南安一中2014~2015学年度上学期期末考
高一数学科试卷
本试卷考试内容为:数学必修2,试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:柱体体积公式:Vsh,椎体体积公式:V21sh,其中S为底面面积,h为高; 3 球的表面积公式:S4R,其中R为球的半径.
第I卷(选择题 共60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求.
1.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为( )
A.3 B.2 C. 2 D. 不存在 2.圆x2y22x0与圆x2y24y0的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 3.设m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题: ① 若m,n//,则mn ② 若//,//,m,则m
③ 若m//,n//,则m//n ④ 若,,则// 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③
C.③和④ D.①和④
4.如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A,B,C为其上的三个点, 则在正方体盒子中,ABC等于( )
A.45 B.60 C.90 D.120 5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3, 则正视图中的x的值是( )
9A.2 B.
23C. D.3
2oooox211正视图 侧视图
俯视图
6.已知a,b是两条异面直线,c∥a,那么c与b的位置关系( )
A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交
- 1 -
7.自点A(3,5)作圆C:(x2)2(y3)21的切线,则切线的方程为( )
A.3x4y290 B.3x4y110 C.x3或3x4y110 D.y3或3x4y110
8.如图中OABC为四边形OABC的斜二测直观图,则原平面图形OABC是( )
yA.直角梯形
B.等腰梯形
D.不可能是梯形
ooCOBC.非直角且非等腰的梯形
xA9.k是直线l的斜率,是直线l的倾斜角,若3090,则k的取值范围是( )
A.0k33 B.
333 D.kk1 C. k33310.两圆相交于点A(1,3),B(m,1),两圆的圆心均在直线xyc0上,则mc( )
A.-1
B.2
C.3 D.0
A1B1C1S11.在体积为15的斜三棱柱ABCA1B1C1中,S是C1C上的一点,
SABC的体积为3,则三棱锥SA1B1C1的体积为( )
3A.1 B. C.2 D.3
2ABC12.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:xy70和l2:xy50上移动,点N在圆C:xy8上移动,则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为( )
A.2
B.2(32) C.3 D.22 22第II卷(非选择题 共90分)
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.在空间直角坐标系oxyz中,已知点A(1,2,1),B(2,1,3),点P在z轴上,且
|PA||PB|,则点P的坐标为 .
14.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是 .
15.过点A(3,1)作圆C:(x2)(y2)4的弦,其中最短的弦长为 . 16.如图,三棱柱A1B1C1ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角
- 2 -
22C
A
E B
形,E是BC中点,则下列命题中:
① CC1与B1E是异面直线; ② AC⊥底面A1B1BA ③ 二面角AB1EB为钝角 ④ AC1∥平面AB1E
其中正确命题的序号为 .(写出所有正确命题的序号)
三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 求经过直线L1:3x4y50与直线L2:2x3y80的交点
M,且满足下列条件的直线L的方程:
(1)与直线2xy50平行; (2)与直线2xy50垂直.
18.(本小题满分12分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC90,
SA面ABCD,SAABBC2,AD1.
(1)求证:面SAB面SBC;
(2)求SC与底面ABCD所成角的正切值.
SBCAD19.(本小题满分12分)如下的三个图中,左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在右边画出(单位:cm),P为原长方体上底面A1B1C1D1的中心.
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(直尺作图);
(2)以D为原点建立适当的空间直角坐标系(右手系),在图中标出坐标轴,并按照给出的尺寸写出点E,P的坐标;
(3)连接AP,证明:AP∥面EFG. D1C1 GP FB1 36224- 3 - EDCBA(正视图) 4(侧视图)
20.(本小题满分12分)已知圆C:x2y24x4ym0,直线l:xy20. (1)若圆C与直线l相离,求m的取值范围;
(2)若圆D过点P(1,1),且与圆C关于直线l对称,求圆D的方程.
21.(本小题满分12分)如图,在长方形ABCD中,AB2,AD1,E为CD的中点,以AE为折痕,把DAE折起为DAE,且平面DAE平面ABCE。 (1)求证:ADBE
(2)求四棱锥DABCE的体积;
(3)在棱DE上是否存在一点P,使得DB∥平面PAC,若存在,求出点P的位置,不存在,说明理由。
D'ECECBDABA22.(本小题满分14分)已知直线l:ykx2,M(2,0),N(1,0),O为坐标原点,动点Q满足
|QM|2,动点Q的轨迹为曲线C. |QN|(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l与圆O:x2y22交于不同的两点A,B,当AOB(3)若k2时,求k的值;
1,P是直线l上的动点,过点P作曲线C的两条切线PC、PD,切点为C、D, 2探究:直线CD是否过定点.
