2021-2022学年山东省青岛市李沧实验初中、爱迪学校九
年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. 方程(𝑥−2)(𝑥+3)=0的解是( )
A. 𝑥=2
C. 𝑥1=2，𝑥2=3
2. 下列说法中不正确的是( )
B. 𝑥=−3
D. 𝑥1=2，𝑥2=−3
A. 对角线垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3. 关于𝑥的一元二次方𝑥2+4𝑥+𝑘=0有两个相等的实数根，则𝑘的值为( )
A. 𝑘=4 B. 𝑘=−4 C. 𝑘≥−4 D. 𝑘≥4
4. 某次活动课上，要在某个小组中随机挑选2名同学上台表演，已知这个小组共有2名
男同学，2名女同学，那么恰好挑选1名男同学和1名女同学的概率是( )
A. 3
2
B. 3
1
C. 2
1
D. 4
3
5. 如图，延长矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐵𝐶至点𝐸，使𝐶𝐸=𝐶𝐴，连接𝐴𝐸，若∠𝐵𝐴𝐶=52°，则∠𝐸
的度数是( )
A. 18° B. 19° C. 20° D. 40°
6. 根据下列表格的对应值：可得方程𝑥2+5𝑥−3=0一个解𝑥的范围是( )
𝑥 0.00 0.25 0.50 0.75 1.31 1.00 3.00 𝑥2+5𝑥−3 −3.00 −1.69 −0.25 A. 0<𝑥<0.25 C. 0.50<𝑥<0.75
B. 0.25<𝑥<0.50 D. 0.75<𝑥<1
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𝐵𝐶=2，7. 如图，已知矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷的两边𝐴𝐵=4，
过点𝐵折叠纸片，使点𝐴落在边𝐶𝐷上的点𝐹处，折痕为𝐵𝐸，则𝐸𝐹的长为( )
A. 8−4√3 B. 2√3 C. 4√3−6 D. 5
8. 如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂，折叠正
方形𝐴𝐵𝐶𝐷，使𝐴𝐵边落在𝐴𝐶上，点𝐵落在点𝐻处，折痕𝐴𝐸分别交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐵𝑂于点𝐹，连结𝐹𝐻，则下列结论正确的有几个( )
△𝐴𝐵𝐸
=𝐴𝐶；(3)𝐴𝐷=√2−1；(4)四边形𝐵𝐸𝐻𝐹为菱形． (1)𝐴𝐷=𝐷𝐹；(2)𝑆△𝐴𝐶𝐸
6
𝑆𝐴𝐵𝐹𝐻
A. 1个
B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 已知𝑏=𝑑=𝑓=2，且𝑏+𝑑+𝑓≠0，若𝑎+𝑐+𝑒=12，则𝑏+𝑑+𝑓=______． 10. 袋中装有6个黑球和𝑛个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰
是黑球的概率为0.75”，则这个袋中白球大约有______ 个.
11. 某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果
平均每月增长率为𝑥，则由题意列方程应为______． 12. 如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝐸𝐹，点𝐶、𝐷分别在𝐵𝐸、𝐴𝐹上，如
𝐶𝐸=3，𝐴𝐹=4，果𝐵𝐶=2，那么𝐷𝐹的长为______．
𝑎
𝑐
𝑒
13. 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐶𝐸𝐹𝐺中，点𝐷在𝐶𝐺上，𝐴𝐷=√2，𝐷𝐺=3√2，𝐻是𝐴𝐹
的中点，那么𝐶𝐻的长是______．
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4
14. 在一个长为3，宽为𝑚(𝑚<3)的矩形纸片上，剪下一个面积最大的正方形(称为第
一次操作)；再在剩下的矩形上剪下一个面积最大的正方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去．若在第𝑛次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当𝑛=2时，𝑚的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）
𝐸、𝐹分别在𝐴𝐵、𝐵𝐶、15. 已知△𝐴𝐵𝐶，求作菱形𝐴𝐷𝐸𝐹使顶点𝐷、
𝐴𝐶上．
16. 解方程：
(1)𝑥2−10𝑥−10=0； (2)3(𝑥−5)2=2(5−𝑥)；
(3)关于𝑥的一元二次方程(𝑚+1)𝑥2+𝑚𝑥+4𝑚=0的一个根是−1，求𝑚的值及方程的另外一个根．
1
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17. 小明与小亮共同发明了一种“字母棋”进行比胜负的游戏，他们用三种字母做成5
颗棋子(棋子除字母外其它均相同)，其中𝐴棋1颗，𝐵棋2颗，𝐶棋2颗．
