高一精选题库习题 数学选修4-5-2

选修4-5 第2节

[知能演练]

一、选择题

1．若a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为

( )

A．1 C.3

B.2 D．2

＋

解析：(a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3. ∴a＋b＋c≤3.

1

当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．

3故a＋b＋c的最大值为3. 故应选C. 答案：C

2．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为

( )

A．2 C．4

B．3 D．5

解析：由柯西不等式得 (a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2， 因为a2＋b2＝5， 所以(a＋2b)2≤25， 即－5≤a＋2b≤5，

当且仅当b＝2a且a2＋b2＝5时等号成立，故选D. 答案：D

3．已知a>0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是

( )

A．M≥N C．M≤N

B．M>N D．M解析：取两组数：a，a＋1，a＋2与a2，(a＋1)2，(a＋2)2， 显然a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3是顺序和；

而a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”

大于“乱序和”．

故应选B. 答案：B

4．已知x，y均为正数，且x＋y＝2，则x＋4xy＋4y的最大值是

( )

A．8 C．10

B．9 D．11

解析：x＋4xy＋4y＝(x＋2y)2≤(12＋22)[(x)2＋(y)2] ＝5(x＋y)＝5×2＝10. ∴x＋4xy＋4y≤10. 当且仅当1×y＝2x. 即y＝4x(x>0)时等号成立．

y＝4x2解得x＝符合x>0，

5x＋y＝2

∴x＋4xy＋4y的最大值为10，故应选C. 答案：C 二、填空题

5．把一条长是m的绳子裁成三段，各围成一个正方形，则这三个正方形的面积和的最小值为________．

x

解析：设三段的长度分别为x，y，z，则x＋y＋z＝m，三个正方形的面积和为S＝()2

4yz＋()2＋()2 44

1

＝(x2＋y2＋z2)． 16

因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12) ≥(x＋y＋z)2＝m2，

m

当且仅当x＝y＝z＝时等号成立，

3

m2m2

所以x＋y＋z有最小值，从而S有最小值.

348

2

2

2

m2

答案： 48

6．设a，b，c均为实数，则解析：∵a＋b－c＝a＋的最大值为________．

a2＋2b2＋3c2a＋b－c

23

·2b－·3c， 23

由柯西不等式得 (a＋b－c)2＝(a＋≤[12＋(

23

·2b－·3c)2 23

223

)＋(－)2](a2＋2b2＋3c2)， 23

662a＋2b2＋3c2. 6

∴a＋b－c≤∴

a＋b－c

66≤.

6a2＋2b2＋3c266. 6

故所求的最大值为答案：

66 6

三、解答题

1

7．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)(2＋sinA11

)≥36R2. 2＋sinBsin2C

证明：由正弦定理知： abc＝＝＝2R. sinAsinBsinC

111

(a2＋b2＋c2)(2＋2＋2) sinAsinBsinC≥(

abc2

＋＋)＝(6R)2＝36R2. sinAsinBsinC

111

即(a2＋b2＋c2)(2＋2＋2)≥36R2.

sinAsinBsinC

n－1a1a212

8．设a1、a2、„、an是1、2、„、n的一个排列，求证：＋＋„＋≤＋＋„23na2a3

an－1

＋. an

证明：设b1、b2、„、bn－1是a1、a2、„、an－1的一个排列，且b1111则>>„>且b1≥1，b2≥2，„，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，„，cn－1≤n. c1c2cn－1利用排序不等式，有

an－1b1b2bn－1a1a2＋＋„＋≥＋＋„＋ a2a3anc1c2cn－1n－112

≥＋＋„＋. 23n

∴原不等式成立．

[高考·模拟·预测]

1．函数f(x)＝3x＋31－x的最大值＝________. 解析：3x＋31－x＝3x＋3－3x， 由柯西不等式得(3x＋3－3x)2 ≤(12＋12)[(3x)2＋(3－3x)2]＝6， ∴3x＋3－3x

≤1＋1·3x＋3－3x＝6.

1

当且仅当3x＝3－3x即x＝时等号成立．

2答案：6

2．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：由柯西不等式得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9， 由题意|a－1|≥3， ∴a≥4或a≤－2. 答案：a≥4或a≤－2

222

3．已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正数，求证：＋＋≥9.

a＋bb＋cc＋a111

证明：左边＝[2(a＋b＋c)](＋＋) a＋bb＋cc＋a111

＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)

a＋bb＋cc＋a≥(1＋1＋1)2＝9

(或＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](

111＋＋) a＋bb＋cc＋a

a＋ba＋bb＋cb＋cc＋ac＋a＝3＋＋＋＋＋＋ b＋cc＋aa＋bc＋aa＋bb＋c≥3＋2＋2∴

a＋bb＋c

·＋2b＋ca＋bb＋cc＋a

·＝9)， c＋ab＋c

a＋bc＋a

· c＋aa＋b

222＋＋≥9. a＋bb＋cc＋a

4．已知实数m，n>0.

a2b2a＋b

(1)求证：＋≥；

mnm＋n

291

(2)求函数y＝＋〔x∈(0，)〕的最小值．

x1－2x2(1)证明：因为m，n>0，利用柯西不等式， a2b2

得(m＋n)(＋)≥(a＋b)2，

mn

2

a2b2a＋b所以＋≥.

mnm＋n

2

292232

(2)解：由(1)，函数y＝＋＝＋ x1－2x2x1－2x2＋32

≥＝25， 2x＋1－2x

2911

所以函数y＝＋〔x∈(0，)〕的最小值为25，当且仅当x＝时取得．

x1－2x25