1 能够熟练识别同位角，内错角，同旁内角 两条直线AB CD与直线EF相交，交点分别为E F
如图（1）则称直线AB CD 被直线EF所截，直线EF为截线。 4 1 3 2 8 5 7 6 （图1）
二条直线AB CD 被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八角”。 这八个角中有对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8。
邻补角有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠5与∠6，∠6与∠7，∠7与∠8，∠8与∠5。
还有同位角，内错角，同旁内角。
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角。
如图中的∠1与∠5分别在直线AB CD的上侧，又在第三条直线EF的右侧，所以∠1与∠5是同位角，它们的位置相同，在图中还有∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7也是同位角。
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的内侧，且在第三条直线的两旁的二个角叫内错角。
如上图中∠2与∠8在直线AB、 CD 的内侧（既AB 、CD之间），且在ED的两旁，所以∠2与∠8是内错角。同理，∠3与∠5也是内错角。
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的你侧，且在第三条直线的同旁的两个角叫同旁内角。
如上图中的∠2与∠5在直线AB CD内侧又在EF的同旁，所以∠2与∠5是同安排能够内角，同理，∠3与∠8也是同旁内角。
因此，两条直线被第三条直线所截，共得4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。
2判定二条直线平行 同位角相等两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 内错角相等，两直线平行
3直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
4平移：在平面内，我们将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫．．做图形的平移。
5平移的性质：性质1：图形经过平移后，连结各组对应点的线段平行且相等 图形经过平移后，连结各组对应点的线段平行（或在同一直线上），并且相等
6平行线间的距离：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离
1三角形的定义：
由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三角 形 A如右的图形就是一个三角形 2 三角形的各组成部分 边：组成三角形的三条线段
如右所示：线段AB、AC、BC就是三角形
B的三条边
顶点：三角形任意两边的交点 C如右所示：点A、B、C均为三角形的顶点
通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个 三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系
如上图中，此三角形可以表示为△ABC，或△ACB或△BAC等等 内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角 例如△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角
边BC称为∠A所对的边，或顶点A所对的边，因此边BC也可以 表示为a
三角形任意两边之和大于第三边
3 三角形的分类 1）按角分
是锐角的三角形锐角三角形：三个角都三角形直角三角形：有一个角为直角的三角形
钝角三角形：有一个角为钝角的三角形
2）按边分
均不相等不等边三角形：三个边三角形等腰三角形：有两个边相等的三角形
等边三角形：三边均相等的三角形
过点A做BC的垂线，垂足为D B
4 在黑板上做△ABC，过点A做对边BC 的垂线，垂足为D，我们 就将线段AD称为△ABC的高
5高的定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂 足之间的线段称为三角形的高 1）三角形的高必为线段
2）三角形的高必过顶点垂直于对边 3）三角形有三条高 BDCACA角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，， 这个角的顶点与交点间的线段称为三角形的角平分线
1）三角形的角平分线必为线段，而一个角的角平分线为一条射线 2）三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角
三角形中线定义：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 1）三角形的中线必为线段 2）三角形的中线必平分对边
1．三角形内角和为180度 2．直角三角形的两个锐角互余 3．三角形的外角为360度
4. n边形的内角和等于n³180°－360°，即（n-2）³180°
多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
多边形的外角和并不是所有外角的和。 结论：任意多边形的外角和是360°
例题：
1．下列命题中，不正确的是( )．
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 2．△ABC的高的交点一定在外部的是( )． A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形
3．现有两根木棒，它们的长分别是40 cm和50 cm，若要钉或一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取( )．
A．10 cm的木棒 B．40 cm的木棒 C．90 cm的木棒 D．100 cm的木棒
4．已知等腰三角形的两边长分别为3 cm，4 cm，则它的周长为( )． A．10 cm B．11 cm
C．10 cm或11 cm D．无法确定
5．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是( )． A．∠A=2∠B一3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A一∠B=30° D．∠A=
11∠B=∠C 236．在四边形的4个内角中，钝角的个数最多为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，已知直线AB∥CD，∠C =115°，∠A=25°，∠E=( )． A．70° B．80° C．90° D．100°
(第7题) (第10题)
8．一个多边形的内角和等于它外角和的2倍，则这个多边形是( )． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