“字母棋”的游戏规则为：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出两颗棋子，若摸到𝐴棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜，其余情况视为平局，游戏重新进行．在游戏刚准备进行时，数学课代表小军对游戏的公平性产生了怀疑，请你通过列表或画树状图的方法帮助小军同学验证这个游戏公平吗？请说明理由．
𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐸是𝐴𝐷的中点，18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，过点𝐴作𝐵𝐶的平行线交𝐵𝐸
的延长线于点𝐹，连接𝐶𝐹． (1)求证：𝐴𝐹=𝐷𝐶；
(2)若𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，试判断四边形𝐴𝐷𝐶𝐹的形状，并证明你的结论．
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19. 如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一
𝐴𝐵边上留有2米宽的小门(用其个矩形场地花圃𝐴𝐵𝐶𝐷，他材料做，不用篱笆围)．
(1)设花圃的一边𝐴𝐵长为𝑥米，请你用含𝑥的代数式表示另一边𝐵𝐶的长为______米； (2)当矩形场地面积为160平方米时，求𝐴𝐵的长．
20. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，𝐴𝑁是
△𝐴𝐵𝐶外角∠𝐶𝐴𝑀的平分线，𝐶𝐸⊥𝐴𝑁，垂足为点𝐸 (1)求证：四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为矩形；
(2)当△𝐴𝐵𝐶满足什么条件时，四边形𝐴𝐷𝐶𝐸是一个正方形？并给出证明．
21. 在“新型冠状肺炎病毒”流行期间，日常抑菌刻不容缓，某商场积极响应国家号召，
帮助广大客户抗击疫情，为此重磅推出75%酒精．根据市场调查：这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，已知每瓶75%酒精进价为15元．
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(1)若商场把75%酒精的销售单价定为21元，则商场每天的销量是多少瓶？ (2)如果商场卖这种酒精一天的利润要达到350元，又要把更多的优惠给顾客，那么这种酒精的销售单价应该定为多少元？
22. [问题提出]：如图1，由𝑛×𝑛×𝑛(长×宽×高)个小立方块组成的正方体中，到底有
多少个长方体(包括正方体)呢？
[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．
(1)如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1=3个长方体． (2)如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2=条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1=9个长方体．
(3)如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2=3条线段，所以图中共有______个长方体．
(4)由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=
3×22
2×322×32
2×32
=3条线段，
=3
=
=3条线段，宽共有
______条线段，高共有______条线段，所以图中共有______个长方体． [问题解决]
(5)由𝑛×𝑛×𝑛个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有______线段，所以图中共有______个长方体． [结论应用]
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(6)如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
23. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6𝑐𝑚，𝐴𝐷=8𝑐𝑚，直线𝐸𝐹从点𝐴出发沿𝐴𝐷方向匀速
运动，速度是2𝑐𝑚/𝑠，运动过程中始终保持𝐸𝐹//𝐴𝐶.𝐹交𝐴𝐷于𝐸，交𝐷𝐶于点𝐹；同时，点𝑃从点𝐶出发沿𝐶𝐵方向匀速运动，速度是1𝑐𝑚/𝑠，连接𝑃𝐸、𝑃𝐹，设运动时间𝑡(𝑠)(0<𝑡<4)． (1)当𝑡=1时，求𝐸𝐹长；
(2)求𝑡为何值时，四边形𝐸𝑃𝐶𝐷为矩形； (3)用含有时间𝑡的代数式表示△𝑃𝐸𝐹的面积；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻使△𝑃𝐸𝐹的面积是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的6？若存在，求出𝑡的值；若不存在，请说明理由．
