一、选择题A卷（共100分） 1．计算a6÷a3结果正确的是（ ） A．a2
B．a3
C．a﹣3 D．a8
2．以下各组线段为边不能组成三角形的是（ ） A．4，3，3 B．1，5，6 C．2，5，4 D．5，8，4 3．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校要他返校的紧急电话，李老师急忙赶回学校、下面四个图象中，描述李老师与学校距离的图象是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠2的关系是（ ）
A．互余 B．对顶角 C．互补 D．相等
6．某人的头发的直径约为85微米，已知1微米=米；则该人头发的直径用科学记数法表示正确的是（ ）米． A．×105 B．×10﹣5
C．85×10﹣8 D．×10﹣8
7．下列事件属于不确定的是（ ） A．太阳从东方升起
B．等边三角的三个内角都是60° C．|a|＜﹣1
D．买一张彩票中一等奖
8．如图所示，已知AB∥CD，∠B=140°，∠D=150°，求∠E的度数．（ ） A．40° B．30° C．70° D．290° 9．下面的说法正确的个数为（ ） ①若∠α=∠β，则∠α和∠β是一对对顶角；②若∠α与∠β互为补角，则∠α+∠β=180°；③一个角的补角比这个角的余角大90°；④同旁内角相等，两直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件： （1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F． 以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（ ） A．（1）（5）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3）（4） D．（4）（6）（1） 二、填空题 11．计算：（x+2y）（x﹣2y）= ． 12．在一不透明的口袋中有4个为红球，3个篮球，他们除颜色不同外其它完全一样，现从中任摸一球，恰为红球的概率为 ． 13．如图在中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC= 度． 14．已知x2+mx+25是完全平方式，则m= ． 三、解答下列各题． 15．计算下列各题 （1）（﹣2x2y）2•（2）
．
16．先简化、再求值：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2÷2x，其中x=﹣2，y=．
17．如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当它停止转动时，求： （1）指针指向4的概率； （2）指针指向数字是奇数的概率； （3）指针指向数字不小于5的概率．
19．已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD°，交AB与H，∠AGE=50°，求∠BHF的度数．
20．一根长60厘米的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长厘米．
（1）正常情况下，当挂着x千克的物体时，弹簧的L长度是多少 （2）利用（1）的结果完成下表： 物体的质量x（千克） 1 2 3 4 弹簧的长度L（厘米）
（3）当弹簧挂上物体后弹簧的长度为78厘米时，弹簧上挂的物体重多少千克
21．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE． （1）说明BD=CE； （2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数； （3）若如图2放置，上面的结论还成立吗请简单说明理由． B卷一、填空题 22．已知：x2﹣5x﹣14=0，则（x﹣1）（3x﹣1）﹣（x+3）2+5= ． 23．如图，从给出的四个条件： （1）∠3=∠4； （2）∠1=∠2； （3）∠A=∠DCE； （4）∠D+∠ABD=180°． 恰能判断AB∥CD的概率是 ． 24．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ． 25．如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC=80°，则∠CAP= ． 26．如图，在△ABC中，BD是角平分线，AB=AC=5，BC=8，过A作AE⊥BD交于F，交BC于E，连结DE，则S△ABF：S△CDE= ． 二、解答题（共30分） 27．如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S与该日下午时间t之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）填空：乙是下午 点出发的．乙骑摩托车的速度是 千米/时； （2）分别写出甲、乙所行驶的路程S甲、S乙与该日下午时间t之间的关系式； （3）乙在什么时间追上甲 28．阅读理解：“速算”是指在特定的情况下用特定的方方进行计算，它有很强的技巧性．如：末位数字相同，手位数字和为十的两位数想乘，它的方法是：两首位相乘再加上末位得数作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位数则十位补0），前积后面天上后积就是得数． 如：84×24=100×（8×2+4）+42=2016 42×62=100×（4×6+2）+22=2604 （1）仿照上面的方法，写出计算77×37的式子 77×37= = ； （2）如果分别用a，b表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含a、b、c的式子表示上面的规律，并说明其正确性； （3）猜想4918×5118怎样用上面的方法计算写出过程．并仿照上面的方法推导出：计算前两位数和为一百，后两位相同的两个四位数相乘的方法． 29．（1）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF= 60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ； （2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 2014-2015学年四川省成都市金牛区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题A卷（共100分） 1．计算a6÷a3结果正确的是（ ） A．a2 B．a3 C．a﹣3 D．a8 【考点】同底数幂的除法． 【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用同底数幂的除法法则计算即可得到结果． 【解答】解：a6÷a3=a3， 故选B．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．以下各组线段为边不能组成三角形的是（ ） A．4，3，3 B．1，5，6 C．2，5，4 D．5，8，4 【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【解答】解：A、∵3+3＞4，∴能组成三角形，故本选项错误； B、∵1+5=6，∴不能组成三角形，故本选项正确； C、∵2+4＞5，∴3，4，5能组成三角形，故本选项错误； D、∵5+5＞8，∴能组成三角形，故本选项错误． 故选B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键．