9．若△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为( )．
A．7 B．6 C．5 D．4
2
10．在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△ABC=4 cm，则S△BEF的值为( )．
22 22
A．2 cm B．1 cm C．0．5 cm D．0．25 cm 11．在△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=_______度．
oo
12．如图，AB∥CD，∠B+58，∠E=20，则∠D的度数为_______．
oo
13．如图，AB∥CD，∠BEF=85，∠ABE+∠EFC+∠FCD=______．
14．如果等腰三角形的两边长分别为3和7，则三角形的周长为______． 15．在一个三角形内角中最多有______锐角，最多有______钝角． 16．如图，五边形ABCDE是一块草地．小明从点S出发，沿着这个五边形的边步行一周，
o
最后仍回到起点S处，小明在各拐弯处转过的角度之和是_____．
17．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是_________边形．
18．如图，线段DE由线段AB平移而得，AB=4，EC=7－CD，则△DCE的周长为______cm．
19．如图，直线a∥b，c∥d，∠1=115°，则∠2=________，∠3=__________．
20．若一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形是____边形，它的内角和为_____．
21．在四边形ABCD中，ABCD的外角之比是8：7：6：3，求四边形各内角的度数．
22．在∆ABC中，已知∠A=
11∠B＝∠C，试判断该三角形的形状． 23
23．中国象棋中的马颇有骑士风度，自古有“马踏八方”之说，如图(1)，按中国象棋中“马”的行棋规则，图中的马下一步有A、B、C、D、E、F、G、H八种不同选择，它的走法就象一步从“日”字形长方形的对角线的一个端点到另一个端点，不能多也不能少．
要将图(2)中的马走到指定的位置P处，即从(四，6)走到(六，4)，现提供一种走法： (四，6)→(六，5) →(四，4) →(五，2) →(六，4) (1)下面是提供的另一走法，请你填上其中所缺的一步： (四，6) →(五，8) →(七，7) → ________→(六，4)
(2)请你再给出另一种走法(只要与前面的两种走法不完全相同即可，步数不限)，你的走法
是：___________________________________．
24．如图，从下列三个条件中：(1)AD∥CB；(2)AB∥CD； (3) ∠A=∠C，任选两个作为条件，另一个作为结论， 编一道数学题，并说明理由． 已知： 结论： 理由：
25．如图，AD∥BC，∠A=96°，∠D=104°，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BEC的度数．
26．如图，已知AB∥CD，BC∥AD，问∠B与∠D有怎样的大小关系，为什么?
18．(本题8分)如图，BD、CE相交于点A，已知∠D+∠E=120o，
(1)如果∠B=47o，求∠C的度数； (2)如果∠B=62o，那么∠C又是多少?
(3)你发现∠B、∠C、∠D、∠E之间存在着一个怎样的等量关系?
19．(本题8分)如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A'的
位置．聪明的同学，你能猜出么A'与∠1、∠2之间的数量关系吗?请找出来，并说明理由．
20．(本题8分)在△ABC中，∠A=40o：
(1)如图(1)BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC； (2)如图(2)若BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
(3)如图(3)若BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠
BOC；
(4)根据上述三问的结果，当∠A=no时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系
(只需写出结论)．
幂的运算
幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式： ①am³an=am+n ②(am)n=amn ③(ab)m=ambm ④am÷an=am-n
只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。
问题1、已知a7am=a3a10，求m的值。
思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。
方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。 方法原则：可用公式套一套。
但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。 问题2、已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。
思路探索：(x2y)3n中没有xn和yn，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。
因此可简解为，(x2y)3n=x6ny3n=(xn)6(yn)3=26³33=1728
方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。
方法原则：整体不同靠一靠。
然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？ 问题3、已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。
思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。 简解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3³25³4=300
方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。 方法原则：逆用公式倒一倒。
当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？ 问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。
思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。
简解：22x+3－22x+1=22x³23－22x³21=8³22x－2³22x =6³22x=48∴22x=8∴2x=3 ∴x=1.5
方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。
问题5、已知64m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。