1
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：方程(𝑥−2)(𝑥+3)=0， 可得𝑥−2=0或𝑥+3=0， 解得：𝑥1=2，𝑥2=−3， 故选：𝐷．
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故不符合题意； C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，正确；故不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项错误，故符合题意． 故选：𝐷．
根据矩形、菱形、正方形的判定定理即可作出判断．
本题考查了矩形、菱形、正方形的判定定理，正确理解定理是关键．
3.【答案】𝐴
【解析】 【分析】
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于𝑘的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】
解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2+4𝑥+𝑘=0有两个相等的实数根， ∴△=42−4𝑘=16−4𝑘=0，
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解得：𝑘=4． 故选：𝐴．
4.【答案】𝐴
【解析】 【分析】
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出𝑛，再从中选出符合事件𝐴或𝐵的结果数目𝑚，然后根据概率公式求出事件𝐴或𝐵的概率． 先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出1名男同学和1名女同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】 解：画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中1名男同学和1名女同学的结果数为8种， 所以恰好挑选1名男同学和1名女同学的概率=12=3． 故选A．
8
2
5.【答案】𝐵
【解析】解：∵𝐶𝐸=𝐶𝐴， ∴∠𝐸=∠𝐶𝐴𝐸， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形， ∴∠𝐵=90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵=90°−∠𝐵𝐴𝐶=90°−52°=38°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸+∠𝐶𝐴𝐸=2∠𝐸， ∴∠𝐸=19°； 故选：𝐵．
由等腰三角形的性质可得∠𝐸=∠𝐶𝐴𝐸，再由矩形的性质和三角形的外角性质可求解． 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
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6.【答案】𝐶
【解析】解：由表格可知，当𝑥=0.5时，𝑥2+5𝑥−3=−0.25<0，当𝑥=0.75时，𝑥2+5𝑥−3=1.31>0，
∴方程𝑥2+5𝑥−3=0一个解𝑥的范围是0.50<𝑥<0.75， 故选：𝐶．
由表格可知，当𝑥=0.5时，𝑥2+5𝑥−3=−0.25<0，当𝑥=0.75时，𝑥2+5𝑥−3=1.31>0，根据以上分析，结合选项所给的𝑥的范围，即可得到答案．
本题考查了利用表格求方程根的取值范围，关键是看𝑥在哪个范围内𝑦的两个值异号．
7.【答案】𝐴
【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴𝐴𝐷=𝐵𝐶=2，𝐶𝐷=𝐴𝐵=4，∠𝐷=∠𝐶=90°， 由翻折的性质可知：𝐵𝐹=𝐴𝐵=4，𝐴𝐸=𝐸𝐹， 设𝐴𝐸=𝐸𝐹=𝑥，
∴𝐶𝐹=√𝐵𝐹2−𝐵𝐶2=2√3， 在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐹中， ∵𝐷𝐸2+𝐷𝐹2=𝐸𝐹2， ∴(2−𝑥)2+(4−2√3)2=𝑥2， ∴𝑥=8−4√3， 故选：𝐴．
由翻折的性质可知：𝐵𝐹=𝐴𝐵=4，𝐴𝐸=𝐸𝐹，设𝐴𝐸=𝐸𝐹=𝑥，在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐹中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】𝐷
【解析】解：(1)∵在正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，折叠正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，使𝐴𝐵落在𝐴𝐶上，点𝐵恰好与𝐴𝐶上的点𝐻重合， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐻=22.5°，
