，得

x12，x23

抛物线方程是yx2x6x轴的另一个交点是(3,0)，

故选：C．

8．（4分）如图，将ABO的三边扩大一倍得到CED（顶点均在格点上），它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )

A．(0,3)

B．(0,0)

C．(0,2)

D．(0,3)

解：如图所示：P(0,3)点即为所求点．故选：D．

9．（4分）如图，AB是O的直径，且AB4，C是O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，314，21.41，31.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是( )

A．3.2

B．3.6

C．3.8

D．4.2

解：作OEAC交O于F，交AC于E．连接OB，BC．

1由折叠的性质可知，EFOEOF，

21OEOA，

21在RtAOE中，OEOA，

2CAB30，

AB是直径，

ACB90，BOC2BAC60，

AB4， BC1AB2，AC3BC23， 2线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积

321160222ACBCS扇形OBCSOBC232233.8， 2236043故选：C．

10．（4分）小敏打算在某外卖网站点如下表所示的菜品和米饭．已知每份订单的配送费为3元，商家为促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小敏在购买下表的所有菜品和米饭时，采取适当的下单方式，那么他点餐的总费用最低可为( )

菜品 水煮牛肉（小) 醋溜土豆丝（小) 豉汁排骨（小) 手撕包菜（小) 米饭 A．48元

B．51元

单价（含包装费） 30元 12元 30元 12元 3元 C．54元

数量 1 1 1 1 2 D．59元

解：小敏应采取的订单方式是60一份，30一份，

所以点餐总费用最低可为603033012354（元)． 答：他点餐总费用最低可为54元． 故选：C．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．（5分）正五边形的一个内角的度数是 108 ． 解：正多边形的内角和公式为：(n2)180， 正五边形的内角和是：(52)180540，

则每个内角是：5405108．

12．（5分）已知两个相似三角形的相似比为2:5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为 25 ． 解：设另一个三角形的面积为x， 由题意得，

42()2， x5解得x25． 故答案为：25．

13．（5分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，则sinABC C都在格点上，

5 ． 5

解：小正方形边长为1， AB28，bC210，AC22； AB2BC2AC2，

ABC是直角三角形，且ABC90，

sinABCAC25． BC510故答案为5． 514．（5分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：直线a和直线外一点P． 求作：直线a的垂线，使它经过P． 作法：如图2， （1）在直线a上取一点A，连接PA； （2）分别以点A和点P为圆心，大于1AP的长为半径作弧， 2两弧相交于B，C两点，连接BC交PA于点D； （3）以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于 点E，作直线PE． 所以直线PE就是所求作的垂线． 请回答：该尺规作图的依据是 直径所对的圆周角是直角 ． 解：由作图知，点E在以PA为直径的圆上， 所以PEA90， 则PE直线a，

所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角， 故答案为：直径所对的圆周角是直角．

15．（5分）如图，一抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线段CDDE上移动，已知点C，D，E的坐标分别为(2,8)，(8,8)，(8,2)，若点B横坐标的最小值为0，则点A横坐标的最大值为 7 ．

解：由图可知，当点B的横坐标取得最小值0时，抛物线的顶点在点C处， 设此时抛物线的解析式为ya(x2)28， 点B(0,0)在抛物线上，

0a(02)28，得a2，

当点A的横坐标取得最大值时，抛物线的顶点在点E处，

此时抛物线的解析式为y2(x8)222(x7)(x9)， 此时与x轴的交点为(7,0)，(9,0)， 此时点A的坐标为(7,0)， 点A的横坐标的最大值是7，

故答案为：7．

16．（5分）如图，在ABC中，ACB90，sinB3，将ABC绕顶点C顺时针旋转，5得到△A1B1C1，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么A1D:DB 5 ． 12

解：ACB90，sinB设AC3x，AB5x，

AC3， AB5BC(5x)2(3x)24x，

将ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C， CB1BC4x，A1B15x，ACBA1CB1，

点E是A1B1的中点， CE1A1B12.5xB1EA1E，BEBCCE1.5x， 2BB1，CEB1BED CEB1∽DEB DEDBBE1.5x3312，DBB1Cx， CEB1CB1E2.5x5553DECE1.5x，

5A1DA1EDEx， A1Dx5； DB12x1255． 12故答案为：

三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）

17．（8分）计算：4sin302cos45tan260． 122(3)22134． 221518．（8分）已知抛物线yx2x．

22解：原式4（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；

（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 解：（1）

y1251xx(x1)23， 222抛物线的顶点坐标为(1,3)，

对称轴是直线x1；

15（2）当y0时，x2x0，

22解得：x116，x216， AB|x1x2|26．

19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BACB，点E，F分别在AB，BC上，且EFBD． （1）求证：EFB∽CDA；

（2）若AB20，AD5，BF4，求EB的长．

解：（1）

ABAC，

BACB， AD//BC， DACACB， BDAC，

DEFB， EFB∽CDA；

（2）EFB∽CDA， 

BEBF， ACADABAC20，AD5，BF4，

BE16．

20．（8分）“红灯停，绿灯行”是我们过路口遇见交通信号灯时必须遵守的规则．小明每天从家骑自行车上学要经过三个路口，假如每个路口交通信号灯中红灯和绿灯亮的时间相同，且每个路口的交通信号灯只安装了红灯和绿灯．那么某天小明从家骑车去学校上学，经过三个路口抬头看到交通信号灯．