3．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
4．李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校要他返校的紧急电话，李老师急忙赶回学校、下面四个图象中，描述李老师与学校距离的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象． 【专题】应用题．
【分析】根据题意可知没有接到电话前，距离是增加的，接到电话后距离开始减少，直至到学校即距离为0，并且返回时用的时间少．
【解答】解：李老师从学校出发离校，接到电话前，距离是随着时间的增加而增加的，接到电话后，开始返校，距离是随着时间的增加而减少的，故舍去A、B选项，又返回时是急忙返校，所以与来时同样的距离，返回时用的时间较少，所以C正确． 故选：C．
【点评】本题考查的是实际生活中函数图象变化的应用，根据题意判断图形的大致变化，题目比较简单．
5．如图，直线AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠2的关系是（ ）
A．互余 B．对顶角 C．互补 D．相等 【考点】垂线；余角和补角；对顶角、邻补角．
【分析】根据垂直的定义可知∠AOE=90°，所以∠1+∠2=90°，再根据互余的定义可得答案． 【解答】解：∵EO⊥AB于O， ∴∠AOE=90°，
∴∠1+∠2=90°， ∴∠1与∠2互余， 故选：A．
【点评】本题主要考查了互余以及垂直的定义，比较简单．
6．某人的头发的直径约为85微米，已知1微米=米；则该人头发的直径用科学记数法表示正确的是（ ）米． A．×105 B．×10﹣5
C．85×10﹣8 D．×10﹣8
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：85×= 085=×10﹣5， 故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．下列事件属于不确定的是（ ） A．太阳从东方升起
B．等边三角的三个内角都是60° C．|a|＜﹣1
D．买一张彩票中一等奖 【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【解答】解：太阳从东方升起是必然事件，A不正确； 等边三角的三个内角都是60°是必然事件，B不正确； |a|＜﹣1是不可能事件，C不正确； 买一张彩票中一等奖是随机事件，D正确； 故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．如图所示，已知AB∥CD，∠B=140°，∠D=150°，求∠E的度数．（ ）
A．40° B．30° C．70° D．290° 【考点】平行线的性质．
【分析】过点E作EF∥AB，再由平行线的性质求出∠BEF与∠DEF的度数，进而可得出结论． 【解答】解：过点E作EF∥AB， ∵∠B=140°，
∴∠BEF=180°﹣140°=40°． ∵AB∥CD， ∴CD∥EF． ∵∠D=150°，
∴∠DEF=180°﹣150°=30°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=40°+30°=70°． 故选C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，解答此类问题时要注意作出平行线，利用平行线的性质求解．
9．下面的说法正确的个数为（ ）
①若∠α=∠β，则∠α和∠β是一对对顶角；②若∠α与∠β互为补角，则∠α+∠β=180°；③一个角的补角比这个角的余角大90°；④同旁内角相等，两直线平行． A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】平行线的判定；余角和补角；对顶角、邻补角．
【分析】根据相关的定义或定理，逐个进行判断，可知有2个是正确的，故选B． 【解答】解：①错误，不符合对顶角的定义． ②正确，满足补角的定义． ③正确，一个角的补角减去这个角的余角等于（180°﹣α）﹣（90°﹣α）=90°． ④错误，同旁内角互补，两直线平行． 故选B． 【点评】此题综合运用了对顶角、补角余角的定义和平行线的判定方法． 10．如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件： （1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F． 以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（ ） A．（1）（5）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3）（4） D．（4）（6）（1） 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、（1）（5）（2）符合“SAS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误； B、（1）（2）（3）符合“SSS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误； C、（2）（3）（4），是边边角，不能判断△ABC与△DEF全等，故本选项正确； D、（4）（6）（1）符合“AAS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误． 故选C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 二、填空题 11．计算：（x+2y）（x﹣2y）= x2﹣4y2 ． 【考点】平方差公式． 【分析】符合平方差公式结构，直接利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）=x2﹣4y2． 