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∴∠𝐷𝐴𝐹=67.5°， ∴∠𝐴𝐹𝐷=67.5°， ∴𝐴𝐷=𝐷𝐹， 故(1)正确；
(2)∵在正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，折叠正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，使𝐴𝐵落在𝐴𝐶上，点𝐵恰好与𝐴𝐶上的点𝐻重合， ∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐸𝐻， ∴𝐵𝐸=𝐸𝐻， ∴𝑆△𝐴𝐶𝐸=
𝑆△𝐴𝐵𝐸
1
𝐴𝐵⋅𝐵𝐸21𝐴𝐶⋅𝐸𝐻2=𝐴𝐶，
𝐴𝐵
故(2)正确；
(3)∵在正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，折叠正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，使𝐴𝐵落在𝐴𝐶上，点𝐵恰好与𝐴𝐶上的点𝐻重合， ∴∠𝐵𝐴𝐸=22.5°，
∴tan∠𝐵𝐴𝐸=𝑡𝑎𝑛22.5°=√2−1，
(4)∵在正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，折叠正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，使𝐴𝐵落在𝐴𝐶上，点𝐵恰好与𝐴𝐶上的点𝐻重合，
∴𝐵𝐸=𝐸𝐻，𝐵𝐹=𝐹𝐻， 又∵𝐹𝐻//𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐸𝐹𝐻， 又∵∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐹𝐻， ∴∠𝐴𝐹𝐻=∠𝐸𝐹𝐻， ∴𝐵𝐸=𝐸𝐻=𝐹𝐵=𝐵𝐻， ∴四边形𝐵𝐸𝐻𝐹是菱形， 故(4)正确；
∴tan∠𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐵=𝐴𝐷， 故(3)正确． 故选D．
(1)利用折叠的性质得出∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐻=22.5°，进而得出∠𝐷𝐴𝐹=67.5°，利用三角形内角和得出∠𝐴𝐹𝐷=67.5°，证明𝐴𝐷=DF正确；
△𝐴𝐵𝐸
=𝐴𝐶，正确；(2)利用角平分线的性质得出𝐸𝐵=𝐸𝐻，再利用三角形面积公式得出𝑆△𝐴𝐶𝐸
𝐵𝐸𝐹𝐻
𝑆𝐴𝐵
(3)根据tan∠𝐵𝐴𝐸=𝑡𝑎𝑛22.5°≈0.41，利用菱形得出𝐹𝐻=𝐵𝐸，进而得出𝐴𝐷=√2−1，
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𝐹𝐻
正确；
(4)我们根据折叠的性质就能得出𝐵𝐸=𝐸𝐻，𝐵𝐹=𝐹𝐻，只要再证出𝐵𝐸=𝐵𝐹就能得出𝐵𝐸𝐻𝐹是菱形，可用角的度数进行求解，得出∠𝐵𝐹𝐴的度数，那么就能求出∠𝐵𝐹𝐸的度数，在直角三角形𝐴𝐵𝐸中，有了∠𝐵𝐴𝐸的度数，就能求出∠𝐴𝐸𝐵的度数，这样得出𝐵𝐸=𝐵𝐹后就能证出𝐵𝐸𝐻𝐹是菱形了．
主要考查了正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，根据折叠的性质的角和边相等是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
9.【答案】6
【解析】解：∵𝑏=𝑑=𝑓=2， ∴𝑎=2𝑏，𝑐=2𝑑，𝑒=2𝑓， ∵𝑎+𝑐+𝑒=12， ∴2𝑏+2𝑑+2𝑓=12，
等式两边都除以2，得𝑏+𝑑+𝑓=6， 故答案为：6．
𝑐=2𝑑，𝑒=2𝑓，根据已知条件求出𝑎=2𝑏，根据𝑎+𝑐+𝑒=12得出2𝑏+2𝑑+2𝑓=12，再求出答案即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果𝑏=𝑑，那么𝑎𝑑=𝑏𝑐．
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
𝑒
10.【答案】2
【解析】解：根据题意知6+𝑛=0.75， 解得𝑛=2，
经检验𝑛=2是分式方程的解， ∴这个袋中白球大约有2个， 故答案为：2．
用黑球的个数除以球的总个数等于0.75列出关于𝑛的方程，解之即可．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
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6
比．注意方程思想的应用．
11.【答案】200(1+𝑥)+200(1+𝑥)2=1000
【解析】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为𝑥， ∴二月份的营业额为200×(1+𝑥)，
