§6 平面向量数量积的坐标表示
内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).
2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)．
知识点1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)模、夹角、垂直的坐标表示：
【预习评价】
1．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，则a·b的值是( ) A．34 B．27 C．－43
D．－6
解析 a·b＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6. 答案 D
2．设向量→OA＝(1,0)，→OB＝(1,1)，则向量→OA，→
OB的夹角为( ) A.ππ6 B.4 C.ππ3 D.2
解析 cos θ＝
OA→·OB→
＝1×1＋0×112＝， |→OA||→OB|
1·1＋122∵θ∈[0，ππ
2]，∴θ＝3.
答案 C
知识点2 直线的方向向量
(1)定义：与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量． (2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m＝(1，k)． 【预习评价】
1
1．直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是( ) A．(2，－3) C．(－3,2) 答案 D
2．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为________． 答案 x－3y＋5＝0
题型一 平面向量数量积的坐标运算
【例1】 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： (1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b. 解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ)． ∵a·b＝10，∴5λ·5cos 0°＝10， 解得λ＝2.∴a＝(2,4)．
(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.
规律方法 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
【训练1】 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－
B．(2,3) D．(3,2)
b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．
解 (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，
2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，
a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．
题型二 平面向量的夹角问题
→→→
【例2】 已知OP＝(2,1)，OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
→→→
(1)求使CA·CB取得最小值时的OC； (2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB. 解 (1)∵点C是直线OP上的一点， →→
∴向量OC与OP共线， →→
设OC＝tOP(t∈R)，
2
则→
OC＝t(2,1)＝(2t，t)， ∴→CA＝→OA－→
OC＝(1－2t,7－t)， →CB＝→OB－→
OC＝(5－2t,1－t)，
∴→CA·→
CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2
－20t＋12＝5(t－2)2
－8.
∴当t＝2时，→CA·→CB取得最小值，此时→
OC＝(4,2)． (2)由(1)知→
OC＝(4,2)， ∴→CA＝(－3,5)，→
CB＝(1，－1)，
∴|→CA|＝34，|→CB|＝2，→CA·→
CB＝－3－5＝－8. →∴cos∠ACB＝CA·→CB＝－417
.
|→CA||→CB|
17规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤
【训练2】 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．(1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值．
解 (1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， |a＋b|＝＋
2＋－
2＝25＋4＝29.
(2)由a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝
a·b|a||b|＝12
2×5＝10
. 3
【例3】 设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)． 求a－2b的坐标和模的大小． 解 ∵a＝(1,1)，b＝(0,2)， ∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)， ∴|a－2b|＝1＋－
2
2
＝10.
【迁移1】 若c＝3a－(a·b)b，求|c|. 解 a·b＝x1x2＋y1y2＝2， ∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)， ∴|c|＝3＋－1
2
2
＝10.
【迁移2】 若ka－b与a＋b共线，求k的值． 解 ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)． a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
∵ka－b与a＋b共线， ∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.
【迁移3】 若ka－b的模等于10.求k的值． 解 ∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2) ∵ka－b的模等于10. ∴k＋k＋
22
2
＝10，
化简得k＋2k－3＝0，解得k＝1或k＝－3. 即当k＝1或k＝－3时满足条件．
规律方法 1.已知向量a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|＝x＋y求解．
2．形如(ma＋nb)·(ka＋eb)(m，n，k，e∈R)的坐标运算，有两条途径：其一，展开转化为
2
2
a2，a·b，b2的坐标运算；其二，先求ma＋nb与ka＋eb的坐标，再运算.
课堂达标
1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角θ为( ) πA. 6πC. 3
B.D.π 4π 2
4
解析 ∵|a|＝10，|b|＝5，a·b＝5. ∴cos θ＝
a·b|a||b|＝510×5＝2
2
. 又∵θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为π
4.
答案 B
2．已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________． 解析 由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2. 答案 2
3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影是________． 解析 a·b＝13，|b|＝65， |a|cos θ＝
a·b|b|＝1365
＝1365
65. 答案
655
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________. 解析 ∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)， ∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a－6b，
∴c2
＝a2
－12a·b＋36b2
＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c|＝82. 答案 82
5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解 (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝42＋32＝5，|b|＝－
2＋22＝5，
∴cos θ＝
a·b225
|a||b|＝55＝25
. (2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529
.
5
课堂小结
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b. 2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.
