等差数列的前n项和教学设计

教学目标

1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；

2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质． 教学重点和难点

本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得． 教学过程设计

（一）创设情景

有一组袋子，第一个袋子里面有一个球，后一个袋子比前一个袋子多一个相同个数的球，求(1)袋子里球的个数；(2)前50个袋子里共有多少球。

[知识链接] 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋…+100＝？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.

高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提

供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由易到难的问题．

（二）由易到难，在自主探究与合作中学习

问题1：若第一个袋子里有一个球，后一个袋子比前一个袋子多一个球，则前51个袋子里共有多少球？

该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现．

[学情预设] 学生可能出现以下求法

方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51 方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51

方法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26

以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇

数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．

问题2：前n个袋子里共有（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少球？ 启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．

通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：

∵1 + 2 + 3 +…（n－1） + n n +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1

____________________________________________________________________

(n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1) ∴1+2+3+…+n=

n（n+1） 2问题3： 在公差为d的等差数列{an}中，前n项和

Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？

由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程： ∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +…+[a1+(n－1)d] Sn=an + (an－d) +（an－2d）+…+[an－(n－1)d] ∴

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)n个

Snn(a1an) (公式1) 2组织学生讨论：

在公式1中若将an=a1+（n－1）d代入又可得出哪个表达式? 即：Snna1n(n1)d（公式2） 2（三）设置典例，促进学生对公式的应用

对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．

例1、为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表：

5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 问这个同学7天一共将跑多长的距离？ 例2、已知等差数列项公式；

(2)数列｛an｝的前几项和为时相应的n的值。

[知识链接]

125；(3)Sn的最大值为多少？并求出此7245，47 ，37 ，…求：(1)数列｛an｝的通

（1）由Snna1dn(n1)ddddn2(a1)n,若令A,a1B,

22222则SnAn2Bn,可知当d0时，点(n,Sn)是在常数项为0的二次函数图

象上，可由二次函数的知识解决Sn的最值问题；

（2）若数列{an}的前n项和SnAn2Bn（A、BR），则数列{an}一定是等差数列；

Sk最大，（4）在等差数列{an}中，当ak0,ak10时，当ak0,ak10时，Sk最小。

（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握

练习1 已知等差数列｛an｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.

练习2 等差数列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，求公差d及前n项和Sn.

（五）回顾反思，深化知识

组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．

1.从特殊到一般的研究方法；

2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；

（六）布置作业

1.课本P17 练习1 2 3 （1） （2） （3）

教学反思: