立体几何证明方法汇总

E F

例题：已知如图：平行四边形ABCD中，BC6，正方形ADEF

所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．

（１）求证：GH∥平面CDE；

（２）若CD2,DB42，求四棱锥F-ABCD的体积．

练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。

求证：AC1∥平面CDB1；

D1A1DEABB1CC1_ _ H G_ D _ C

_ B

_ A

2. 如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1，底面

BD1//平面C1DE；边长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：

（2）求三棱锥DD1BC的体积.

3、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD4,DC3，E是PC的中点。 （1）证明：PA//平面BDE；

（2）求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。

例2、 如图, 在矩形ABCD中,AB2BC , P,Q分别为线段AB,CD的中点,

（利用平行四边形） EP⊥平面ABCD.求证: AQ∥平面CEP；

练习：①如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD

P的中点。求证：AF∥平面PCE；

GF②如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PD平面ABCD，M，N分

别是AB，PC中点。求证：MN//平面PAD ③ 如图，已知AB平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角

B

E BAECDA C

F

D

形，AD = DE = 2AB，且F是CD的中点.⑴求证：AF//平面BCE；

④、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：C1O//面

AB1D1．

③比例关系

例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是PB、BC上的点，且

BMBN,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)

PMNC练习：如图，四边形ABCD为正方形，AB=4,AE=2,EF=1.EF//AB，EA平面ABCD，（Ⅱ）若点M在线段AC上，且满足

1CMCA, 求证：EM//平面FBC；

4EFAM④面面平行-线面平行

例题4、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平互

相

垂

直

，

BE//CF

，

BD面

C（Ⅰ）求证：平面ABE//平面CDF BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。

（II）求证：AE//平面DCF；（利用面面平行-线面平练习：1、如图所示，四棱锥PABCD中，底面A方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F，B为PC、PD、BC的中点． （1）求证：；PA//面EFG； （2）求三棱锥PEFG的体积． 2、如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90，

E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点，且CGC1G.

0D行）

CABCD为正

G分别FEC1A1B1 (Ⅰ)求证：CG//平面BEF；

EFCGAB3、如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,

ADCD,AB//CD,CD2AB2AD. 在EC上找一点M,使得BM//平面ADEF,

请确定M点的位置,并给出证明．

4、（2012山东文）如图，几何体EABCD是四棱锥，F △ABD为正三角形，CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE；

(Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点， 求证：DM∥平面BEC.

A

E

M

D

N B

C

例题： 如图，已知四棱锥PABCD。 若底面ABCD为平行四 边形，E为PC的中点，在DE上取点F，过AP和点F的平面与 平面BDE的交线为FG，求证：AP//FG。

证明：连AC与BD，设交点为O，连OE。

练习：1、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：AD//MN；

2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥

P M D N C AB

，

A AB=2。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中

B 点，F明：EF

是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证∥A1D1；

3.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCDBCE，BEEC.

（1） 求证：平面AEC平面ABE；(面面垂直性质)

平面

（2） 点F在BE上，若DE//平面ACF，求

1） 2BF的值。（线面平行的性质 BE例、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的

中点.

求证：平面D1EF∥平面BDG.

练习：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：

（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H.

例题：已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是

C1D1和D1A1上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体

相交于AC，求证：EF//平面ABCD

①菱形的对角线互相垂直：

D1 A1 B1 C1

例题。已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB

的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面。 求证：EF⊥平面GMC．

练习：如图ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长

ADEMFBGCD B C A 方体，求证：（1）BD平面ACC1A （2）BDAC1

②等腰三角形底边的中线垂直底边

例1、 如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90o，

D

C B

A P A A

D

B C

B

APBPAB，PCAC．求证：PCAB；

C

练习：1、在三棱锥A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求证：BCAD

P D C A B ③圆的直径所对的圆周角为直角

例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若AHPC,P 且AH与PC交于H，求证：AH平面PBC. ④利用勾股定理

例4、在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA12，E是侧棱BB1的中点。求证：AE平面A1D1E；

证明：ABCDA1B1C1D1为长方体，

PACD,PA1,PD2,求证：（1）PA平面ABCD

H O A A1D1C1B1B C 练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，EDC（2）求四棱锥P-ABCD的体积.

⑤间接法，用线面垂直的性质定理（lb,blb）

例题：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

pP ABA DD C BDAB60，AB2AD,PD底面ABCD，证明：PABD; 练习1：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3， BC=4，AB=5，AA14，点D是AB的中点。（Ⅰ）求证：ACBC1；

ACB 2aa 练习2： 如图，四边形ABCD为矩形，且BFBC平面ABE，F为CE上的点，平面ACE. 求证：AEBE； 证明：因为BC平面ABE，AE平面ABE，

D C

例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆上不同于F A，BA 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. A1B练习1：如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CE

B

2、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C。

求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD平面BB1C1C.

s

3、如图， ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于K，连结DK， 求证（1）平面SBC⊥平面KBD

K C

A

例1：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD, O为AD中点.，求证:PO⊥平面ABCD；

例2：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD． （1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （2）求证：ADPB；

练习：1、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任

意一点，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若AHPC,PA平面ABC，

D 且AH与PC交于H，求证：平面PAC平面PBC.(3) AH 平面PBC

A

2、在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点. 求证：平面BEF⊥平面PAD

AH O B

C

EDFCP3、如图，正方形ABCD所在平面与以AB为直径的半圆O所在平面ABEF互相B1直线AP⊥平面PBC。垂直，P为半圆周上异于A，B两点的任一点，求证：○

②平面PBC⊥平面APC

2AB，ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥底面2ABC，且，若G、F分别是EC、BD的中点，（Ⅰ）求证：GF//底面ABC； （Ⅱ）求几何体ADEBC的体积V。

4、如图，三角形ABC中，AC=BC=

5、如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，

AB2，ACBC2．等边三角形ADB以AB为轴运E F G B C D1D 动．（Ⅰ）当平面ADB平面ABC时，求CD；

五、体积问题

A 1. 如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。

（1）求证：BD1//平面C1DE； （2）求三棱锥DD1BC的体积.

C1B1A1D练习1：三棱锥PABC中，PAC和PBC都

是边长为2的等边三角形，AB2，O、D分别是AB、PB的中点． （1）求证：（2）求证：平面PAB⊥OD//平面PAC平面ABC；

（3）求三棱锥APBC的体积．

CPEBDAAOBC2、如图,长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11,AD2,E是BC的中点.

(I)求证：平面A1AE平面D1DE； (II)求三棱锥AA1DE的体积.

A1 B1 A B E C C1 D1

3、如图，在四棱锥P-ABCD中，

P

D E

PD垂直于底面ABCD，底面ABCDD

C

是直角梯形， 且

A B

DC//AB,BAD90o,，Ｅ为ＰＡ的中点。（１）如图，若主视方向与AB2AD2DC2PD4（单位：cm）

ＡＤ平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积；（２）证明：DE//平面PBC；

4、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D是这个几何体的棱A1C1上的中点。

（Ⅰ）求出该几何体的体积； （33） （Ⅱ）求证：直线BC1//平面AB1D； (Ⅲ)求证:平面AB1D平面AA1D. 5、的

3

已知某个几何体的三视图如图（主视图弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组

合

体的底部几何体记为ABCDA1B1C1D1，其

C A C1

D A1 中A1B1BA为正方形.（i）求证：A1B平面AB1C1D；（ii）求证：P为棱A1B1上一点，求APPC1的最小值.

六:等体积法求高（距离）：h

如：三棱锥 VFBEC= VBEFC SBECh

11113=SEFCBE

113例题（2010广东文数）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=5a

（1）证明：EBFD （2）求点B到平面FED的距离. 练习1：已知ABC―A1B1C1是正三棱柱，棱长均为5，

E、F分别是AC、A1C1的中点，

（1）求证：平面AB1F∥平面BEC1 （2）求点A到平面BEC1间的距离

A1

2、如图，在四棱锥面ABCD；四边形ABCD是

BCD60，经过AC作与

P F B1 E

C1

PABCD中，PD平

E D 例题

菱形，边长为2，

PD平行的平面交C A F B C A

PB与点E，ABCD的两对角线交点为F．（Ⅰ）求证：ACDE；（Ⅱ）

B 若EF3，求点D到平面PBC的距离．

3、如图4，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，

△PAD是等边三角形，已知BD2AD4，AB2DC25．

P （1）求证：BD平面PAD； （2）求三棱锥APCD的体积．

4．如图，己知BCD中，BCD90，BCCD1,AB平面BCD，

0D A C B ADB600,E,F分别是AC,AD上的动点，且

AEAF==,(0<<1) ACAD （1）求证：不论为何值，总有EF平面ABC; （2）若=,求三棱锥A-BEF的体积．

5、(2012广东文数）如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，AB//CD,PDAD，E是PB中点，

F是DC上的点，且DF1AB，PH为PAD中AD边上的高。 212（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH1,AD2,FC1，求三棱锥EBCF的体积；

（3）证明：EF平面PAB．

6、（2012佛山一模）如图，三棱锥PABC中，PB底面

ABC，

BCA90o， PBBCCA4，E为PC的中点，

M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.

（1）求证：BE平面PAC； （2）求证：CM//平面BEF； （3）求三棱锥FABE的体积.

7、如图所示四棱锥PABCD中, PA底面ABCD,四边形ABCD中,ABAD,BC//AD,PAABBC2,AD4,E为PD的中 点,F为PC中点.

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）求证:CD平面PAC； （3）在棱PC上是否存在点M（异于点C），使得BM∥平面PAD， 若存在，求

的值，若不存在 ，说明理由。；

A1A8、（惠州市2013）

如图,在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC,

ABBC,D为AC的中点,A1AAB2,BC3.

DB1(1)求证：AB1//平面BC1D； (2) 求四棱锥BAA1C1D的体积.

C1BC