高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数(完整资料).doc

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课 时 授 课 计 划

课

次序号： 01

一、课 题：§1.1 映射与函数 二、课 型：新授课

三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；

2.理解函数的概念，了解函数的四种特性； 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念； 4.熟悉基本初等函数的性质及其图形； 5.会建立简单实际问题的函数关系式．

四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.

教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.

五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．

六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导

委员会编， 高等教育出版社；

2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业

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大学出版社．

七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1） 八、授课记录：

授课日期 班 次 九、授课效果分析：

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数

高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.

一、集合 1. 集合的概念

集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．

通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，

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则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作aA（或aA）．

含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程x210的实根组成的集合是空集．

集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N{1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A记作

A {x｜x具有性质p（x）}．

例如，正整数集N也可表示成N{n｜n 1，2，3，…}； 又如 A{（x，y）｜x2 y21，x，y为实数}表示xOy平面单位圆周上点的集合．

2. 集合的运算

设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A B（或B A）；若A B，且有元素a∈b，但a A，则说A是B的真子集，记作A B．对任何集A，规定A．若A B，且BA，则称集A与B相等，记作AB．

由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即

A∪B{x｜x∈A或x∈B}．

由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即

A∩B{x｜x∈A且x∈B}．

由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\\B，即

A\\B{x｜x∈A但x B}．

如图11所示阴影部分．

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图11

在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集．．X中的任何集A关于X的差集X\\A称为A的补集（或余集），记作 Ac．

集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:

设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立： （1）交换律A∪BB∪A，A∩BB∩A； （2）结合律（A∪B）∪CA∪（B∪C），

（A∩B）∩CA∩（B∩C）；

（3）分配律（A∪B）∩C（A∩C）∪（B∩C），

（A∩B）∪C（A∪C）∩（B∪C）， （A\\B）∩C（A∩C）\\（B∩C）；

（4）幂等律A∪AA，A∩AA； （5）吸收律A∪A，A∩．

设Ai（i1，2，…）为一列集合，则下列法则成立：

（1）若AiC（i（2）若AiC（i1，2，…），则1，2，…），则

ci1i1

AiC； AiC．

设X为基本集，Ai（iAii11，2，…）为一列集合，则

Aii1c，

Aii1c

i1Aci．

3. 区间与邻域 （1） 区间

设a和b都是实数，将满足不等式a＜x＜b的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b）．即（a，b）{x｜a＜x＜b}，a和b称为开区间（a，b）的端点，这里a （a，b）且b （a，b）．

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类似地，称数集［a，b］{x｜a≤x≤b}为闭区间，a和b也称为闭区间［a，b］的端点，这里a∈［a，b］且b∈［a，b］．

称数集［a，b）{x｜a≤x＜b}和（a，b］{x｜a＜x≤b}为半开半闭区间．

以上这些区间都称为有限区间． 数b－a称为区间的长度． 此外还有无限区间：

（∞，∞）{x｜∞＜x＜

∞}R，

（∞，b］{x｜∞＜x≤b}， （∞，b）{x｜∞＜x＜b}， ［a，∞）{x｜a≤x＜∞}， （a，∞）{x｜a＜x＜∞}，

等等．这里记号“∞”与“∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”． （2） 邻域

设x0是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集 {x｜x0δ＜x＜x0δ}为点x0的δ邻域，记作U（x0，δ）．称点x0为这邻域的中心，δ为这邻域的半径．（如图12）．

图12

o称U（x0，δ）{x0}为x0的去心δ邻域，记作U(x0,δ)0＜｜xx0｜＜δ},

oo{x｜

记U( x0,δ){x｜x0δ＜x＜x0}, U(x0,δ){x｜x0＜x＜x0δ},它们分别称为x0的去心左δ邻域和去心右δ邻域．当不需要指出邻域的半径时，我们常用U（x0），U(x0)分别表示x0的某邻域和x0的某去心邻域。

二、映射 1．映射的定义

定义1 设A，B是两个非空的集合，若对A中的每个元素

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o

x，按照某种确定的法则f，在B中有惟一的一个元素y与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f：A→B，

称y为x在映射f下的像，x称为y在映射f下的原像． 集合A称为映射f的定义域，A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域，记作Rf 或f（A），即