故答案为：x2﹣4y2． 【点评】本题重点考查了用平方差公式进行整式的乘法运算．平方差公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本题是一道较简单的题目． 12．在一不透明的口袋中有4个为红球，3个篮球，他们除颜色不同外其它完全一样，现从中任摸一球，恰为红球的概率为 【考点】概率公式． 【分析】先求出袋子中球的总个数及红球的个数，再根据概率公式解答即可． 【解答】解：袋子中球的总数为4+3=7，而红球有4个， 则从中任摸一球，恰为红球的概率为． 故答案为． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 13．如图在中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC= 30 度． ． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】由AB=AC，∠A=40°，即可推出∠C=∠ABC=70°，由垂直平分线的性质可推出AD=BD，即可推出∠A=∠ABD=40°，根据图形即可求出结果． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠C=∠ABC=70°， ∵AB的垂直平分线MN交AC于D， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=40°， ∴∠DBC=30°． 故答案为30°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角的计算，关键在于根据相关的性质定理推出∠ABC和∠ABD的度数． 14．已知x2+mx+25是完全平方式，则m= ±10 ． 【考点】完全平方式． 【分析】根据a2±2ab+b2=（a±b）2，x2+mx+25=x2+mx+52，可得m=±2×5=±10，据此解答即可． 【解答】解：∵x2+mx+25=x2+mx+52是完全平方式， ∴m=±2×5=±10． 故答案为：±10． 【点评】此题主要考查了完全平方式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确计算口诀：首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）；解答此题还要注意m有两个值． 三、解答下列各题． 15．计算下列各题 （1）（﹣2x2y）2•（2） ． 【考点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】计算题；整式． 【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果； （2）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=4x4y2•（2）原式=﹣9﹣8+1=﹣16． 【点评】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． xy2+x3y2=2x5y4+x3y2；
16．先简化、再求值：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2÷2x，其中x=﹣2，y=． 【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2÷2x =x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣
=﹣2x2+2xy+5y2﹣
，
当x=﹣2，y=时，原式=﹣2×（﹣2）2+2×（﹣2）×+5×（）2﹣
=﹣8﹣2++=
﹣8．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
17．如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当它停止转动时，求： （1）指针指向4的概率； （2）指针指向数字是奇数的概率； （3）指针指向数字不小于5的概率．
【考点】概率公式．
【分析】（1）用数字4的个数除以总数6即可； （2）用奇数的个数除以总数6即可； （3）用不小于5的数的个数除以总数6即可．
【解答】解：（1）转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6，有1个扇形上是4，
故若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向4的概率为；
（2）转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6，有3个扇形上是奇数， 故若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向数字是奇数的概率为=；
（3）转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6，指针指向数字不小于5的扇形有5、6，
故若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向数字不小于5的概率为．
【点评】本题主要考查了概率的求法，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
19．已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD°，交AB与H，∠AGE=50°，求∠BHF的度数．
【考点】平行线的性质．
【分析】由AB∥CD得到∠AGE=∠CFG，再由FH平分∠EFD，∠AGE=50°，由此可以先后求出∠GFD，∠HFD，∠BHF． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠CFG=∠AGE=50°， ∴∠GFD=130°； 又∵FH平分∠EFD， ∴∠HFD=∠EFD=65°； ∴∠BHF=180°﹣∠HFD=115°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，此题涉及到角平分线的性质等知识，在解答此类问题时要灵活应用．
20．一根长60厘米的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长厘米．
（1）正常情况下，当挂着x千克的物体时，弹簧的L长度是多少 （2）利用（1）的结果完成下表： 物体的质量x（千克） 1 2 3 4 弹簧的长度L（厘米）
（3）当弹簧挂上物体后弹簧的长度为78厘米时，弹簧上挂的物体重多少千克 【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据题意可得L=60+，（2）把x=1，2，3，4代入函数式可求L的值．（3）把L=78代入函数式可求挂的物体重x的值． 【解答】解：（1）L=60+； （2）