基础过关
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( ) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向
D．平行且反向
解析 a·b＝－5×6＋6×5＝0， ∴a⊥b. 答案 A
2．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( A．－17
B.17
C．－16 D.16
解析 由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)． 又(λa＋b)·(a－2b)＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17. 答案 A
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A.3 B．23 C．4
D．12
解析 a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a＋2b|＝a2
＋4a·b＋4b2
＝23. 答案 B
4．已知a＝(3，3)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________. 解析 a－2b＝(1，3)，
) 6
(a－2b)·b＝1×1＋3×0＝1. 答案 1
5．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝45，则b＝________. 解析 由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b|2
＝λ2
＋4λ2
＝5λ2
＝80，∴λ＝－4， ∴b＝－4a＝(－4,8)． 答案 (－4,8)
6．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)． (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解 (1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0， 解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 解得x＝0或x＝－2. 又|a－b|＝a－b2
＝|a|2－2a·b＋|b|2
， ∴|a－b|＝2或25.
7．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)a与b的夹角为直角； (2)a与b的夹角为钝角； (3)a与b的夹角为锐角． 解 设a与b的夹角为θ，
a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－1
2.
(2)因为a与b的夹角为钝角， 所以cos θ＜0且cos θ≠－1， 所以a·b＜0，且a与b不反向． 由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－1
2，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
7
所以λ的取值范围为－∞，－12. (3)因为a与b的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 所以a·b＞0且a，b不同向．
由a·b＞0，得λ＞－1
2
，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为1－2，2
∪(2，＋∞)． 能力提升
8.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若→DE⊥→AC，则|→
DE|＝
(
A.52 B．23 C．3
D．22
解析 以A为坐标原点，建立坐标系．则A(0,0)，E(2,0)，C(4，x)，D(0，x)(x＞0)．∴→DE＝(2，－x)，→
AC＝(4，x)． ∵→DE⊥→AC，
∴2×4＋(－x)·x＝0，x＝22. ∴→DE＝(2，－22)，|→DE|＝22
＋－222
＝23.
答案 B
9．已知→OA＝(－3,1)，→OB＝(0,5)，且→AC∥→OB，→BC⊥→
AB，则点C的坐标是( ) A.－3，－29 B.－3，29
44
C.
3，294
D.
3，－294 解析 设C的坐标为(x，y)，则 →
AC＝(x＋3，y－1)，→
AB＝(3,4)，→
BC＝(x，y－5)．
由→AC∥→OB，→BC⊥→
AB，得
)
8
x＋
3x＋
－y－＝0，
y－＝0，
29
解得x＝－3，y＝.
4
答案 B
→→
10．已知点A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB在向量CD上的投影为________． →→→→→→解析 由题意知AB＝(2,2)，CD＝(－1,3)，设AB和CD的夹角为α，则向量AB在向量CD上的→→
AB·CD－2＋6210→
投影为|AB|cos α＝＝＝.
→510|CD|答案
210
5
为钝角，则x的取值范围是
11．设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角θ____________________．
a·b解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝<0，
|a||b|
8
即a·b＝－8＋5x<0，∴x<.
5
5
∵a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－，
2551
当x＝－时，a＝(2，－)＝－b，
222∴a与b反向，即θ＝π. 故a与b的夹角为钝角时，
x<且x≠－. 85
答案 x<且x≠－ 52
→→
12．在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值． →→
解 ∵AB＝(2,3)，AC＝(1，k)， →→→
∴BC＝AC－AB＝(－1，k－3)．
2→→
若∠A＝90°，则AB·AC＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
3→→
若∠B＝90°，则AB·BC＝2×(－1)＋3(k－3)＝0， 11∴k＝；
3
→→
若∠C＝90°，则AC·BC＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
9
8552
3±13∴k＝.
2
2113±13
故所求k的值为－或或.
332
13．(选做题)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝3|a－kb|(k＞0)．
(1)a与b能垂直吗？
(2)若a与b夹角为60°，求k的值． 解 (1)因为|ka＋b|＝3|a－kb|， 所以(ka＋b)2
＝3(a－kb)2
， 因为|a|＝|b|＝1.
所以k2
＋1＋2ka·b＝3(1＋k2
－2ka·b)，
所以a·b＝k2＋12
4k.因为k＋1≠0，所以a·b≠0，即a与b不垂直．
(2)因为a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1， 所以a·b＝|a||b|cos 60°＝1
2
. 所以k2＋114k＝2
.所以k＝1.
10
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