高考数学热点题型和提分秘籍专题12导数的概念及运算理(含解析)新人教A版

理（含解析）新人教A版

【高频考点解读】

1.了解导数概念的实际背景；

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

123

3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)， y＝x，y＝，y＝x，y＝x，y＝x的导数；

x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．

【热点题型】 题型一 导数的运算

例1、分别求下列函数的导数：

211x(1)y＝e·cos x；(2)y＝xx＋＋3；



xx

(3)y＝x－sin cos ；(4)y＝ln1＋x.

22

xx2

【提分秘籍】

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．

【举一反三】

- 1 -

分别求下列函数的导数： (1)y＝

1

1＋x＋11－x； (2)y＝sin2

x2；

(3)y＝ln（2x＋1）x.

【解析】 (1)∵y＝

1

12

1＋x＋1－x＝1－x，

∴y′＝0－2（1－x）′（1－x）2＝2

（1－x）2. (2)∵y＝sin2x1112＝2(1－cos x)＝2－2cos x， ∴y′＝－12(cos x)′＝－12·(－sin x)＝1

2sin x.

(3)y′＝

ln（2x＋1）′＝[ln（2x＋1）]′x－x′ln（2x＋1）x

x2（2x＋1）′·x－ln（2x＋1）2x－ln（2x＋＝2x＋12x＋1）

x2＝1x2

＝

2x－（2x＋1）ln（2x＋1）

（2x＋1）x2

. 题型二 导数的几何意义及其应用 例2、已知函数f(x)＝x3

－4x2

＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

- 2 -

【提分秘籍】

求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点

P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切

点坐标，再依据已知点在切线上求解．

【举一反三】

ln x－2x(1)函数f(x)＝在点(1，－2)处的切线方程为( )

xA．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0

(2)设a为实数，函数f(x)＝x＋ax＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )

A．y＝3x＋1 B．y＝－3x C．y＝－3x＋1 D．y＝3x－3 【答案】 (1)C (2)B 【解析】

3

2

- 3 -

题型三 导数几何意义的综合应用

【例3】 (2014·北京卷)已知函数f(x)＝2x－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；

(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；

(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)

【解析】 (1)由f(x)＝2x－3x得f′(x)＝6x－3.令f′(x)＝0，得x＝－因为f(－2)＝－10，f－

3

23

22

或x＝. 22



22

＝2，f＝－2， 22

f(1)＝－1，

所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f－



2

＝2. 2

3

(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x0－3x0，且切线斜率为k＝6x0－3，所以切线方程为y－y0＝(6x0－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x0－3)·(1－x0)．整理得4x0－6x0＋t＋3＝0.

设g(x)＝4x－6x＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．

3

2

3

22

2

2

g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．

于是，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：

x g(x) ′(－∞，0) ＋ 0 0 (0，1) － ↘ 1 0 (1，＋∞) ＋ ↗ g(x) ↗ t＋3 t＋1 所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值；g(1)＝t＋1是g(x)的极小

- 4 -

值．

【提分秘籍】

解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于

x0的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可；第(3)问类比第(2)问方法即可．

【举一反三】

设函数y＝x－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．

(1)求a，b之间的关系； (2)求ab的最大值． 【解析】

2

2

【高考风向标】

【2015高考福建，理10】若定义在R上的函数fx 满足f01 ，其导函数fx 满足

- 5 -

fxk1 ，则下列结论中一定错误的是（ ）

A．f11 B．fkk1111 C． D． fkk1k1k1k1 fk1k1【答案】C

【解析】由已知条件，构造函数g(x)f(x)kx，则g'(x)f'(x)k0，故函数g(x)在R上单 调递增，且

111k110，故g()g(0)，所以f()1，f()，k1k1k1k1k1k1所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数h(x)f(x)x，则

h'(x)f'(x)10，所以函数h(x)在R上单调递增，且

110，所以h()h(0)，即kk1111f()1，f()1，选项A,B无法判断，故选C． kkkk【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x－x，其中a＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 【解析】解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

2

3

f′(x)＝1＋a－2x－3x2.