物体的质量x（千克） 1 2 3 4 弹簧的长度L（厘米）
（3）把L=78代入（1）得， 78=60+， 解得x=12．
答：所挂物体重12千克．
【点评】本题考查一次函数解决实际问题，根据题意列出函数式代入自变量可求函数值，代入函数值可求自变量．
21．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD=CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗请简单说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE；
（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF=180°﹣∠DBA﹣∠BDA=∠DAB=90°；
（3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°．
【解答】解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE， ∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴BD=CE；
（2）∵△ADB≌△AEC， ∴∠ACE=∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF 又∵∠CDF=∠BDA
∴∠BFC=180°﹣∠DBA﹣∠BDA
=∠DAB =90°； （3）BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下： ∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形 ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°， ∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS） ∴BD=CE，∠ACE=∠DBA， ∴∠BFC=∠CAB=90°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质． B卷一、填空题 22．已知：x2﹣5x﹣14=0，则（x﹣1）（3x﹣1）﹣（x+3）2+5= 25 ． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】求出x2﹣5x=14，先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：∵x2﹣5x﹣14=0， ∴x2﹣5x=14， ∴（x﹣1）（3x﹣1）﹣（x+3）2+5 =3x2﹣x﹣3x+1﹣x2﹣6x﹣9+5 =2x2﹣10x﹣3 =2（x2﹣5x）﹣3 =2×14﹣3 =25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想． 23．如图，从给出的四个条件： （1）∠3=∠4； （2）∠1=∠2； （3）∠A=∠DCE； （4）∠D+∠ABD=180°． 恰能判断AB∥CD的概率是 ． 【考点】概率公式；平行线的判定． 【分析】由恰能判断AB∥CD的有（2），（3），（4），直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵恰能判断AB∥CD的有（2），（3），（4）， ∴恰能判断AB∥CD的概率是：． 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式的应用以及平行线的判定．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 65°或25° ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理． 【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论． 【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°； 如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD， 故∠BAD=50°， 所以∠B=∠C=25° 因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°． 故填25°或65°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论． 25．如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC=80°，则∠CAP= 10 ． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案． 【解答】解：延长BA，作PN⊥BD于点N，PF⊥BA于点F，PM⊥AC于点M， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=80°， ∴∠ABP=∠PBC=（x﹣80）°， ∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣80°）﹣（x°﹣80°）=160°， ∴∠CAF=20°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP=∠PAC=10°． 故答案为10°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识．注意根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．