∴三月份的营业额为200×(1+𝑥)×(1+𝑥)=200×(1+𝑥)2， ∴可列方程为200(1+𝑥)+200(1+𝑥)2=1000， 故答案为：200×(1+𝑥)+200×(1+𝑥)2=1000．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为𝑎，变化后的量为𝑏，平均变化率为𝑥，则经过两次变化后的数量关系为𝑎(1±𝑥)2=𝑏.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝐸𝐹， ∴∴
𝐶𝐸𝐵𝐸32+3
12
=
𝐷𝐹𝐴𝐹
， ，
=
𝐷𝐹4125
∴𝐷𝐹=
，
12
故答案为：5．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
本题考查了平行线分线段成比例，由平行线分线段成比例得到比例式是解决问题的关键．
5813.【答案】√3
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【解析】解：如图，连接𝐴𝐶、𝐶𝐹，
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐶𝐸𝐹𝐺中，𝐴𝐷=√2，𝐷𝐺=3√2， ∴𝐴𝐶=2，𝐶𝐺=3√2， ∴𝐶𝐹=
143
7
4
，
∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐺𝐶𝐹=45°， ∴∠𝐴𝐶𝐹=90°，
由勾股定理得，𝐴𝐹=√𝐴𝐶2+𝐶𝐹2=√22+()2=
3∵𝐻是𝐴𝐹的中点， ∴𝐶𝐻=2𝐴𝐹=2×故答案为：√．
3581
1
2√583
14
2√583
，
=
√58． 3
𝐶𝐹，𝐶𝐹，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐺𝐶𝐹=45°，连接𝐴𝐶、根据正方形性质求出𝐴𝐶、再求出∠𝐴𝐶𝐹=90°，然后利用勾股定理列式求出𝐴𝐹，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
14.【答案】1或2
【解析】解：由题意第一次操作后剩下的矩形长是宽的2倍，由此可得：3−𝑚=2𝑚或𝑚=2(3−𝑚)， 解得𝑚=1或2， 故答案为1或2
由题意第一次操作后剩下的矩形长是宽的2倍，由此列出方程方程即可解决问题． 本题考查正方形的性质，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
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15.【答案】解：如图，四边形𝐴𝐷𝐸𝐹为所作．
𝐴𝐶【解析】利用菱形的判定，先作∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐸，再作𝐴𝐸的垂值平分线分别交𝐴𝐵、于𝐸、𝐹，然后可判断𝐴𝐷=𝐸𝐷=𝐹𝐷=𝐴𝐹，从而得到四边形𝐴𝐷𝐸𝐹为菱形． 本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的性质．
16.【答案】解：(1)𝑥2−10𝑥=10，
𝑥2−10𝑥+25=35， (𝑥−5)2=35， 𝑥−5=±√35，
所以𝑥1=5+√35，𝑥2=5−√35； (2)3(𝑥−5)2+2(5−𝑥)=0， (𝑥−5)(3𝑥−15+2)=0， 𝑥−5=0或3𝑥−15+2=0， 所以𝑥1=，𝑥2=
133
；
1
(3)把𝑥=−1代入方程得𝑚+1−𝑚+4𝑚=0， 解得𝑚=−4，
原方程化为3𝑥2+4𝑥+1=0， 设方程的另一根为𝑡，
根据根与系数的关系得−1×𝑡=3， 即𝑡=−3．
【解析】(1)利用配方法解方程；
(2)先移项得到3(𝑥−5)2+2(5−𝑥)=0，然后利用因式分解法解方程；
1
1
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(3)先把𝑥=−1代入方程得𝑚+1−𝑚+4𝑚=0，则苛求出𝑚=−4，则原方程化为3𝑥2+4𝑥+1=0，设方程的另一根为𝑡，根据根与系数的关系得−1×𝑡=3，然后求出𝑡即可．
𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根，本题考查了根与系数的关系：若𝑥1，则𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1𝑥2=𝑎.也考查了解一元二次方程．
𝑏
𝑐
1
1
17.【答案】解：这个游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，摸到𝐴棋的有8种情况，摸到两颗相同的棋子的有4种情况， ∴𝑃(小明胜)=20=5，𝑃(小亮胜)=20=5， ∵𝑃(小明胜)≠𝑃(小亮胜)， ∴这个游戏不公平．
【解析】画树状图，共有20种等可能的结果，摸到𝐴棋的有8种情况，摸到两颗相同的棋子的有4种情况，再求得小明胜与小亮胜的概率，比较概率的大小，即可得出结论． 本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
8
2
4
1
18.【答案】(1)证明：连接𝐷𝐹，
∵𝐸为𝐴𝐷的中点， ∴𝐴𝐸=𝐷𝐸， ∵𝐴𝐹//𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐵𝐸， 在△𝐴𝐹𝐸和△𝐷𝐵𝐸中， ∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐵𝐸
{∠𝐹𝐸𝐴=∠𝐷𝐸𝐵， 𝐴𝐸=𝐷𝐸
∴△𝐴𝐹𝐸≌△𝐷𝐵𝐸(𝐴𝐴𝑆)，
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∴𝐸𝐹=𝐵𝐸， ∵𝐴𝐸=𝐷𝐸，
∴四边形𝐴𝐹𝐷𝐵是平行四边形， ∴𝐵𝐷=𝐴𝐹， ∵𝐴𝐷为中线， ∴𝐷𝐶=𝐵𝐷， ∴𝐴𝐹=𝐷𝐶；
(2)四边形𝐴𝐷𝐶𝐹的形状是菱形，理由如下： ∵𝐴𝐹=𝐷𝐶，𝐴𝐹//𝐵𝐶， ∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是平行四边形， ∵𝐴𝐶⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐶𝐴𝐵=90°， ∵𝐴𝐷为中线， ∴𝐴𝐷=2𝐵𝐶=𝐷𝐶， ∴平行四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是菱形；
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形、矩形、正方形的判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质；本题综合性强，由一定难度，利于培养学生的推理能力．
(1)连接𝐷𝐹，由𝐴𝐴𝑆证明△𝐴𝐹𝐸≌△𝐷𝐵𝐸，得出𝐴𝐹=𝐵𝐷，即可得出答案；
(2)根据平行四边形的判定得出平行四边形𝐴𝐷𝐶𝐹，求出𝐴𝐷=𝐶𝐷，根据菱形的判定得出即可；
1
19.【答案】(36−2𝑥)
【解析】解：(1)设𝐴𝐵=𝑥米，则𝐶𝐷=𝐴𝐵=𝑥米， ∴𝐵𝐶=34+2−2𝐴𝐵=34+2−2𝑥=(36−2𝑥)米． 故答案为：(36−2𝑥)．
(2)依题意得：𝑥(36−2𝑥)=160， 化简得：𝑥2−18𝑥+80=0， 解得：𝑥1=8，𝑥2=10．
当𝑥=8时，36−2𝑥=36−2×8=20>18，不合题意，舍去；
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当𝑥=10时，36−2𝑥=36−2×10=16<18，符合题意． 答：𝐴𝐵的长为10米．
(1)设𝐴𝐵=𝑥米，则𝐶𝐷=𝐴𝐵=𝑥米，利用𝐵𝐶的长=篱笆的长+门的宽−2𝐴𝐵，即可用含𝑥的代数式表示出𝐵𝐶的长；
(2)利用矩形的面积计算公式，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之即可得出𝑥的值，再结合墙的长度为18米，即可确定𝐴𝐵的长．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20.【答案】(1)证明：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边的中线，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐷𝐶=90°，
∵𝐴𝑁为△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐴𝑀的平分线， ∴∠𝑀𝐴𝑁=∠𝐶𝐴𝑁， ∴∠𝐷𝐴𝐸=90°， ∵𝐶𝐸⊥𝐴𝑁， ∴∠𝐴𝐸𝐶=90°， ∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为矩形；
(2)当△𝐴𝐵𝐶满足∠𝐵𝐴𝐶=90°时，四边形𝐴𝐷𝐶𝐸是正方形． 证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵=45°， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=45°， ∴𝐷𝐶=𝐴𝐷，
∵四边形𝐴𝐷𝐶𝐸是矩形， ∴矩形𝐴𝐷𝐶𝐸是正方形．
【解析】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
(1)由在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边的中线，可得𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，又由𝐴𝑁为△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐴𝑀的平分线，可得∠𝐷𝐴𝐸=90°，又由𝐶𝐸⊥𝐴𝑁，即可证得：
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四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为矩形；
(2)根据正方形的判定，我们可以假设当𝐴𝐷=2𝐵𝐶，由已知可得，𝐷𝐶=2𝐵𝐶，由(1)的结论可知四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为矩形，所以证得，四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为正方形．
