省南安第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

第I卷（选择题 共60分）

一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）： 1.i为虚数单位，若a（ ）

A．2i B．2i C．2i D．2i 2.

以

下

说

法

，

正

确

的

个

数

5，则a的值为 i2为

（ ）

①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理． ②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．

③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．

④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．

A．0 B．2 C．3 D．4 3.函数fx的定义域为开区间a,b，导函数f'x在a,b内的图象如下图所示，则函数

内

有

极

大

值

fx（ ）

在开区间

a,b点

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

- 1 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究 4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的ˆ＝0.7x＋0.35，几组对应数据，据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y那么表中m值为 x y 3 2.5 4 5 4 6 4.5 m （ ） A．4 B．3.15 C．4.5 D．3 25.若函数fx2x1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（ ） A．4 B．4x C．4+2△x D．4+2△x2 6.下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5； ②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0； ③如果一组数据1，2，x，4的中位数是3，那么x=4； ④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数． 其中错误的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.函数（ ） A．xy30 B．2xy0 C．xy10 D．2xy40 8.如图，由函数f(x)exe的图象，直线x2及x轴所围成的阴影部分面积等于

（ ） A．e2e1 2fxlnx2的图象在点(1,2)x处的切线方程为

B．e2e1 D．e2e 22e2eC． 23 9.函数yx2axa在（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是 （ ） A．0, B．0,3 C．0, 32 D．,3 - 2 - 河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

10.某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：

①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277； ②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；

③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281； ④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300

关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）

A．①④都可能为系统抽样 B．①③都可能为分层抽样 C．②③都不能为系统抽样 D．②④都不能为分层抽样

x2y211.已知F1，F2是双曲线221(a0,b0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点Pab与点F2关于直线y（ ）

A．5 B．bx对称，则该双曲线的离心率为 a5 C．2 D．2 2212.已知函数fx2ax3ax1，gx3a3x，若任意给定的x00,2总存在两个42不同的xii1,20,2，使得f（ ）

A．1,1 B．,1

x0x成立，则实数iga的取值范围是

1, C．1, D．,1

第II卷（非选择题，共90分）

二.填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）： ．．．．．．．．．．13.函数f(x)3x2lnx的单调增区间为 ．

2- 3 -

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14.在正方体ABCDA1BC11D1中，M,N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为________．

15.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为 ． 16.在平面几何里，已知RtSAB的两边SA,SB互相垂直，且SAa，SBb则AB边上的高habab22；拓展到空间，如图，三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两相互垂直,

_ Sa_ h'_ _ A

_ H_ Bb_ _ Cc_ 且SAa,SBb,SCc,则点S到面ABC的距离h______________. 三.解答题（共6小题，要求写出解答过程或者推理步骤）：

17.(本题满分12)已知函数f(x)axbx4lnx的极值点为1和2． （Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间0,3上的最大值.

18.(本题满分12分)在数列{an}中，a16，且anan1（1）求a2,a3,a4的值；

（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。

2an1n1(nN*,n2)， n19.(本题满分12分)如图，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且BAE120，AEAB4，AD2，F,G,H分别为BE,AE,BC的中点．

（Ⅰ） 求证：直线DE与平面FGH平行； （Ⅱ）若点P在直线GF上，且二面角DBPA 的大小为

，试确定点P的位置． 4

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河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究 20.(本题满分12分)已知函数f(x)2x． aln(x1)（aR）x1（Ⅰ）若函数f(x)在区间[2,)上是单调递增函数，试求实数a的取值范围； （Ⅱ）当a2时，求证：1 1． 2ln(x1)2x4（x2）x1x2y221.(本题满分12分)已知直线yx1与椭圆221ab0相交于A、B两点． ab（1）若椭圆的离心率为3，焦距为2，求线段AB的长； 3122]时，2（2）若向量OA与向量OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e[,求椭圆长轴长的最大值． 22.(本题满分14分)已知函数f(x)x(a2)xalnx. (1)当a1时，求函数f(x)的极小值； 2(2)当a1时，过坐标原点O作曲线yf(x)的切线，设切点为P(m,n)，求实数m的值； (3)设定义在D上的函数yg(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l:yh(x),当xx0时，若g(x)h(x)0在D内恒成立，则称P为函数yg(x)的“转点”．当a8时，试问函数xx0yf(x)是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由． - 5 - 河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

南安一中2014～2015学年度高二上学期期末考

理科数学试卷参考答案

∴

42x26x42(x1)(x2)，x0,3 ………………6分 f'(x)2x6xxx当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：

x f'(x) (0,1) 1 0 (1,2) 2 0 (2,3) 3 ……10分

 单调递增   单调递增 f(x) 5 单调递减 4ln28 4ln39

f(3)4ln39f(1)5………………11分

∴f(x)maxf(3)4ln39， ………………12分 18.解：（1）a212,a320,a430 6分

（2）猜测an(n1)(n2)。下用数学归纳法证明： 7分 ①当n1,2,3,4时，显然成立； 8分

②假设当nk(k4,kN)时成立，即有ak(k1)(k2)，则当nk1时，由

an1n1an1n1， n1得annnk11k2故ak1akk11(k1)(k2)k2

k1k1anan1

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(k2)2(k2)(k2)(k3) ，故nk1时等式成立；