Rf = f (A){y｜yf(x),x∈A}．

定义中x的像是惟一的，但y的原像不一定惟一，且f（A）B．

映射概念中的两个基本要素是定义域和对应法则．定义域表示映射存在的范围，对应法则是映射的具体表现．

例1 设A表示某高校大学一年级学生所构成的集合，用一种方法给每一个学生编一个学号，B表示该校一年级学生学号的集合，f表示编号方法，于是确定了从A到B的一个映射f∶A→B．

例2 设A{1，2，…，n，…}，B{2，4，…，2n，…}． 令 f(x)=2x，x∈A， 则f是一个从A到B的映射．

例3 设A［0，1］，B{（x，y）｜yx，x∈A}，如图13所示．令f∶x｜→（x，x），x∈A，

则f是一个从A到B的映射．

图13

设有映射f∶A→B，若B f（A）{f（x）｜x∈A}，则称f是满射．若f将A中不同的元素映射到B中的像也不同，即若x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠ f(x2),则称f是单射．若f既是满射又是单射，则称f是从A到B的一一映射．若A与B之间存在一一映射，则称A与B是一一对应的．上面的例1，例2与例3的两个集合都是一一对应的．

2. 复合映射

定义2 设有映射g∶A→B，f∶B→C，于是对x∈A有

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gfx］u g（x）y f（u） f［g（x）

∈C．

这样，对每个x∈A，经过u∈B，有惟一的y∈C与之对应，因此，又产生了一个从A到C的新映射，记作fg∶A→C，即（fg）（x）f［g（x）］，x∈A，

称fg为f与g的复合映射,如图14所示．

图1

3. 逆映射

4

定义3 设有映射f∶A→B，Bf（A），若存在一个映射g∶B→A，对每个y∈B，通过g，有惟一的x∈A与之对应，且满足关系f（x）y，则称g是f的逆映射，记作gf 1．

若映射f：A→B是一一映射，则f必存在一个从B到A的逆映射f 1．

三、函数 1. 函数的概念

定义4 设A，B是两个实数集，将从A到B的映射f：A→B称为函数，记作y f（x），

其中x称为自变量，y称为因变量，f（x）表示函数f在x处的函数值，A称为函数f的定义域，记作Df；f（A）{y｜yf（x），x∈A}B称为函数f的值域，记作Rf．

通常函数是指对应法则f，但习惯上用“y f（x），x∈A”表示函数，此时应理解为“由对应关系yf（x）所确定的函数

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f ”．

从几何上看，在平面直角坐标系中，点集{（x，y）｜yf（x），x∈Df}称为函数yf（x）的图像（如图15所示）．函数yf（x）的图像通常是一条曲线，yf（x）也称为这条曲线的方程．这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨．

图15

例４ 求函数y4-x2

1的定义域． x1解 要使数学式子有意义，x必须满足

x2, x>1.4-x20, x-1>0 , 即

由此有1＜x≤2， 因此函数的定义域为（1，2］．

有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式

来表示对应法则，称这种函数为分段函数．下面给出一些今后常用的分段函数．

例５ 绝对值函数 y（∞，

∞），值域Rf｜x｜

 的定义域Dfx,x<0∞］，如图16所示．

（

∞，

x,x0,［0，

例６ 符号函数 ysgnx1,x<0,0,x0,的定义域Df1,x>0∞），值域Rf{1，0，1}，如图1－7所示．

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图1-6

图1-7

例７ 取整函数y［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数．例如，［

［0］0，［2］1，［π］3等等．函数y［x］的定义域Df（∞，∞），值域Rf{整数}．一般地，y ［x］ n，n≤x＜n1，n0，±1,±2,…,如图1-8所示．

