第二章 等式与不等式
2．1 等 式
2．1.1 等式的性质与方程的解集
1.常用乘法公式 (1)公式： 公式名称 平方差公式 符号表示 (a＋b)(a－b)＝a－b 22文字表示 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 两数和(或差)的平方，等于完全平方 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 公式 这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍 ①(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； 其他 恒等式 ②(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b； ③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac 3 (2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项依次相乘后再求和得到．
(3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值．
(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？
提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方． (2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？
提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍． 2．十字相乘法 具体形式：
①二次项系数为1时： x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b) ②二次项系数不为1时：
acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d) 记忆口诀：拆两头，凑中间．
十字相乘法分解因式的关键是什么？
提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数． 3.方程的解集 (1)定义： 方程的解(根) 方程的解集 能使方程左右两边相等的未知数的值 一个方程所有解组成的集合 (2)本质：方程的解(根)就是保证等式成立的未知数的值，注意解与解集的不同．
(3)应用：求解方程的解(或解集).
把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( × ) 提示：(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.
(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).( × ) 提示：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y).
(3)用因式分解法解方程时部分过程为：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( × ) 提示：若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0. 2．分解因式：x2＋2xy＋y2－4＝ ． 【解析】x2＋2xy＋y2－4＝(x＋y)2－4 ＝(x＋y＋2)(x＋y－2). 答案：(x＋y＋2)(x＋y－2)
3．(教材例题改编)已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为______． 【解析】由方程x2－17x＋66＝0得： (x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11， 当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；
当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6. 答案：6
类型一 常用乘法公式的应用(数学运算)
1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为( ) A．5
B．－5
C．11 D．－11
【解析】选A.由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是( ) A．8x2－8y2 B．8y2－8x2 C．8(x＋y)2
D．8(x－y)2
【解析】选B.方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2 ＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)
＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2. 方法二： (x＋3y)2－(3x＋y)2
＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)] ＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y) ＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y) ＝8y2－8x2.
3．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为______. 【解析】a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝ (a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2， 所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7. 答案：7
常用乘法公式的应用技巧
(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪
个数或哪个整式．
(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．
类型二 十字相乘法分解因式(数学运算)
【典例】把下列各式因式分解． (1)x2＋3x＋2. (2)6x2－7x－5. (3)5x2＋6xy－8y2.
【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项系数即可．
【解析】(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)
1×2＋1×1＝3
(2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)
2×(－5)＋3×1＝－7
(3)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y)
1×(－4y)＋5×(2y)＝6y
十字相乘法因式分解的形式
尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：
这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1是图中上面一行的两个数，a2，c2是下面一行的两个数．
分解下列各因式：(1)8x2＋26xy－15y2； (2)7(a＋b)2－5(a＋b)－2.
【解析】(1)8x2＋26xy－15y2＝(2x－y)(4x＋15y). (2)7(a＋b)2－5(a＋b)－2＝(7a＋7b＋2)(a＋b－1).
【拓展延伸】齐次式的因式分解
(1)齐次式是指合并同类项后，每一项关于x，y的次数都是相等的多项式．次数为一次就是一次齐次式，次数为二次就是二次齐次式．如x－2y是一次齐次式；x2＋xy是二次齐次式．
(2)二元二次齐次式是高中最常见的齐次式之一，通常可以写为ax2＋bxy＋cy2的形式，常见的因式分解方法有两种，一是将原式中的y看作参数直接进行因式分解；二是在解决此类问题的等式时可以同除x
以y转化为y 的二次形式后利用因式分解进行分解或求值．
2
【拓展训练】
x2－13xy－30y2分解因式为( ) A．(x－3y)(x－10y) B．(x＋15y)(x－2y) C．(x＋10y)(x＋3y) D．(x－15y)(x＋2y) 【解析】选D.x2－13xy－30y2＝(x－15y)(x＋2y)
1×2y＋1×(－15y)＝－13y 类型三 方程的解集(数学运算)
一元一次方程的解集
【典例】若x＝－3是方程3x－a＝0的解，则a的值是( ) A．9 B．6 C．－9 D．－6
【思路导引】方程的解定能满足方程，代入求解即可．
【解析】选C.把x＝－3代入方程3x－a＝0得：－9－a＝0，解得：a＝－9.
一元二次方程的解集 【典例】解下列一元二次方程： (1)2x2＋7x＋3＝0；
【思路导引】(1)(2)直接利用十字相乘法解方程，(3)(4)移项合并同类项后，再利用十字相乘法解方程．
1
【解析】原方程化为(2x＋1)(x＋3)＝0，解得x＝－2 或x＝－3，所以1
原方程的解集为－3，－2 . (2)2x2－7x＋3＝0；
【解析】原方程化为(2x－1)(x－3)＝0， 1
解得x＝2 或x＝3，
1
所以原方程的解集为2，3 .
(3)－3x2－4x＋4＝0；
【解析】原方程化为3x2＋4x－4＝0， 即(3x－2)(x＋2)＝0， 2
解得x＝3 或x＝－2， 2
所以原方程的解集为－2，3 . (4)6x(x＋2)＝x－4.
【解析】原方程化为6x2＋11x＋4＝0， 即(2x＋1)(3x＋4)＝0， 14
解得x＝－2 或x＝－3 ， 41
所以原方程的解集为－2，－3 .
分类讨论思想的应用 【典例】解方程ax2－(a＋1)x＋1＝0.
