三角恒等变换的基本题型

对三角恒等变换的考察，主要有三种题型：求值、化简、证明。由于这一类题形式多样，方法灵活，所以在解决这一类题时应有一定的目标、原则及经验积累。有几个重要的三角变换思想，我们应注意： ①sinα·cosα→凑倍角公式；②1±cosα→升幂公式；③1±sinα→配方或化为1±cos(－α)再升幂； ④asinα＋bcosα→辅助角公式； ⑤tgα±tgβ→两角和与差的正切公式逆用．

下面我对这三种题型做一下简单的归纳，希望能帮助同学们。 一、求值 它又分为三种题型①给角求值，其关键是正确分析角间的关系，准确地选用公式，将非特殊角转化为特殊角或将非特殊角的三角函数值相约或相消；②给值求值，其关键是分析已知和待求式之间的角、函数、结构的差异，有目的地消化；③给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值，在对应函数的单调区间内求解．

cossin例1．已知tan2，求（1）；（2）sin2sin.cos2cos2的

cossin值.

sin1cossin1tan12cos322； 解：（1）

sincossin1tan121cos (2) sinsincos2cossin222sinsincos2cossincos2222

2222242coscos . 2sin21312cos【点评】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互

sin化，就会使解题过程简化。三角运算的基本原则：

③异角化同角（角分析法）

⑦常数的处理（特别注意“1”的代换）．

二、化简 一般未指明答案的恒等变形，应把结果化为最简形式；根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，如一角一函数形式，以便研究函数的各种性质．

例2． 已知函数y=自变量x的集合；

解：y=

=

121412cos2x+

32sinx·cosx+1 （x∈R）,当函数y取得最大值时，求

cos2x+

32sinx·cosx+1

14 (2cos2x－1)+

+

34（2sinx·cosx）+1

===

141212cos2x+

34sin2x+65454

6(cos2x·sinsin(2x+

6+sin2x·cos

6)+

54

)+

所以y取最大值时，只需2x+=

2+2kπ,（k∈Z），即 x=

66+kπ,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

【点评】三角式化简的目标．①项数尽可能少；②三角函数种类尽可能少；③角尽可能

少、小；④次数尽可能低；⑤分母尽可能不含三角式；⑥尽可能不带根号；⑦能求出值的要求出值．

三、证明 证明的常用策略一般根据等式左右两边的繁简，由繁到简。

例3

3sin2401cos24032sin10

【分析】从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角化简到右边． 证明：左式=

3222sin401cos4023cos40sin2sin4022240cos40

 3cos40sin40sin23cos40sin40240cos40

12sin40)42(32cos401222(2sin40cos40)sin40)(3cos40

16sin100sin20sin28016sin80sin20sin28016sin20sin8032sin10cos10cos10【点评】化繁为简是三角恒等式证明最最基本的原则，这种繁简型三角恒等式的证明的关键是仔细观察等式左右三角函数式中的角、函数名以及结构之间的差异，消除差异，寻求角、名、式的统一即可．

32sin10右边