2016理科数学全国卷1

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）

理科数学

本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交

第★卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A={x|x2﹣4x+3﹤0}，B={x|2x﹣3﹥0}，则A∩B=

3333 （B）3， （C）1， （D），3 （A）3，2222【参考答案】D【解析】对于集合A所给出的二次方程的解为（1,3），对于集合

33所以 AB3，B的解为 ，22

（2）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=

（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

【参考答案】B【解析】将左端展开为x+xi，与右端比较，对应系数相等。所以 x=1，y=1.所以|x+yi|=x2y22.

（3）已知等差数列{an}的前9项的和为27，a10=8，则a100=

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97

9a1a927，所以a1a92a56，a5=3，进而【参考答案】C【解析】S92得到公差da10a51。则a100a1090d98. 105

（4）某公司的班车在7:30、8:00、8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

1123（A） （B） （C） （D）

3234

【参考答案】B【解析】设小明到达车站的时刻为t，当t位于(8:00，8:20)之间时，小明等车的时间超过10分钟。所以他等车超过10分钟的概率为 P12 1那么他等车不超过10分钟的概率也为

2

x2y21表示双曲线，（5）已知方程2且该双曲线两焦点间的距离为4，mn3m2n则n的取值范围是

（A）1,3 （B）1,3 （C）0,3 （D）0,3

222c2mn3mn4，所以m=1，且该方程【参考答案】A【解析】焦距

表示双曲线，所以1+n﹥0，3﹣n﹥0，解得n的范围是1,3.

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的

28π半径。若该几何体的体积是，则它的表面积是

3（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π

1【参考答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一个被挖去角的球，故体

8747积Vπr3，解得半径r=2.该球全表面积S4πr214π，加上三个直角

838πr23π，故总面积为17π. 扇形面积S34

（7）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图像大致为

【参考答案】D【解析】首先确定原函数带绝对值，所以存在不可导点x=0，排除（A）、（C）；当x→+∞时，yfx，排除（B）：所以选择（D）

（8）若a﹥b﹥1，0﹤c﹤1，则

（A）ac﹤bc （B）abc﹤bac （C）alogbc﹤blogac（D）logac﹤logbc 【参考答案】C【解析】对于选项（A），设函数fxxc，当0c1时，f(x)单调递增，所以ac﹥bc；对于选项（B），设函数fxxc1，当0c1时，f(x)

xlnx（x>1），lnc1lnxalnablnb则fx，显然fx0恒成立，所以f(x)单调递减，故有，lnclnclnc单调递减，所以ac1bc1，即abc﹥bac；对于选项（C），设函数fx由对数换底变换可知，alogbc﹤blogac；对于选项（D），设函数fxlogcx，当f(x)单调递减，所以logca﹤logcb，由对数换底变换可知：logac﹥logbc. 0c1时，

（9）执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出的x，y的值满足

（A）y=2x （B）y=3x （C）y=4x （D）y=5x

【参考答案】C【解析】

执行第一步：x1=0，y1=1，n1=1，x2x1n110，y2n1y11 222y236？ 判断x2（否），n2n112

执行第二步：x2=0，y2=1，n2=2，x3x2n211，y3n2y22 2222y336？ 判断x3（否），n3n213

n131执行第三步：x3=，y3=2，n3=3，x4x33，y4n3y36

22222y436？ 判断x4（是）输出，

此时x43，y4=6，满足关系y=4x 2

（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点。已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8

【参考答案】B【解析】设抛物线方程为y22px(p﹥0)，设圆的方程为x2y2r2，坐标原点为O，线段AB中点为M，线段DE中点为N，点A的横坐标为xA.显然

p2p2ON，在ΔDON应用勾股定理可知：r5；联立抛物线与圆的方程得

42222pxAr2，在ΔAOM应用勾股定理可知：r28xA到：xA，联立以上方程可

解得p=4.所以C的焦点到准线的距离为4.