1］31，

2. 复合函数与反函数 (1)复合函数

图1-8

定义5 设函数yf(u)的定义域为Df，值域为Rf；而函数

值域为RgDf，则对任意xDg，通过ug(x)ug(x)的定义域为Dg，

有惟一的uRgDf与x对应，再通过yf(u)又有惟一的yRf与u对应．这样，对任意xDg，通过u，有惟一的yRf与之对应．因此y是x的函数，称这个函数为yf(u)与ug(x)的复合函数，记作

y(fg)(x)f[g(x)]，xDg，

u称为中间变量．

两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形． 例如，yxμalogx（a＞0且a≠1）可看成由指数函数y au与uμlogax复合而成．

a例８ 设f（x）

x（x≠x11）,求f（f（f（x）））

解 令yf(w),wf(u),uf(x)，则yf（f（f（x）））是通过

两个中间变量w和u复合而成的复合函数，因为

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xx1xx1wf(u)yf(w)uu1ww111x，x≠2x112；

x2x1x2x1所以 f（f（f（x）））

（2）反函数

x，x≠3x1x,x≠3x11, 1,

21， 31． 3定义6 设A，B为实数集，映射f：A→B的逆映射f 1称为yf（x）的反函数．即：若对每个y∈B，有惟一的x∈A，使yf（x），则称x也是y的函数，记作f 1，即xf 1（y），并称它为函数yf（x）的反函数，而yf（x）也称为反函数xf 1（y）的直接函数．

从几何上看，函数yf（x）与其反函数xf 1（y）有同一图像．但人们习惯上用x表示自变量，y表示因变量，因此反函数xf 1（y）．常改写成yf 1（x）．今后，我们称yf 1（x）为yf（x）的反函数．此时，由于对应关系f 1未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数yf 1（x）与直接函数yf（x）的图像关于直线yx对称，如图 1 9所示．

图1 9

值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数yx2的定义域为（∞，∞），值域为［0，∞），但对每一个y∈（0，∞），有两个x值即x1y和x2y与之对应，因此x不是y的函数，从而yx2不存在反函数．事实上，由逆映射存在定理知，若f是从Df到Rf的一一映射，则f才存在反函数f 1．

例９ 设函数f(x1)【最新整理，下载后即可编辑】

x（x≠x11）,求f1(x1)．

解 函数yf(x1)可看成由yf（u），ux1复合而成．所

1

求的反函数yf1(x1)可看成由yf （u），ux1复合而成．因为 f（u）即 y（u）

xu1，u≠0,

x1uu1，从而，u（y1）u1，u1，所以 1y yf 1

1， 1uf1(x1)11(x1)因此

1，x≠0． x3. 函数的几种特性 (1) 函数的有界性

定义7 设函数f(x)的定义域为Df，数集XDf，若存在某个常数K1（或K2），使得对任一xX，都有

f(x)K1（或f(x)K2），

K2）则称函数f(x)在X上有上界（或有下界），常数K（或称为f(x)1在X上的一个上界（或下界），否则，称f(x)在X上无上界（或无下界）．

若函数f(x)在X既有上界又有下界，则称f(x)在X上有界，否则，称f(x)在X上无界．

易知，函数f(x)在X上有界的充要条件是：存在常数M＞0，使得对任一xX，都有

f(x)M ．

例如，函数ysinx在其定义域（∞，∞）内是有界的，因为对任一x∈（

∞，∞）都有sinx1，函数y在（0，1）

1x

内无上界，但有下界．

从几何上看，有界函数的图像界于直线yM之间．

(2) 函数的单调性

定义8 设函数f(x)的定义域为Df，数集IDf，若对I中的任意两数x1，x2（x1＜x2），恒有 f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）， 则称函数yf(x)在I上是单调增加（或单调减少）的．若上述不

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等式中的不等号为严格不等号时，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的．单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数，如图1－10所示．

图1－10

例如，函数f(x)x3在其定义域（∞，∞）内是严格单调增加的；函数f(x)cotx在（0，π）内是严格单调减少的．

从几何上看，若yf(x)是严格单调函数，则任意一条平行于x轴的直线与它的图像最多交于一点，因此yf(x)有反函数．

(3) 函数的奇偶性

定义9 设函数f(x)的定义域Df关于原点对称（即若xDf，则必有xDf）．若对任意的xDf，都有 f(x)f(x)（或

， f(x)f(x)）

则称f（x）是Df上的奇函数（或偶函数）．

奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y轴，如图1－11所示．

图1－11

例10 讨论函数f（x）ln（x1x2）的奇偶性．

解 函数f（x）的定义域（∞，∞）是对称区间，因为

f（x）ln（x（x1x2）1x2）ln（

1x1x2）ln

f（x）

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所以，f（x）是（∞，∞）上的奇函数．

(4) 函数的周期性

定义10 设函数f(x)的定义域为Df，若存在一个不为零的常数T，使得对任意xDf，有（xT）Df，且f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，其中使上式成立的常数T称为f(x)的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数T（如果存在的话）．