26．如图，在△ABC中，BD是角平分线，AB=AC=5，BC=8，过A作AE⊥BD交于F，交BC于E，连结DE，则S△ABF：S△CDE= 65/48． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥AC于N，根据等腰三角形的性质得到BM=CM=4，由勾股定理得到AM=××5×3==3，推出△ABF≌△BEF，根据全等三角形的性质得到BE=AB=5，S△ABF=S△ABE=，根据全等三角形的性质得到AD=DE，通过△CEN∽△AMB，求得CN=，于是得到结论． ．EN=，根据勾股定理列方程得到CD=【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、解答题（共30分） 27．如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S与该日下午时间t之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）填空：乙是下午 2 点出发的．乙骑摩托车的速度是 50 千米/时； （2）分别写出甲、乙所行驶的路程S甲、S乙与该日下午时间t之间的关系式； （3）乙在什么时间追上甲 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）由图象可知，乙是下午2点出发，下午3点行驶50km到达B地，可得速度； （2）甲所行驶的路程S甲分1≤t＜2、2≤t≤5两种情况用待定系数法求得，乙所行驶的路程S乙与该日下午时间t之间的关系式用待定系数法求之； （3）乙追上甲即甲、乙二人行驶路程相等，列出方程解之可得． 【解答】解：（1）由图可知，乙是下午2点出发，下午3点到达B地，则乙的速度为：50÷（3﹣2）=50千米/小时； （2）设直线PQ的解析式为：S甲=pt+q，且经过（1，0），（2，20）， ∴，解得：， ∴直线PQ的解析式为：S甲=20t﹣20（1≤t＜2）， 设直线QR的解析式为S甲=at+b，且经过（2，20），（5，50）， ∴，解得：， ∴直线QR的解析式为S甲=10t（2≤t≤5） 故甲所行驶的路程S甲与该日下午时间t之间的关系式为：S甲=设直线MN的解析式为S乙=mt+n，且经过（2，0），（3，50）， ∴，解得：， ∴直线MN的解析式为S乙=50t﹣100（2≤t≤3）； （3）解，得t=， 故乙在下午2：30时追上甲． 故答案为：（1）2，50． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式是关键． 28．阅读理解：“速算”是指在特定的情况下用特定的方方进行计算，它有很强的技巧性．如：末位数字相同，手位数字和为十的两位数想乘，它的方法是：两首位相乘再加上末位得数作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位数则十位补0），前积后面天上后积就是得数． 如：84×24=100×（8×2+4）+42=2016 42×62=100×（4×6+2）+22=2604 （1）仿照上面的方法，写出计算77×37的式子 77×37= 100×（7×3+7）+72 = 2849 ； （2）如果分别用a，b表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含a、b、c的式子表示上面的规律，并说明其正确性；
（3）猜想4918×5118怎样用上面的方法计算写出过程．并仿照上面的方法推导出：计算前两位数和为一百，后两位相同的两个四位数相乘的方法． 【考点】整式的混合运算． 【专题】阅读型．
【分析】（1）仿照以上方法求出原式的值即可；
（2）根据题示规律等式右边为十位数的积与个位数和的100倍加上个位数的平方，列式表示即可，验证可根据整式乘法展开结合十位数字和为10变形可得；
（3）类比（2）中方法4918×5118=10000×（49×51+18）+182，验算过程可将4918×5118写成（49×100+18）（51×100+18）后展开、合并可得，
推广到任意具有相同规律的四位数，分别用a，b表示两个四位数的千位和百位组成的两位数，用c表示两个四位数上个位和十位组成的两位数，且a+b=100，则（100a+c）（100b+c）=10000（ab+c）+c2，验证可参照上述做法．
【解答】解：（1）77×37=100×（7×3+7）+72=2849； （2）（10a+c）（10b+c）=100（ab+c）+c2，其中a+b=10， 证明：左边=100ab+10ac+10bc+c2 =100ab+10c（a+b）+c2 =100ab+100c+c2 =100（ab+c）+c2=右边，
故（10a+c）（10b+c）=100（ab+c）+c2，其中a+b=10，成立； （3）4918×5118=（49×100+18）（51×100+18） =49×51×10000+49×100×18+51×100×18+182 =10000×49×51+100×18×（49+51）+182 =10000×49×51+10000×18+182 =10000×（49×51+18）+182，
即4918×5118=10000×（49×51+18）+182
分别用a，b表示两个四位数的千位和百位组成的两位数，用c表示两个四位数上个位和十位组成的两位数，且a+b=100，
则（100a+c）（100b+c）=10000ab+100ac+100bc+c2
=10000ab+100c（a+b）+c2 =10000ab+10000c+c2 =10000（ab+c）+c2 即（100a+c）（100b+c）=10000（ab+c）+c2． 【点评】本题主要考查整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，主要考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础． 29．（1）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF= 60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 BE+DF=EF ； （2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【考点】全等三角形的应用． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题； （2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证． 【解答】解：（1）EF=BE+DF，证明如下： 在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； 故答案为 EF=BE+DF．
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图2，
在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD，
，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF；
（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=2×（45+60）=210（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．
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