（11）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α★平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n成角的正弦值为 （A）

3213 （B） （C）（D） 2233

【参考答案】A【解析】因为α∥平面CB1D1，由空间直线的可平移性，所以直

线m∥直线BD ，直线n∥直线A1B，做辅助线A1D，可构成正方体ABCD﹣

300 sin60A1B1C1D1中的一个等边ΔA1BD，所以m，n成角为60，所以

2

πππ（12）已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω﹥0，|φ|≤)，x=为f(x)的零点，x为

244π5πy=f(x)图像的对称轴，且f(x)在，单调，则ω的最大值为

1836（A）11 （B）9 （C）7 （D）5

πππ【参考答案】B【解析】因为x=为f(x)的零点，所以ωφk1π，因为x444ππ为y=f(x)图像的对称轴，所以ωφ2k21，两式作差，可得ω2k2k1142所以ω只能为奇数；两式作和，可得φπ1k1k2；记k3=k1+k2， 22π5ππ5π又因为f(x)在，单调，所以fx在，上无零点，fxωcosωxφ，

18361836ππωφ5πωπωπ3π2，φ，φ，，记θ=ωx+φ，则θ∈所以有不等式组185πω3π361822φ23618φ5436φπ解得9，此不等式若有意义，必有φ， ωπ55π6πππ9综上可知φ，所以只能有k3=0，解得φ，所以ω9，

6242即ω的最大值为9.（注：以上k均满足k∈Z）

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）设向量a(m,1)，b(1,2)，且，则m_______

【参考答案】﹣2【解析】ab1m9，abm21142222

所以可解得m=﹣2

（14）(2xx)5的展开式中，x3的系数是_______（用数字填写答案）

k55k【参考答案】10【解析】二项展开式Tk1C24的系数为C5210

x5k2，因为5k3，所以k=4，则x32

（15）设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为________ 【参考答案】64【解析】设数列{an}首项为a1，公比为q，则a1+a1q2=10，a1q+a1q3=5，两

nn1-n7n1n式相除解得公比q，代回原式解得a1=8.设Tna1a2ana1q222， 22注意到n只能为正整数，所以当n取3或4时，Tn取得最大值64.

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时. 生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元，该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为____________元

【参考答案】216 000【解析】设生产x kg的产品A，y kg的产品B，则有线性约束条件

1.5x0.5y150x0.3y90，可设利润函数z=2 100x+900y，在平面Oxy坐标系中画出相关区域，5x3y600可得当

x60时有最大利润为216 000元.

y100三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知2cosC(acosBbcosA)c ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， （Ⅰ）求C （★）若c7，ABC的面积为

33，求ABC的周长. 2【答案】（Ⅰ）C=600；（★）SABC57 （18）（本小题满分12分）

如图，在以A，面ABEF为正方形，AF2FD，C，B，D，E，F为顶点的五面体中，

AFD90°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°

（Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC （★）求二面角EBCA的余弦值

【答案】（Ⅰ）证明略；（★）cosθ219 19（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数

（Ⅰ）求X的分布列

（Ⅱ）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（Ⅰ）随机变量X的分布列 X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 （Ⅱ）n的最小值为19；（Ⅲ）选用n=19的方案

（20）（本小题满分12分）

设圆xy2x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于

22C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E

（Ⅰ）证明：EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围

x2y21y0 【答案】（Ⅰ）|EA|+|EB|=4为定值，点E的轨迹方程为43（Ⅱ）12S四边形MPNQ83

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)(x2)ea(x1)有两个零点 （Ⅰ）求a的取值范围

（★）设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22

【答案】（Ⅰ）a﹥0；（Ⅱ）证明略

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，OAB是等腰三角形，AOB120°，以O为圆心，（Ⅰ）证明：直线AB与★O相切

（Ⅱ）点C，D在★O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB★CD

x21OA为半径作圆 2

【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）证明略 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

xacosty1asint（t为参数，a0）. 在

在直角坐标系xOy中，曲线c1的参数方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2：cos （Ⅰ）说明c1是哪种曲线，并将c1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线c3的极坐标方程为：0，其中0满足tan02，若曲线c1与c2的公共点都在c3上，求a

【答案】（Ⅰ）ρ2ρsinθ1a0（Ⅱ）a=1 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

22f(x)x12x3

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出yf(x)的图像 （Ⅱ）求不等式f(x)1的解集

【答案】（Ⅰ）图略（Ⅱ），1,35，

13