抛物线及其性质
【考纲说明】
1、 掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、 通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。
【知识梳理】
1.抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 2.抛物线四种标准方程的几何性质:
图形 参数p几何意义 开口方向 标准方程 焦点位置 焦点坐标 2 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔• 右 2 井 左 2上 下 2 y =2px(p>0) X正 y =—2px(pA0) X负 x =2 py( p >0) Y正 x =—2py(p>0) Y负 (f0) 准线方程 (p,0) 2 (0月 2 T (0, p) 2 X」 2 x 兰0, y € R X轴 x」 2 x兰0,厂R X轴 (0,0 ) 范围 对称轴 顶点坐标 离心率 通径 焦半径A(x,y) 焦点弦长AB| y Z0,x€ R Y轴 :卍 y兰0芒R Y轴 e = 1 2p AF =x, +卫 2 (Xi +X2) +p AF = -x1 + 卫 2 -(Xi +X2)+ p AF = % +卫 2 (yi + y2)+ p AF =—力+卫 2 —(yi + y2)+ P
焦点弦长AB | 以AB为直径的圆必与准线I相切
的补充 若AB的倾斜角为a , |AB| sin a 若AB的倾斜角为a ,则AB - 2p 2 2 A(X1,yJ B(X2』2) 1 1 1
cos2 a p g2 =, 4 AF +BF 沁=—p AB 2 AF BF 一 AF ・BF 一 AF ・BF 一 p 3•抛物线y2 =2px(p 0)的几何性质：
(1) 范围 因为p>0,由方程可知x>0,所以抛物线在 y轴的右侧，
当x的值增大时，| y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.
⑶顶点(0, 0)，离心率：e = 1，焦点F (卫,0)，准线x = - P，焦准距p.
2 2
⑷ 焦点弦：抛物线 y2 =2px(p 0)的焦点弦 AB , AX’yJ, B(x2, y2),则 | AB |= X! • x2 • p .
弦长|AB|=x i+X2+p,当xi=X2时，通径最短为 2p。
0) 4.焦点弦的相关性质： 焦点弦 AB , A(X1,yJ, Bgy)，焦点 F(±
2
2
p
2
2
(1)若AB是抛物线y 则：年2
=2px；p
,
0)的焦点弦(过焦点的弦)，且, B(X2, y?)，
4
%丫2一卩。
2p若AB是抛物线y2=2pXp 0)的焦点弦，且直线 AB的倾斜角为a ,贝U AB - 已知直线AB是过抛物线y
2
(%工0 )。
sin 2 a
=2px(p 0)焦点F ,
------- I ----------- = -------------------------
1 1 AF BF AB 2 AF *BF p
AF BF AF *BF
焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.
•⑦过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为
(5)两个相切：①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切 直径端点的圆与焦点弦相切。
5.弦长公式：A(X1，yJ, B(X2,y2)是抛物线上两点，则
AB = J(X1 _X2)2 +(比 _y2)2 =P1 +k2 |X1 —X2 1= j1 + 占 M -丫2 I
【经典例题】
(1)抛物线一一二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：至L个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合
•其
离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中 又生出多少华丽的篇章•
.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，
【例1】P为抛物线y2 =2px上任一点, k2 F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴( •••方程(1 )之二根X1 , Xx
1 ^7
为 A.相交 X2 ,•B. 相切 C.相离 D.位置由P确定
【解析】如图，抛物线的焦点为 F '-,0 :准线是 12丿
| ： X = _卫•作PHL I于H,交y轴于Q,那么PF = PH 2 且QH =0F =卩•作MNL y轴于N则MN是梯形PQOF勺 2
1 1 1
中位线， MN = —(|0F + PQ )=_ PH =— PF .故以
2 2 2
PF为直径的圆与y轴相切，选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的•
(2)焦点弦
常考常新的亮点弦
•理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关
【例2】过抛物线y2 =2px p - 0的焦点F作直线交抛物线于 A x1,y1 , B x2, y2两点，求证：
( AB =% +x2 + p
1)
(2)
1 AF
1 BF
【证明】(1)如图设抛物线的准线为I，作
AA丄丨A，BR丄I于^，则AF=人人|=咅+# ,
BF| =|BB| =X2十匕两式相加即得：
2
AB| =咅 + x2 + p
(2)当AB丄x轴时，有
