高等数学上试卷及答案

高等数学上试卷及答案

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2011~2012学年第1学期 考试科目：高等数学AⅠ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号姓名年级专业 题号 一 得分 评阅人 得分 1．lim二 三 四 总分 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

sin5x。

x02xexex2．曲线y在点(0,1)处的曲率是2014年不做要求。

23．设fx可导，ylnf(x)，则dy=。 4．不定积分xx23dx=。 5．反常积分e6xdx=。

0得分 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

x2,0x1,在点x1处必定（） 1．设f(x)x,1x2A．连续但不可导B．连续且可导

C．不连续但可导D．不连续，故不可导 2．曲线yx在点x4处的切线方程是（）

11x1B．yx1 4211C．yx1D．yx2

44A．y3．下列函数在区间[1,1]上满足罗尔定理条件的是（）

A．

113xB．C．D． xx21x2

4．设fx为连续函数，则下列等式中正确的是（）

A．f(x)dxf(x)B．

df(x)dxf(x)C dxC．df(x)dxf(x)D．df(x)dxf(x)dx 5．已知x23xdx2，则a（）

0aA．1B．0 C．

1.5CM 1D．1 2得分 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

exx11.求极限lim。

x0xex11sin2x ,x0 2.设函数f(x),在点 x0处可导，求a,b的值。

abx ,x0 dyxt1sint3.设参数方程确定y是x的函数，求。

dxytcost4．设方程y22xy90确定隐函数yy(x)，求

x35．求函数y2的单调区间，极值和拐点。

x1dy。 dx6．计算定积分xlnxdx。

1e7．求不定积分1.5CM x31x2dx。

得分 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

x31．证明不等式：当x0时，sinxx。

62．设a0,f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，又f(a)0，试证：存在

(a,b)，使得f()bf'()。 a3．如图，在区间0,1上给出函数yx2，问a为何值时，图中阴影部分的面积A1与A2之和最小？

华南农业大学期末考试试卷（A卷）

1.5CM

2011~2012学年第1学期 考试科目：高等数学AⅠ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．522．13．

f'(x)f(x)dx4．133(x23)2C5．16 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．A2．C3．D4．D5．A

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1.求极限limexx1x0xex1。

exx1ex解：lim1x0xex1limx0ex1xex．．．．．．．．．．．２分 =limexx02exxex．．．．．．．．．．．．．．．４分 =lim1x02x．．．．．．．．．．．．５分

=12．．．．．．．．．．．．．．．．７分 2.设函数f(x)1sin2x ,x0 bx ,x0 ,在点 x0处可导，求a,b的值。

a解：因为函数在点 x0处可导，所以在点 x0处连续，

即xlim0f(x)xlim0f(x)f(0)．．．．．．．．．．．．．．．１分 即xlim0(1sin2x)xlim0(abx)1．．．．．．．．．．．．．２分 所以

a1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分

又函数在点 x0处可导，所以

f(x)f(0)limf(x)f(0)x0xlimx0x．．．．．．．．．．．．５分 即1sin2x1limx0xlimabx1x0x．．．．．．．．．．６分

所以

b2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分

dyxt1sint3.设参数方程确定y是x的函数，求。

dxytcost解：

dycosttsint．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 dtdx1sinttcost．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 dtdydycosttsintdt所以．．．．．．．．．．．７分 dxdx1sinttcostdtdy。 dx解：方程两边对x求导，．．．．．．．．．．．．．．１分

4．设方程y22xy90确定隐函数yy(x)，求

得2yy'2y2xy'0．．．．．．．．．．．．．．．．５分 所以

dyy．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分 dxyxx35．求函数y2的单调区间，极值和拐点。

x1x2(x23)解：y'．．．．．．．．．．．1分

(x21)22x(x33)y''．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．223(x1)分

令y'0，得驻点

x0,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

令y''0，得驻点

x0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

讨论得单调递增区间为(,3),(3,)，单调递减区间为

(3,1),(1,1),(1,3)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．．．5分

1.5CM

当x3时取得极大值

332

，当x3时取得极小值332．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 拐点为

(0,0)。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7

分

6．计算定积分e1xlnxdx。

解：exlnxdx12e211lnxdx．．．．．．．．．．２分 ＝(12x2lnx)e1e2121xdlnx．．．．．．．．．．．．４分

＝122e12e1xdx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 ＝e214．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分

37．求不定积分x1x2dx。

解：设xsint．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分 则x31x2dxsin3tdt．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

＝(cos2t1)d(cost)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

＝13cos3tcostC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 ＝13(1x2)31x2C．．．．．．．．．．．．．．．７分 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

．证明不等式：当x0时，sinxxx316。

x3解：设f(x)sinxx6

x2则f'(x)cosx1．．．．．．．．．．．．．．．．１分

2所以f''(x)xsinx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 当x0时，f''(x)xsinx0，即f'(x)单调递增．．．．．．．．．．．．４分 所以当x0时，f'(x)f'(0)

x2x30，故f(x)sinxx单调递即f'(x)cosx126增．．．．．．．．６分 所以当x0时，f(x)f(0) 即

x3sinxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

6．．．．．．．．．．．．．．．．７分

2．设a0,f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，又f(a)0，试证：存在

(a,b)，使得f()bf'()。 a证明：令F(x)(bx)af(x)．．．．．．．．．．．．．．．．2分 则f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导．．．．．．．．．．．．．．．．3分

且F(a)F(b)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由罗尔定理知，存在(a,b)，使得

F'()a(b)a1f()(b)af'()0．．．．．．．．．．．．6分

即

bf'()．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．a．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分 f()3．如图，在区间0,1上给出函数yx2，问a为何值时，图中阴影部分的面积A1与A2之和最小？

23a．．．．．．．．．．１分

03112A1(x2a2)dxa2a3．．．．．．．．．２分

a3314所以AA1A2a2a3．．．．．．．．．．．３分

33a解：A1(a2x2)dxA'2a4a2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

４分

令A'2a4a20，得a0或a1．．．．．．．５分 21A''28a，A''()20．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分

21所以当a时阴影部分的面积A1与A2之和最小．．．．．７分

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