2017-2018学年杭州市第二次高考科目教学质量检测
高三数学检测试卷
2018.04.23
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共40分）
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1． 已知集合 A＝{x | x＞1}， B＝{x | x＜2}，则 A∩B＝（ ） A． { x | 1＜x＜2} B． {x | x＞1} C． {x | x＞2} D． {x | x≥1}
2．设 a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R（ i 是虚数单位），则 a＝（ ） A． 3 B． －3 C． _ D． －_ 3． 二项式_的展开式中 x3项的系数是（ ） A． 80 B． 48 C． －40 D． －80
4．设圆 C1： x2＋y2＝1 与 C2： (x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆 C1与 C2的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
5． 若实数 x， y 满足约束条件 _，设 z＝x＋2y ，则（ ） A． z≤0 B．0≤z≤5 C． 3≤z≤5 D．z≥5
6．设 a＞b＞0， e 为自然对数的底数． 若 ab＝ba，则（ ） A． ab＝e2 B． ab＝_ C． ab＞e2 D． ab＜e2 7． 已知 0＜a＜_，随机变量 ξ 的分布列如下：
ξ P －1 0 1 4 1 3 4 －a a 当 a 增大时，（ ）
A． E(ξ)增大， D(ξ)增大 B． E(ξ)减小， D(ξ)增大 C． E(ξ)增大， D(ξ)减小 D． E(ξ)减小， D(ξ)减小 8．已知 a＞0 且 a≠1，则函数 f (x)＝(x－a)2lnx（ ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
9． 记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin． 若平面向量 a， b， c 满足| a |＝| b |＝a•b ＝c•(a＋2b－2c)＝2． 则（ ） A． |a－c|max＝_ B． |a＋c|max＝_ C． |a－c|min＝√_ D． |a＋c|min＝_
10． 已知三棱锥 S－ABC 的底面 ABC 为正三角形， SA＜SB＜SC，平面 SBC， SCA， SAB 与 平面 ABC 所成的锐二面角分别为 α1， α2， α3，则（ ） A． α1＜α2 B． α1＞α2 C． α2＜α3 D． α2＞α3 非选择题部分（共 110 分）
二、 填空题（ 本大题共 7 小题， 第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分）
11．双曲线_= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．
12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________． _
14．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．
15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．
16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤_，|f(x)＋1－x2|≤_，则f(1)＝ ．
17．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式_恒成立，则_的最大值为 ．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分） 18．（本题满分14分）已知函数f(x)＝_
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数y＝f(－x)的单调减区间．
19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC
的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD． （Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值． _
20．（本题满分15分）已知函数f(x)＝_ （Ⅰ）求函数f(x)的导函数f ′(x)；
（Ⅱ）证明：f(x)＜_（e为自然对数的底数）．
21．（本题满分15分）如图，过抛物线M：y＝x2上一点A（点A不与原点O重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D． _
（Ⅰ）设A(x0，x02)（x0≠0），求直线AB的方程； （Ⅱ）求_的值．
22．（本题满分15分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋_（c＞0，n∈N*）， （Ⅰ）证明：an＋1＞an≥1； （Ⅱ）若对任意n∈N*，都有_
证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时，_
（ⅱ）．_
2017学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）
题号 答案
二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．_；_ 15．32
12．3；162
13．_；_14．－_；_
17．
1 A 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 A 8 C 9 A 10 A 16．_
三、解答题：(本大题共5小题，共74分)． 18．（本题满分14分）
（Ⅰ）因为sin(x＋_)＝cos(x－_)，
所以 f (x)＝2sin(x＋_)＝－2sin(x＋_)．
所以函数f (x)的最小正周期是2π，最大值是2．
（Ⅱ）因为f (－x)＝2sin(x－_)，
所以单调递减区间为(_＋2kπ，_＋2kπ)（k∈Z）．…………14分
19．（本题满分15分） （Ⅰ）有题意知AM⊥BD，
又因为 AC′⊥BD， 所以 BD⊥平面AMC， 因为BD_平面ABD，
所以平面AMC⊥平面AB D．
…………7分 …………7分
（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接F D．
由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面_所成的角． 设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝_，MD＝2－_，
A
DC＝DC′＝3_－2，AD＝_－_． 在Rt△C′MD中，
_
＝9－4_．
C′
（第19题）
B
M D F
设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′2－AF2＝MC′2－MF2， 即 4－x2＝(9－4_)－(x－1)2， 解得，x＝2_－2，即AF＝2_－2． 所以 C′F＝2_．
故直线_与平面_所成的角的正弦值等于_＝_．
…………15分
20．（本题满分15分）
（I）_． （Ⅱ）设_，
则函数g(x)在_单调递减，且_，_， 所以存在_，使g(x0)＝0，即_， 所以 x0＋1－(2x0＋1)lnx0＝0，
所以 f′(x)＝0，且f (x)在区间(0，x0)单调递增，区间(x0，＋∞)单调递减． 所以 f (x)≤f (x0)＝_
＝_． …………15分
21．（本题满分15分）
（Ⅰ）因为 y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′_＝2x0．
所以直线AB的方程y－x0＝2x0(x－x0)， 即 y＝2x0x－_．
…………6分
…………6分
（Ⅱ）由题意得，点B的纵坐标yB＝－_，所以AB中点坐标为_．
设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋_x0． 由_，联立得m2y2＋(mx0－1)y＋_＝0． 因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2．
由韦达定理，得y1＋y2＝4y2＝_，y1y2＝3_． 所以 _， 解得 mx0＝_．
所以点D的纵坐标yD＝_， 故_．
22．（本题满分15分）
（Ⅰ）因为c＞0，所以 an＋1＝an＋_＞an（n∈N*），
下面用数学归纳法证明an≥1． ①当n＝1时，a1＝1≥1； ②假设当n＝k时，ak≥1，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋_＞ak≥1． 所以，当n∈N*时，an≥1． 所以 an＋1＞an≥1．
…………5分
…………15分
（Ⅱ）（ⅰ）当n≥m时，an≥am，
所以 an＋1＝an＋_≤an＋_，
所以 an＋1－an≤_，累加得 an－am≤_(n－m)， 所以 _．
…………9分
（ⅱ）若_，当_时，
_，所以_．
所以当_时，_． 所以当_时，_，矛盾． 所以 _． 因为 _， 所以_．
…………15分
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