－1－4＋3a令f′(x)＝0，得x1＝，

3

x2＝

－1＋4＋3a，x13

所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)． 当xx2时，f′(x)<0； 当x10.

－1－4＋3a－1＋4＋3a

故f(x)在－∞，和 ，＋∞内单调递减，

33在

－1－4＋3a－1＋4＋3a，内单调递增．

33

- 6 -

【2014·安徽卷】设实数c＞0，整数p＞1，n∈N. (1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)＞1＋px；

1p－1c－p1

(2)数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a1n，证明：an＞an＋1＞c.

p*

pppp【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下．

①当p＝2时，(1＋x)＝1＋2x＋x>1＋2x，原不等式成立． ②假设p＝k(k≥2，k∈N)时，不等式(1＋x)>1＋kx成立． 当p＝k＋1时，(1＋x)1)x.

所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)>1＋px均成立．

pk＋1*2

2

k＝(1＋x)(1＋x)>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx>1＋(k＋

k2

- 7 -

1p①当n＝1时，由a1>c>0，即a1>c可知

pp－1c－p111ca2＝a1＋a1＝a11＋p－1c，从而可得a1>a2>c， 1pppppa1

- 8 -

1

故当n＝1时，不等式an>an＋1>c成立．

p1*

②假设n＝k(k≥1，k∈N)时，不等式ak>ak＋1>c成立，则当n＝k＋1时，f(ak)>f(ak＋

p1

1)>f(c)，

p1

即有ak＋1>ak＋2>c，

p所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

1

综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c均成立．

p【2014·福建卷】已知函数f(x)＝e－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

2

xxx - 9 -

- 10 -

方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．

(3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有13x3x证明如下：

令h(x)＝13x3－ex，则h′(x)＝x2－ex.

由(2)知，当x>0时，x2

从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以h(x)x- 11 -

31213x取x0＝，当x>x0时，有xcc3

因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e线的斜率k＝－5e＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.

【2014·江西卷】若曲线y＝e上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

【答案】(－ln 2，2)

【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．

【2014·江西卷】已知函数f(x)＝(x＋bx＋b)1－2x(b∈R)． (1)当b＝4时，求f(x)的极值；

2

－x－x0

－5x－5x2

x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．

，所以切

1(2)若f(x)在区间0，上单调递增，求b的取值范围．

3

【解析】

【2014·全国卷】 曲线y＝xe

A．2e B．e C．2 D．1 【答案】C

【解析】因为y′＝(xe

x－1

在点(1，1)处切线的斜率等于( )

x－1

)′＝e

x－1

＋xe

x－1

，所以y＝xe

x－1

在点(1，1)处的导数是y′|x＝1

- 12 -

＝e

1－1

＋e

1－1

＝2，故曲线y＝xe

x－1

在点(1，1)处的切线斜率是2.

【2014·新课标全国卷Ⅱ】设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )

A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】y′＝a－

1

，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3. x＋1

【2014·陕西卷】设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．

(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明． 【解析】

- 13 -

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．

1＋x设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，

1＋x1ax＋1－a则φ′(x)＝－＝22，

1＋x（1＋x）（1＋x）

当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1时，ln(1＋x)≥

恒成立(仅当x＝0时等号成立)． 1＋xaxaxax当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0， ∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0.

即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0， 故知ln(1＋x)≥不恒成立．

1＋x综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．

ax

- 14 -

由①②可知，结论对n∈N＋成立．

111

方法二：上述不等式等价于＋＋…＋23n＋1在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.

1＋x1n＋11令x＝，n∈N＋，则ln>. nnn＋1

1故有ln 2－ln 1>，

21

ln 3－ln 2>，

3……

ln(n＋1)－ln n>

1

， n＋1

x111

上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋，

23n＋1结论得证． 方法三：

【2014·四川卷】设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2的图像上(n∈N)．

(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn； 1

(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列ln 2

an

的前n项和Tn. bn

- 15 -

x*

【解析】(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以 2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2， 所以Sn＝na1＋

n（n－1）

d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.