③由①②可知，an(n1)(n2)对一切nN*均成立。 12分 19.解：（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连结MH，MG． ∵G,H分别是AE,BC的中点， ∴MH//AB,GF//AB，

∴M平面FGH， …………………3分 又MG//DE，且DE平面FGH，MG平面FGH，

∴DE//平面FGH． …………………5分

（Ⅱ）解：如图，在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP平面ABCD. 以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立建立空间直角坐标系

Axyz.

∴A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(23,2,0),G(3,1,0),F(3,1,0). ∴GF(0,2,0)，BD(0,4,2)，BG(3,5,0)． …………………7分 设GPGF(0,2,0)，则BPBGGP(3,25,0). 设平面PBD的法向量为n1(x,y,z)， 3x(25)y0,nBP0,则1∴

4y2z0.nBD0,1取y3，得z23，x52，

∴n1(52,3,23)． .…………………9分 又平面ABP的法向量为n2(0,0,1)， .…………………10分 ∴cosn1,n2n1n2232，解得1或4. 2n1n22(52)312故GPGF或GP4GF（P(3,1,0)或P(3,7,0)）. …………………12分 20.解：（1）因为f '(x)a(x1)1…………1分，若函数f(x)在区间[2,)上是单调递增2(x1)函数，则f '(x)0 恒成立，即a又x[2,)，则011恒成立，所以a()max．………………2分 x1x111，所以a1．…………………4分 x1

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河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究 2x2ln(x1)在[2,)上是增函数，……5分 x12xx21所以当x2时，f(x)f(2)，即则2ln(x1)．……82ln(x1)0，1x1x1x1（2）当a2时，由（Ⅰ）知函数f(x)分 令g(x)2x42ln(x1)，则有g'(x)222(x2)，………………9分 x1x1当x(2,)时，有g'(x)0，因此g(x)2x42ln(x1)在(2,)上是增函数， 所以有g(x)g(2)0，即可得到2x42ln(x1)．………11分 综上有11． ………………12分 2ln(x1)2x4（x2）x121.解：（1）ec3322，2c=2，即∴a3则bac2 a33x2y2∴椭圆的方程为1， 2分 32将yx1代入消去y得：5x26x30 设A(x1,y1),B(x2,y2) ∴AB612835分 1(1)2(x1x2)24x1x22()2555 （2）设A(x1,y1),B(x2,y2) OAOBOAOB0，即x1x2y1y20 6分 22xy由a2b21，消去y得：(a2b2)x22a2xa2(1b2)0 yx1由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)0，整理得：a2b21 2a2a2(1b2)又x1x22，x1x28分 ab2a2b2 y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1 由x1x2y1y20，得：2x1x2(x1x2)10 2a2(1b2)2a2210，整理得：a2b22a2b20 9分 222abab - 8 - 河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究 b2a2c2a2a2e2代入上式得：2a21121113e,e2,1e2 2242241112，a(1) 2221e 1e4171732，条件适合a2b21， 2,13,a2231e3621e42642a,2a6，故长轴长的最大值为6． 12分 623'由此得：12x23x1(x1)(2x1)22.解：(1)当a1时，fx2x3， xxx当0x11'''时，fx0；当x1时fx0；当x1时fx0. 22所以当x1时，fx取到极小值2.…………………4分 11m2mlnm(2) f'(x)2x1(x0)，所以切线的斜率k2m1 xmm整理得m2lnm10,显然m1是这个方程的解， 又因为yxlnx1在(0,)上是增函数， 所以方程x2lnx10有唯一实数解，故m1.…………………8分 (3)当a8时，函数yf(x)在其图象上一点Px0,fx0处的切线方程为 2hx(2x08210)(xx0)x010xo8lnx0，设F(x)f(x)h(x)，则F(x0)0，x0F'(x)f'(x)h'(x)(2x882410)(2x010)(xx0).xxx0xx0若4x,0x02，F(x)在0x0F(x)0； xx04xx,上单调递减，所以当0x0时F(x)F(x0)0，此时所以yf(x)在(0,2)上不存在“转点”. …………………10分 若x02时,F(x)在44,x0x,x上单调递减,所以当0时, F(x)Fx00，此时x0x0 - 9 - 河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

F(x)0，所以yf(x)在(2,)上不存在“转点”. …………………12分

xx0若x02时Fr(x)2(x2)2，即F(x)在(0,)上是增函数， x当xx0时，F(x)F(x0)0，

当xx0时，F(x)F(x0)0， 即点Px0,fx0为“转点”，

故函数yf(x)存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. …………………14分

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