南安一中2014~2015高一年上学期数学期末考试卷参考答案
一、选择题 1 2 B B
3 A 4 B 5 D 6 C - 4 -
7 C 8 A 9 C 10 C 11 C 12 A
二、填空题
13、(0,0,2) 14、4x2y50 15、22 16、 ④
三、解答题
3x4y5x117.解:解得 所以交点M(1,2) …………4分
2x3y8y2(1)依题意,所求直线斜率k2 …………6分
故所求直线方程为y22(x1),即:2xy0 …………8分 (2)依题意,所求直线斜率k故所求直线方程为y2
18.(1)证明:
1, …………10分 21(x1),即:x2y50 …………12分 2SA面ABCD,BC面ABCD,SABC
又
SABBC,SAABA, BC面SA BBCADBC面SAB
面SAB面SBC …………6分
(2)解:已知SA面ABCD,连结AC,则SCA就是SC与底面ABCD所成的角,
在直角三角形SCA中,SA2,AC222222,
tanSCA
SA22 …………12分 AC22219. (1)解:如图(徒手作图不得分,尺寸不准确酌情给分) …………4分 (2)解:建立如图直角坐标系 36224z D1GFPB1(正视图) C1- 5 - 4(侧视图)
E(4,0,2) P(2,3, 4 ) …………8分
(3)证明:连接AB1,AD1,B1D1,依题意知:E,F,G分别为原长方体所在棱中点,
∵GF∥B1D1,GF面AB1D1 ∴GF∥面AB1D1 ∵EF∥AB1,EF面AB1D1 ∴EF∥面AB1D1 又GFEFF ∴面EFG∥面AB1D1 又∵AP面AB1D1 ∴AP∥面EFG ……12分
20.解:(1)圆C:x2y24x4ym0 即 (x2)2(y2)28m 圆心C(2,2)到直线l的距离d|222|2, ………… 2分 22若圆C与直线l相离,则dr,∴r8m2 即 m6 ………… 4分
2又r8m0 即 m8 ∴6m8 ………… 6分
(2)设圆D的圆心D的坐标为(x0,y0),由于圆C的圆心C(2,2), 依题意知:点D和点C关于直线l对称, ………… 7分
x02y0220x0022则有:, …………10分 y02y00(1)1x02∴圆C的方程为:xyr, 又因为圆C过点P(1,1), ∴11rr
21.(1)证明:在长方形ABCD中,DAE和CBE为等腰直角三角形,
- 6 -
2222222, ∴圆D的方程为:x2y22 ……12分
oo ∴DEACEB45,∴AEB90,即BEAE ………… 2分
∵平面DAE平面ABCE,且平面DAE∴BE平面DAE,AD平面DAE
平面ABCEAE,
∴ADBE ………… 4分 (2)取AE中点F,连接DF,则DFAE
∵平面DAE平面ABCE, 且平面DAE平面ABCEAE,
D'PFAEQBCDF平面ABCE,
∴VDABCE1SABCEDF 3 1122 ………… 8分 (12)13224(3)解:如图,连接AC交BE于Q,连接PQ,
若DB∥平面PAC ∵DB平面DBE 平面DBE平面PACPQ
∴DB∥PQ ………… 10分 ∴在EBD中,
EPEQEQEC1 , ∵在梯形ABCE中PDQBQBAB2∴
1EPEQ1,即EPED
3PDQB2∴在棱DE上存在一点P,且EP
1ED,使得DB∥平面PAC ………… 12分 3(x2)2y2|QM|2 ……2分 22.解:(1)设点Q(x,y),依题意知
22|QN|(x1)y 整理得xy2, ∴曲线C的方程为xy2 …… 4分
2222(2)∵点O为圆心,∠AOB=
2,∴点O到l的距离dr …… 6分 22
- 7 -
∴2k21=2·2 k3 …… 8分 2(3)由题意可知:O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上, ……9分
设P(t,t2),则该圆的方程为:x(xt)y(y121t2)0 2ttt2tt2tt2t22( 或用圆心(,1),半径(1)得(x)(y1)(1)2 )
2424444422即 xtxy(t2)y0 又C、D在圆O:x2y22上
12∴lCD:tx(t2)y20 即 (x12y)t2y2 0 …… 12分 2yx0由 得 22y20121x2 y1∴直线CD过定点(,1) …… 14分
- 8 -
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