例如，函数f(x)sinx的周期为2π；f(x)tanx的周期是π． 并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷函数

1,x为有理数， D(x)0,x为无理数任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期． 4. 函数应用举例

例11 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算．如从上海到某地每千克以0．15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0．25元收费．试求上海到该地的行李费y（元）与重量x（千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像．

解 当0＜x≤50时，y0．15x;当x＞50时，y0．15×500．25(x50)．所以函数关系式为

y0.15x,0x50;这是一个分段函数，其图像如图7.50.25(x50),x50.1－12所

示．

图1－12

例12 一打工者，每天上午到培训基地A学习，下午到超市B工作，晚饭后再到酒店C服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃．A，B，C位于一条平直的马路一侧，

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且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km，酒店与超市相距5km，问该打工者在这条马路的A与B之间何处找一宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短．

解 如图113所示，设所找宿舍D距基地A为x（km），用f（x）表示每天往返的路程函数．

图113

当D位于A与C之间，即0≤x≤3时，易知

f（x）x8（8x）2（3x）

222x，

当D位于C与B之间,即3≤x≤8时，则

f(x)x8(8x)2(x3)102x．

所以

f(x)

22x,0x3; 102x,3x8.这是一个分段函数，如图114所示,在［0,3］上,f(x)是单调减少,在［3,8］上,f(x)是单调增加．从图像可知,在x3处,函数值最小．这说明,打工者在酒店C处找宿舍,每天走的路程最短．

图114 图1

15

5. 基本初等函数 (1) 幂函数

函数 yxμ（μ是常数）称为幂函数．

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幂函数yxμ的定义域随μ的不同而异，但无论μ为何值，函数在（0，∞）内总是有定义的．

当μ＞0时，yxμ在［0，∞）上是单调增加的，其图像过点（0，0）及点（1，1），图116列出了μ12，μ1，μ2时幂函数在第一象限的图像．

图1

1

16 图

∞）上是单调减少的，其图像

1，μ217

当μ＜0时，yxμ在（0，

通过点（1，1），图117列出了μ 1，μ 2

时幂函数在第一象限的图像．

(2) 指数函数

函数 yax（a是常数且a＞0，a≠1）称为指数函数．

指数函数yax的定义域是（且总在x轴上方．

当a＞1时,yax是单调增加的;当0＜a＜1时,yax是单调减少的,如图118所示．

以常数e2．71828182…为底的指数函数 yex 是科技中常用的指数函数．

(3) 对数函数

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图118

∞，∞），图像通过点(0,1),

指数函数yax的反函数，记作yloga x（a是常数且a＞0,a≠1),称为对数函数．

对数函数ylogax的定义域为（0，∞），图像过点（1，0）．当a＞1时，ylogax单调增加；当0＜a＜1时，ylogax单调减少，如图119所示．

科学技术中常用以e为底的对数函数ylogex，它被称为自然对数函数，简记作ylnx．

图119

另外以10为底的对数函数ylog10x也是常用的对数函数，简记作ylgx．

(4) 三角函数

常用的三角函数有 正弦函数ysinx； 余弦函数ycosx； 正切函数ytanx； 余切函数ycotx，

其中自变量以弧度作单位来表示．

它们的图形如图120，图121，图122和图123所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线．

图120

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图121

图1

1

22 图

23

正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都为（∞,∞）,值域都为［1，1］．正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．

由于cosxsin（x

π2π），所以，把正弦曲线2ysinx沿x轴

向左移动个单位，就获得余弦曲线ycosx．

正切函数ytanx

sinx的定义域为 cosx2D（f）{x｜x∈R，x≠(2n1) π,n为整

数}．

余切函数ycotx

cosx的定义域为 sinxD（f）{x｜x∈R，x≠nπ,n为整数}．

正切函数和余切函数的值域都是（∞，∞），且它们都

是以π为周期的函数，它们都是奇函数．

另外，常用的三角函数还有

正割函数ysecx； 余割函数ycscx． 它们都是以2π为周期的周期函数，且

secx

(5) 反三角函数

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1； cosx cscx

1． sinx

常用的反三角函数有

反正弦函数 yarcsinx（如图124）； 反余弦函数 yarccosx（如图125）； 反正切函数 yarctanx（如图126）； 反余切函数 yarccotx（如图127）．