2

x(2)函数f(x)＝2在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 其在x轴上的截距为a2－

1. ln 2

11

由题意有a2－＝2－，解得a2＝2.

ln 2ln 2所以d＝a2－a1＝1. 从而an＝n，bn＝2，

所以数列{}的通项公式为＝n， bnbn2123n－1n所以Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n，

22222123n2Tn＝＋＋2＋…＋n－1，

1222

111n1n2因此，2Tn－Tn＝1＋＋2＋…＋n－1－n＝2－n－1－n＝2222222

所以，Tn＝

n＋1

n＋1

nanann－n－2

. n2

－n－2

. n2

【高考押题】

1．曲线y＝x在原点处的切线 ( ) A．不存在

B．有1条，其方程为y＝0 C．有1条，其方程为x＝0

D．有2条，它们的方程分别为y＝0，x＝0 【答案】 B

【解析】 ∵y′＝3x，∴k＝y′|x＝0＝0，∴曲线y＝x在原点处的切线方程为y＝0. 2．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 ( ) A．4x－y－3＝0 C．4x－y＋3＝0 【答案】 A 【解析】

B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0

4

2

3

3

- 16 -

3．曲线y＝e

－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 ( )

1

B. 2

2C. 3

D．1

1

A. 3

【答案】 A

【解析】 y′|x＝0＝(－2e

－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e

－2x＋1在点(0，2)处的切线方程为y22＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1，0)，，，故围成的三角形的33

121面积为×1×＝. 233

4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝

f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 015(x)等于

A．－sin x－cos x C．－sin x＋cos x 【答案】 A 【解析】

( )

B．sin x－cos x D．sin x＋cos x

5．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( )

1312

A．y＝x－x－x

2213

C．y＝x－x

4【答案】 A

【解析】 设三次函数的解析式为y＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)，则y′＝3ax＋2bx＋c.

- 17 -

3

2

2

1312

B．y＝x＋x－3x

221312

D．y＝x＋x－2x

42

由已知得y＝－x是函数y＝ax＋bx＋cx＋d在点(0，0)处的切线，则y′|x＝0＝－1⇒c＝－1，排除B，D.又∵y＝3x－6是该函数在点(2，0)处的切线，则y′|x＝2＝3⇒12a＋4b＋c＝3⇒12a＋4b－1＝3⇒3a＋b＝1.只有A项的函数符合，故选A.

32

ππ6．已知函数f(x)＝f ′cos x＋sin x，则f 的值为________． 44

【答案】 1

πππππ【解析】 ∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，∴f′＝－f ′sin ＋cos ，

44444ππππ∴f′＝2－1，∴f ＝(2－1)cos ＋sin ＝1.

4444

7．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．

【答案】 －3

2

bxbb72

【解析】 y＝ax＋的导数为y′＝2ax－2，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得

xx2b4a＋＝－5，2a＝－1，

则a＋b＝－3. b7解得

b＝－2，

4a－4＝－2，12

8．若函数f(x)＝x－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

2【答案】 [2，＋∞) 【解析】

9．求下列函数的导数： (1)y＝xlg x； π2(2)y＝sin2x＋； 3(3)y＝log3(2x＋1)．

- 18 -

n【解析】 (1)y′＝nx＝xn－1

n－1

lg x＋x·

n1

xln 10

nlg x＋1. ln 10

π12π2(2)∵y＝sin2x＋＝1－cos4x＋，

3232π1

∴y′＝－cos4x＋′

32

2π2π1＝－·－sin4x＋·4x＋′ 3322π＝2sin4x＋.

3

1

(3)y′＝·(2x＋1)′

（2x＋1）ln 3＝

2

.

（2x＋1）·ln 3

134

10．已知曲线y＝x＋. 33

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程． 【解析】

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