AF BF =p,,
丄〜
AF BF
二—成立;
当AB与x轴不垂直时，设焦点弦 AB的方程为:
y二k X-卫•代入抛物线方程:
I 2丿
2
f
2
¥
2p
kx遗=x.化简得:
k2x2 - p k2 2 x 丄k2 =0
4
1 1
1
! x2 p
AF \"BF
AA BB ------- 1 1+ ---------
x-p p
2
1 xP P 1 x
2 X1X2 - X2 4
2 2 p
y X1 X2 p 2 故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有
1 -+- 1
AF BF -_ 一成立p
(3)切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关
.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功
【例3】证明：过抛物2 y = 2 px上一点M( xo, yo)的切线方程是: yoy=p 线
（x+xo）
【证明】对方程y2
=2px两边取导数：2yy〉2p，.切线的斜率
y
， p p 2
k = y x% = — •由点斜式方程： y — y° =—（x —沧）=> y°y = px — px° 十 y°
* * 2 （1 1 yo =2pxo,代入（））即得：y oy=p （x+x°
） ）
yo yo
(4)定点与定值 --- 抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值 .掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获
例如：1•一动圆的圆心在抛物线y2
=8x上，且动圆恒与直线x，
2=0相切，则此动圆必过定点
( ) A 4,0 B. 2,O C. O,2 D. 0,-2 显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B.
2
2. 抛物线y =2px的通径长为2p ； 3. 设抛物线y2 =2px过焦点的弦两端分别为 A ^,y1 ,B x2, y2，那么：目诃2 - - p2 以下再举一例
【例4】设抛物线y2 =2px的焦点弦AB在其准线上的射影是 A1B1,证明：以A1B1为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 AB=AB=2p而AB与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的 焦点
.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点 .以下我们对AB的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为
A x1, y1 ,B x2,y2 ，
.
2 2
那么：y』2 =_p 二 |CA CBi =|yi y2 = P •
设抛物线的准线交 x轴于C,那么CF| = p.
AAA^FB,中 CF = CA CBj .故
ZAFBJ =90。
这就说明：以 AiBi为直径的圆必过该抛物线的焦点
• 通法特法妙法
（1）解析法一一为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等） 【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x 2+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（
）
A.3
B.4
C.3 . 2
D.4、2
【分析】直线 AB必与直线x+y=0垂直，且线段 AB的中点必在直线 x+y=0上，因得解法如下.
【解析】•••点 A B关于直线x+y=0对称，•••设直线 AB的方程y 二x m.
为:
丄 y = x m 2
由 2
1
-x 2 二 x x m -3 = 0 y =3
设方程（1 ）之两根为xi, X2，则x1
x^ -1.
x + X
1 1
( 1 1 X|
设 AB的中点为 M (xo, yo),贝U x0
= ------------------------- = -一.代入 x+y=0 : yo=—.故有 M .——
2
2
2
I 2 2丿
从而m = y -x =1.直线AB的方程为：y = x • 1.方程(1)成为：x2，x -2 =0.解得： x = -2,1，从而 y = T,2，故得：A (-2 , 1 ), B (1, 2).二 | AB = 342，选 C.
（2）几何法——为解析法添彩扬威
-
虽然解析法使几何学得到长足的发展， 但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算， 这又使得许多考生对解析几何习
.
题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法
【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为I，经过F且斜率为.,3的直线与抛物线在 x轴 上方的部分相交于点 A，AK丄I，垂足为K ,则AAKF的面积（
A . 4
B. 3,3
C. 4.3
D .
【解析】如图直线 AF的斜率为3时/ AFX=60 ° . △ AFK为正三角形.设准线I交x轴于M则FM | = p = 2,
且/ KFM=60 ,二 KF | = 4, S^AKF = ~ x 4 = 4
.选 C.
【评注】（1）平面几何知识：边长为 a的正三角形的
A. -1 面积用公式
（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点
如上的几何法简单.