它们分别称为三角函数ysinx，ycosx，ytanx和y反函数．

cotx的

图1

24 图1

25

图1

1

26 图

27

这四个函数都是多值函数．严格来说，根据反函数的概念，三角函数ysinx，ycosx，ytanx,ycotx在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数y，有多个x与之对应．但这些函数在其定义域的每一个单调增加（或减少）的子区间上存在反函数．例如，ysinx在闭区间［

存在反函数，称此反函数为反正弦函数arcsinx的主值，记作yarcsinx．通常我们称yarcsinx为反正弦函数．其定义域为

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ππ, ］上单调增加，从而22

［1,1］,值域为［

ππ, ］．反正弦函数22yarcsinx在［1,1］

上是单调增加的,它的图像如图124中实线部分所示．

类似地,可以定义其他三个反三角函数的主值yarccosx,yarctanx和yarccotx，它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数．

反余弦函数yarccosx的定义域为［1，1］，值域为［0，π］，在［1，1］上是单调减少的，其图像如图125中实线部分所示．

反正切函数yarctanx的定义域为（∞,∞）,值域为（

ππ，），在（22∞，∞）上是单调增加的，其图像如图126

中实线部分所示．

反余切函数yarccotx的定义域为（∞，∞），值域为（0，π），在（∞，∞）上是单调减少的，其图像如图127中实线部分所示．

以上五种类型的函数统称为基本初等函数. 6. 初等函数

定义11 由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如，y3x2sin4x，yln（x 1x2），yarctan2x3 lg(x1)

sinx等等都是初等函数．分段函数是按照定义域的不同子集用不x21同表达式来表示对应关系的，有些分段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已．例如，绝对值函数也可以表示成y示成

｜x｜ x；函数f（x）

21,xa, 0,xa也可表

f(x) (1

12(xa)2xa)．这两个函数也是初等函数．

7. 双曲函数与反双曲函数 (1) 双曲函数

双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数．定义

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如下：

双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切

exexshx(x)

2ex+exchx(x)

2ex- exshxthx xx (x)

eechxex+ exchxcthx xx (x≠0)

eeshx图128 图1

其图像如图128和图129所示．

双曲正弦函数的定义域为（∞，∞），它是奇函数，其图像通过原点（0，0）且关于原点对称．在（∞，∞）内单调增加．

双曲余弦函数的定义域为（∞，∞），它是偶函数，其图像通过点（0，1）且关于y轴对称，在（∞，0）内单调减少；在（0，∞）内单调增加．

双曲正切函数的定义域为（∞，∞），它是奇函数，其图像通过原点（0，0）且关于原点对称．在（∞，∞）内是单调增加的．

双曲余切函数的定义域为{x｜x≠0,x∈R},它是奇函数，其图像关于原点对称．

由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立．

sh(x±y)shxchy±chxshy, ch(x±y)

chxchy±shxshy,

sh2x2shxchx,

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29

ch2xch2xsh2x12sh2x2ch2x1, ch2xsh2x1．

(2) 反双曲函数

双曲函数的反函数称为反双曲函数，yshx,ychx和ythx的反函数，依次记为

反双曲正弦函数 yarshx， 反双曲余弦函数 yarchx， 反双曲正切函数 yarthx．

反双曲正弦函数yarshx的定义域为（∞，∞），它是奇函数，在（∞，∞）内单调增加，由yshx的图像，根据反函数作图法，可得yarshx的图像（图130）．利用求反函数的方法，不难得到

yarshxln（x． x21）反双曲余弦函数yarshx的定义域为［1，∞），在［1，∞）上单调增加，如图131所示，利用求反函数的方法，不难得到

yarchxln（x． x21）反双曲正切函数yarthx的定义域为（1，1），它在（1，1）内是单调增加的．它是奇函数，其图像关于原点（0，0）对称，如图132所示．容易求得

yarthx12ln1x．

1x

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图1

图1

32 课堂总结

30 图131

本节复习了中学学过的函数有关知识，介绍了复合函数、反函数、基本初等函数与初等函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习做好准备.

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