1
1
21.【答案】解：(1)20+10×(25−21)
=20+40 =60(瓶)．
故商场每天的销量是60瓶；
(2)设这种酒精的销售单价应该定为𝑥元， 依题意得：(𝑥−15)[20+10(25−𝑥)]=350， 整理得：𝑥2−42𝑥+440=0， 解得：𝑥1=22，𝑥2=20， ∵要把更多的优惠给顾客，
∴这种酒精的销售单价应该定为20元． 故这种酒精的销售单价应该定为20元．
【解析】(1)根据这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，可得现在销售数量为20+10×(25−21)个，依此计算即可求解；
(2)根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．
22.【答案】27 6 21 378
𝑛(𝑛+1)𝑛3(𝑛+1)3
28
【解析】解：[问题探究]： (3)3×3×3=27(个)． 故答案为：27． (4)4×3÷2=6(条)， 7×6÷2=21(条)，
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3×6×21=378(个)． 故答案为：6，21，378． (5)长、宽、高各有[结论应用] (6)依题意有：
𝑛3(𝑛+1)3
8𝑛(𝑛+1)2
𝑛(𝑛+1)2
线段，所以图中共有
𝑛3(𝑛+1)3
8
个长方体．
=3375
=15，
解得𝑛1=5，𝑛2=−6(不合题意，舍去)， ∴5×5×5=125(个)．
答：组成这个正方体的小立方块的个数是125个． [问题探究]：
(3)把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
(4)先得到宽共有多少条线段，高共有多少条线段，再把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
(5)先根据数线段的方法得到长、宽、高三边的线段条数，再把它们相乘即可求解； [结论应用]
(6)由(5)的结论，根据等量关系：由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，列出方程求解即可．
考查了立体图形，组合图形中线段的计数，本题关键是得到𝑛×𝑛×𝑛个小立方块组成的正方体中共有共有
𝑛3(𝑛+1)3
8
个长方体．
23.【答案】解：(1)∵𝐴𝐵=6𝑐𝑚，𝐴𝐷=8𝑐𝑚，
∴𝐴𝐶=10𝑐𝑚， 当𝑡=1时，𝐴𝐸=2𝑐𝑚， 则𝐷𝐸=6𝑐𝑚， ∵𝐸𝐹//𝐴𝐶， ∴△𝐷𝐸𝐹∽△𝐷𝐴𝐶， ∴𝐷𝐴=𝐴𝐶，即8=解得：𝐸𝐹=
152
𝐷𝐸
𝐸𝐹
6
𝐸𝐹10
，
𝑐𝑚；
(2)由题意知𝐴𝐸=2𝑡 𝑐𝑚，𝐶𝑃=𝑡 𝑐𝑚，
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则𝐷𝐸=(8−2𝑡)𝑐𝑚， ∵四边形𝐸𝑃𝐶𝐷是矩形， ∴𝐷𝐸=𝐶𝑃，即8−2𝑡=𝑡， 解得𝑡=3，
故当𝑡=3时，四边形𝐸𝑃𝐶𝐷为矩形； (3)∵𝐸𝐹//𝐴𝐶， ∴△𝐷𝐸𝐹∽△𝐷𝐴𝐶， ∴𝐷𝐴=𝐷𝐶，即𝐷𝐸
𝐷𝐹
8−2𝑡83
88
=
𝐷𝐹6
，
解得：𝐷𝐹=6−2𝑡，
则𝐶𝐹=𝐶𝐷−𝐷𝐹=6−(6−2𝑡)=2𝑡 𝑐𝑚，
则△𝑃𝐸𝐹的面积=𝑆梯形𝐷𝐸𝑃𝐶−𝑆△𝐷𝐸𝐹−𝑆△𝑃𝐶𝐹=2×(8−2𝑡+𝑡)×6−2×(8−2𝑡)×(6−2𝑡)−2×𝑡×2𝑡=−4𝑡2+9𝑡， 即△𝑃𝐸𝐹的面积=−4𝑡2+9𝑡(0<𝑡<4)； (4)存在，
∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷面积=6×8=48(𝑐𝑚2)， ∴△𝑃𝐸𝐹的面积=6×48=8(𝑐𝑚2)， ∴−4𝑡2+9𝑡=8， 解得：𝑡=3或3，
∴当𝑡=3或3时，使△𝑃𝐸𝐹的面积是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的6．
【解析】(1)由勾股定理知𝐴𝐶=10𝑐𝑚，由题意得𝐴𝐸=2𝑐𝑚，𝐷𝐸=6𝑐𝑚，根据𝐸𝐹//𝐴𝐶知△𝐷𝐸𝐹∽△𝐷𝐴𝐶，据此得𝐷𝐴=𝐴𝐶，代入计算即可；
(2)由𝐷𝐸//𝐶𝑃且∠𝐷=∠𝐶知𝐷𝐸=𝐶𝑃时，四边形𝐸𝑃𝐶𝐷为矩形，据此求解可得； 𝐶𝐹=2𝑡𝑐𝑚，(3)证△𝐷𝐸𝐹∽△𝐷𝐴𝐶得𝐷𝐴=𝐷𝐶，据此求得𝐷𝐹=(6−2𝑡)𝑐𝑚，根据△𝑃𝐸𝐹的面积=𝑆梯形𝐷𝐸𝑃𝐶−𝑆△𝐷𝐸𝐹−𝑆△𝑃𝐶𝐹可求解；
(4)先求出△𝑃𝐸𝐹的面积，代入(3)的式子，可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
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𝐷𝐸
𝐷𝐹
3
3
𝐷𝐸
𝐸𝐹
4
8
1
4
8
9
1
9
3
1
3
9
1
1
3
3
及割补法求三角形的面积等知识点，证明三角形相似是解题的关键．
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