（1）请画树状图，列举小明看到交通信号灯可能出现的所有情况； （2）求小明途经三个路口都遇到红灯的概率． 解：（1）画树状图如下：

由图可知，共有8种等可能的结果；

（2）共有8种等可能的结果，小明途经三个路口都遇到红灯的有1种， 1小明途经三个路口都遇到红灯的概率是．

821．（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且ACBC，CD400米，tanADC2，ABC35． （1）求道路AB段的长；（精确到1米）

（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin350.57358，cos350.8195，tan350.7)

解：（1）

ACBC，

C90，

tanADCAC2， CDCD400， AC800，

在RtABC中，ABC35，AC800， ABAC8001395 米； sin350.57358AB1395，

（2）

该车的速度139555.8km/h60千米/时， 90故没有超速．

22．（12分）如图1，O的直径AB4cm，点C为线段AB上一动点，过点C作AB的垂线交O于点D，E，连结AD，AE．设AC的长为xcm，ADE的面积为ycm2．

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题：

（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了y与x的几组对应值，如下表： x/cm 0 0 0.5 0.7 1 1.7 1.5 2.9 2 a 2.5 4.8 3 5.2 3.5 4.6 4 0 y/cm 请求出表中小东漏填的数a；

（2）如图2，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象；

（3）结合画出的函数图象，当ADE的面积为4cm2时，求出AC的长． 解：（1）当x2时，点C与点O重合，此时DE是直径，y

（3）函数图象如图所示：

1424．即a的值是4； 2

（4）观察图象可知：当ADE的面积为4cm2时，AC的长度约为2.0或3.7cm 故答案为2.0或3.7．

23．（12分）已知：ABC中，点D为边BC上一点，点E在边AC上，且ADEB． （1）如图1，若ABAC，求证：（2）如图2，若ADAE，求证：

CEBD； CDACCEBD； CDAE（3）在图2的条件下，若DAC90，且CE4，tanBAD651，则AB ．

52

【解答】证明：（1）ADCADEEDCBBAD，ADEB， EDCBAD， BAD∽CDE， 

CEBD， CDABABAC，

又

CEBD； CDAC

（2）在线段AB上取一点F，使DBDF， BDFBADE， ADAE， ADEAED， AEDDFB，

BADBDA180B，BDACDE180ADE， BADCDE，

AFD180DFB，DEC180AED， AFDDEC， AFD∽DEC， 

CEDF， CDADDBDF，ADAE， 

CEBD； CDAE

（3）过点E作EFBC于F， ADEB45，

BDABAD135，BDAEDC135， BADEDC，

tanBADtanEDFEF1， DF2设EFx，DF2x，则DE5x，

在DC上取一点G，使EGD45， BAD∽GDE，

ADAE，

AEDADE45，

AEDEDCC45，CCEG45， EDCGEC， EDC∽GEC，



CGEGCE， CEDECDCG2x410，CG， 455x又CE2CDCG， 42CD2xx410，CD210， 5410210， 210，解得x55BAD∽GDE， 

DEDG2， ADABABDG23x265， 5故答案为：65． 5

24．（14分）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DEDC，DEDC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PFCD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似？

（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，

N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；

若不存在，请说明理由．

解：（1）方法一：

过点E作EGx轴于G点．

四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点， OAOC2，OD1，AOCDGE90． CDE90， ODCGDE90． ODCOCD90， OCDGDE．

CODDGE在OCD和GED中OCDGDE，

DCDEODCGED (AAS)，

EGOD1，DGOC2． 点E的坐标为(3,1)．

抛物线的对称轴为直线AB即直线x2， 可设抛物线的解析式为ya(x2)2k，

将C、E点的坐标代入解析式，得 4ak2． ak11a3， 解得k2312抛物线的解析式为y(x2)2；

33 方法二：

过点E作EGx轴于G点． DEDCCDOEDH90， EGx轴DEHEDH90， CDODEH，DCDE，

ODCGEDDGOC2，EGOD1，

E(3,1)， 9a3b20，

b2， 2a12抛物线的解析式为y(x2)2；

33

（2）方法一：

①若DFP∽COD，则PDFDCO， PD//OC，

PDOOCPAOC90， 四边形PDOC是矩形，

PCOD1， t1；

②若PFD∽COD，则DPFDCO，

PDDF． CDODPCF90DCO90DPFPDF． PCPD，

1DFCD．

2CD2OD2OC222125，

CD5，

DF5． 2PDDF， CDOD555， 22PCPDt5， 2综上所述：t1或t方法二：

5时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似； 2过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H， PFCDPFGDFH90， GHOAFDHDFH90，

PFGFDHPFG∽FDHPFCDKPFKCD1， lCD:y2x2，

PFPG， DFFHF(m,2m2)，P(t,2)， 22m1， tmmt， 5t2F(，t2)，

55tPFPG52t， DFFH22t5t5t以P，F，D为顶点的三角形与COD相似，

①②

PFOC2t5，2，t，

DFOD5t2PFOD2t1，，t1，

DFOC5t25时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似； 2综上所述：t1或t方法三：

若以P，F，D为顶点的三角形与COD相似， 则OCDPDF或ODCPDF，

①OCDPDFPD//OC，CPOD1，t1， ②ODCPDF，作OOCD交CD于H， KOOKCD1， lCD:y2x2，

H(m,2m2)， 2m2m21， m4， 542H(，)，

5584H为OO中点，O(，)，

55lOD:y44x， 335， 2令y2，x5即P(，2)，

2t5． 2

（3）存在，

四边形MDEN是平行四边形时，M1(2,1)，N1(4,2)； 四边形MNDE是平行四边形时，M2(2,3)，N2(0,2)； 12四边形NDME是平行四边形时，M3(2,)，N3(2,)．

33