【思路导引】把二次项系数分为a＝0和a≠0两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程． 【解析】当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0， 所以x＝1，
当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说，1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(aax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)， 所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0，
因为a×1＝a，(－＋1).如图所示：
所以ax－1＝0或x－1＝0， 1
所以x＝a 或x＝1.
1．利用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程的右边化为0； (2)将方程的左边进行因式分解；
(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程； (4)解一元一次方程，得到方程的解． 2．对于二次三项式分解因式的注意事项
对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数．注意，交叉相乘横着写．
3．形如ax2＋bx＋c＝0(含参)的方程的解法
方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为0时，解一元二次方程．
1．多项式x＋5与2x－8互为相反数，则x＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2
【解析】选C.根据题意得：x＋5＋2x－8＝0，移项合并得：3x＝3，解得x＝1.
2．求下列方程的解集： 13
(1)5x2－2x－4 ＝x2－2x＋4 .
(2)12x2＋5x－2＝0.
【解析】(1)移项、合并同类项，得4x2－1＝0. 因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.
11
于是得2x＋1＝0或2x－1＝0，即x＝－2 或x＝2 ，
11
因此方程的解集为－2，2 .
(2)分解因式得：
12x2＋5x－2＝(3x＋2)(4x－1)
3×(－1)＋4×2＝5
因为12x2＋5x－2＝0，所以(3x＋2)(4x－1)＝0， 所以3x＋2＝0或4x－1＝0，
2121
即x＝－3 或x＝4 ，因此方程的解集为－3，4 .
3.解方程12x2－ax－a2＝0.
【解析】当a＝0时，原方程可化为：
12x2＝0，所以x＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a＝－a2，3×a＋4×(－a)＝3a－4a＝－a，如图所示
所以12x2－ax－a2＝(3x－a)(4x＋a)，
所以原方程可化为(3x－a)(4x＋a)＝0.
aa
所以3x－a＝0或4x＋a＝0，所以x1＝3 ，x2＝－4 .
【补偿训练】
(2020·苏州高一检测)若方程(x－2)(3x＋1)＝0，则3x＋1的值为( ) A．7 B．2 C．0 D．7或0 【解析】选D.由方程(x－2)(3x＋1)＝0，
1可得x－2＝0或3x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝－3 ， 当x＝2时，3x＋1＝3×2＋1＝7； 11当x＝－3 时，3x＋1＝3×(－3 )＋1＝0.
备选类型 方程的解的应用(数学建模、数学运算)
【典例】我市某楼盘准备以每平方米15 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格按同一百分率经过连续两次下调后，最终以每平方米12 150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是( ) A．8% B．9% C．10% D．11%
【思路导引】设出每次下调的百分率，根据原价及两次下调后的价格列出关系式，求得方程的解．
【解析】选C.设平均每次下调的百分率为x， 则：15 000·(1－x)·(1－x)＝12 150，
所以(1－x)2＝0.81，所以1－x＝0.9或1－x＝－0.9，
解得x＝0.1或x＝1.9.因为x＜1，所以x＝1.9(舍)， 所以x＝0.1.所以平均每次下调的百分率为10%.
解决实际问题的一般步骤
(1)审清题意，理顺问题的条件和结论，找到关键量． (2)建立文字数量关系式． (3)转化为数学模型．
(4)解决数学问题，得出相应的数学结论．
(5)返本还原，即还原为实际问题本身所具有的意义．
甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元． (1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率．
(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10 000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？ 【解析】(1)设这种商品平均降价率是x，依题意得： 40(1－x)2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)； 故这个降价率为10%.
(2)设降价y元，则多销售(y÷0.2)×10＝50y件， 根据题意得(40－20－y)(500＋50y)＝10 000， 解得：y＝0(舍去)或y＝10，
答：在现价的基础上，再降低10元．
1．已知等式3x＋2y＋6＝0，则下列等式正确的是( ) 33
A．y＝－2 x－3 B．y＝2 x－3 33
C．y＝－2 x＋3 D．y＝2 x＋3
3
【解析】选A.由等式3x＋2y＋6＝0，可得y＝－2 x－3.
2．(2021·青岛高一检测)一元二次方程(x＋3)(x－3)＝3(x＋3)的解集是( ) A．{3}
B．{6}
C．{－3，6} D．{－6，3}
【解析】选C.(x＋3)(x－3)－3(x＋3)＝0，即(x＋3)(x－3－3)＝0，所以x＋3＝0或x－3－3＝0，解得x1＝－3，x2＝6.
3．(教材练习改编)多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( )
A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2 【解析】选D.因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b＝x2－3x＋a， 所以5＋b＝3，a＝5b，所以b＝－2，a＝－10.
4．(2021·南昌高一检测)一元二次方程2x2＋px＋q＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x2＋px＋q可分解为( ) A．(x＋1)(x－2) C．2(x－1)(x＋2)
B．(2x＋1)(x－2) D．2(x＋1)(x－2)
【解析】选D.因为一元二次方程2x2＋px＋q＝0的解集为{－1，2}，
所以2(x＋1)(x－2)＝0，所以2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2). 5．若x＝3是方程2x－10＝4a的解，则a＝______． 【解析】因为x＝3是方程2x－10＝4a的解， 所以2×3－10＝4a，所以4a＝－4，所以a＝－1. 答案：－1
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