（3）定义法一一追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难
.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单
【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线
A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积 .虽不是很难，但决没有
C1 2
a
：
x
2
y
2 2
b
=1（a 0, b 0）的左准线为l，左焦点和右焦点分别为
田-啊等于（） MF1 〔MF?] C.
F1和F2 ;抛物线C2的线为l，焦点为
F2； G与C2的一个交点为 M，则
1 2
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义 方面去寻找出路吧.
如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c,离心率为e,作 MH - I于H，令
MF1 =「1, MF2 二 r2 .•••点M在抛物线上, 二
.MH| = MFr,故兽=怦
|MH| |MF2|
也刖的实质是离心率
这就是说:
|MF2|
e.
其次，1 FlF2 1与离心率e有什么关系？注意到:
|MFI|
F1F2 MF1
2c e 2a ri
ri
| F1F21 |MFi |
=e-lj^ei-l..'.选 A..
|MFi| 「IMF?]
这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于
(4)三角法一一本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函 数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”一一达到解题目的
因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算
【例8】(09.重庆文科.21题)如图，倾斜角为a的直线经过 焦点F，且与抛物线交于 A、B两点。
抛物线y2 =8x的
(I)求抛物线的焦点 F的坐标及准线I的方程； (H)若a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交 x轴
于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。
【解析】(I)焦点F (2, 0)，准线l；x=—2.
(n)直线 AB : y=tan：—x-2j i：1 .
y
2
2
8
x = — 代入(i),整理得：y tana -8y -i6tana =0
8 tan：
设方程(2 )之二根为yi, y2，则
yi y2
.yi y2 . yi 5 2
4
4cot: tan :
2
设AB中点为M xo,yo，则 70
x0 二 coK y0 2 = 4cot :-
AB的垂直平分线方程是： 令 y=0,则 x =4cot2 ：
2
y -4cot〉= -cot\"〔x - 4cot2二 2 . 6,有 P 4cot2 ：
6, 0
故 FP = OP — OF =4cot2a 十6— 2 = 4(cot2a +i )=4cos2。
于是 |FP|-|FP|cos2a= 4csc2 〔i -cos2：二 4csc2 ： 2sin2 ： = 8，故为定值
(5)消去法一一合理减负的常用方法 .
•其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似
避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题 兵法上所说的“不战而屈人之兵”
•
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线
I : ( 1)I与抛物线y' =8x有两个不同的交点 A和B；(2)线段
I的方程.
AB被直线li : x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线
Ax,, yi，B x2，y2 则有:
y； =8为 心 8%2\"川\"8\"\"
•••线段AB被直线I i : x+5y-5=0垂直平分，且
y y
i 2
Xi - X2 yi y2
yi y2
* *2
上 5
y0，则y0 = y
y2 2
4 5
.代入 x+5y-5=0 得x=i.于是:
设线段AB的中点为M心
AB中点为M i,4
.故存在符合题设条件的直线，其方程为: I 5丿
【解析】假定在抛物线 y2 =8x上存在这样的两点
y -4 =5 x -i ,即:25x —5y —2i =0
5
(6)探索法一一奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手” 想一一证明一一再猜想一一再证明
.终于发现“无限风光在险峰”
段OA的n等分点从左至右
依次记为Pi,P2,…,Pn-i,过这些分点分别作
x轴的垂线，与抛物线的交点依次为
Qi，Q2，
.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜
【例i0】(i0.安徽卷.i4题)如图，抛物线 y=-x2+i与x轴的正半轴交于点 A,将线
Qn-i，从而得到n-i个直
设
角三角形厶QiOPi, △ Q2PiP2,…,△ Qn-iPn-iPn-i,当 时，这些三角形的面积之和的极限为
【解析】••• OA =i,.图中每个直角三角形的底边长均
为
OA上第k个分点为
,0代入 Pk n
k
y = -x2 i: y = i
n
第k个三角形的面积为:
ak
n T 4n i
i2n2
-
(n —i )—
,
故这些三角形的面积之和的极限
S = lim F
f n _ 1 Y 4 n 十1 \\ 1 ( 1 V 1 1
一 lim i1—- 4亠一=- 2
12n2 12 5( n 人 n 丿 3
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