思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。
简解：64m+1÷2n÷33m=24m+1³34m+1÷2n÷33m=24m+1－n³3m+1=81=34 ∵m、n是正整数∴m+1=4,4m+1－n=0 ∴m=3,n=13
方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。
问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。
思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=2³2b=4³2a,由此可求。 简解：由题意知2c=2³2b=4³2a ∴2c=2b+1=2a+2 ∴c=b+1=a+2
方法思考：底数是相同的常数时，通常把冪的值同乘以适当的常数变相同，然后比较它们的指数。
方法原则：系数质数和指数，常数底数造一造。 综合用到以上方法就更需要引起注意。
问题7、已知2x=m,2y=n,求42x+3y+1的值。
思路探索：要求的代数式与已知距离甚远，考虑逆用公式将其变成已知的代数式的形式。 简解：42x+3y+1=22x³23y³21=(2x)2³(2y)3³2=m2n3³2=2m2n3 方法思考：综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法。 问题8、已知a=244,b=333,c=422，比较a、b、c的大小。
思路探索：同底数幂比较大小观察指数大小即可，底数不能变相同的，只好逆用公式将指数变相同，比较底数大小了。
简解：a=244=24³11=（24）11=1611, b=333=33³11=（33）11=2711 c=422=42³11=1611 ∴a=c＜b
方法思考：化同指数冪是比较底数不能化相同的冪的又一种方法。 问题9、已知3x－4y－2=0,求1000x÷1002y的值。
思路探索：已知多项式的值，要求的代数式看不出与已知有什么联系。如此，试逆用公式看能否变出与已知多项式有联系的指数。 简解：∵3x－4y－2=0∴3x-4y=2
∴1000x÷1002y=103x÷104y=103x-4y=102=100
方法思考：用同底数冪的乘除法把指数是未知数的冪运算，是沟通冪运算和多项式的主要方法。
问题10、已知10a=25,10b=1／2,求8a÷43b的值。
思路探索：由要求的代数式知，关键是求3a-6b的值。观察已知要得到3a-6b只有用同底数幂相除得到，由此可以一试。 简解：∵10a=25,10b=1／2
∴103a-6b=103a÷106b=253÷(1／2)6=56÷(1／2)6=(5÷1／2)6=106 ∴3a-6b=6
∴8a÷43b=23a÷26b=23a-6b=26=64
思考归纳：幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，不但会直接套用公式，还要能逆用。其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解。第三，底数是常数时通常将其化成质数积的乘方的形式，有常数指数的通常求出其值，作为该项的系数。第四，底数不同而指数可变相同的可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘。 思考原则：
可用公式套一套，整体不同靠一靠，逆用公式倒一倒，常数底数造一造，系数质数和指数，综合运用瞧一瞧。 中考链接
1、（2008年南京市）计算(ab2)3的结果是（ ） A．ab
5B．ab
6C．ab
35D．ab
36 解析：该题直接考察积的乘方公式和幂的乘方公式，只要熟练掌握公式，并不难做。因为
(ab2)3a3(b2)3a3b6(ab2)3 所以 应填a3b6。
2、（2008淮安）下列计算正确的是
A．a2＋a2＝a4 B．a5²a2＝a7 C．a23a5 D．2a2－a2＝2
解析：该题是全面考查学生对幂的运算性质和合并同类项法则掌握的情况，特别是初学整式运算时，更要弄清各种运算法则的异同，按照各种法则逐一排查，易知B是正确的。 3、(2008上海市) 新建的北京奥运会体育场——“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为
（A）91103； （B）910102； （C）9.1103； （D）9.1104
n 解析：把一个正数b用科学记数法改写成a10的形式时，应满足0a10，n可正、
可负，也可是0；当b10时，n是正数，当1b10时，n等于0，当0b1时，n是负数。所以本题用科学记数法表示为9.1104，因此选D 4、（2008青岛）计算：2201 ．
解析：本题考察0次幂和负次幂，根据零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数”。故应填11。 25、（2008上海市）下列运算中，计算结果正确的是
（A）x²x＝2x； （B）x÷x＝x； （C）（x）＝x； （D）x+x＝2x
3
3
3
2
3
2
5
3
3
6
解析：解决此类问题一般用排除法，根据同底数幂乘法法则，A中x²x3应为x4，而结果是2x3所以不对。根据通底数幂的除法法则B中的x3÷x＝x2是正确结果，根据幂的乘方法则C中（x3）2＝x6，而不是x5。根据合并同类项法则，D中x3+x3＝2x3,而结果是2x6所以应选B。
从面积到乘法公式
1.、单项式乘以单项式
单项式乘单项式法则：单项式乘以单项式，系数与系数相乘的积作为积的系数，相同字母底数不变，指数相加，单独的字母不变，仍作为积的一个因式。
2、单项式乘以多项式
单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的项相加，即m(a+b+c)=ma+mb+mc (m,a,b,c都是单项式)
注意点：（1）多项式每一项都包括前面的符号，假如括号中的多项式，共有两项，就是
两两相乘，运用法则计算时，一定要强调积的符号．
（2）单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项．因
此，单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．
（3）对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果如有同类项要合
并，从而得出最简结果．
（4）·根据去括号法则和多项式中每一项包含它前面的符号，来确定乘积每一项
的符号；
（5）·非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍然是多项式；积的项数与所
乘多项式的项数相等；
（6）对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目，要注意运算顺序；也要注
意合并同类项，得出最简结果．
3、多项式乘以多项式：多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(a+b) (m+n) = am +an +bm + bn
友情提醒：1.不要漏乘； 2.注意符号； 3.结果最简
例题：
12（1）a2·（6ab）； （2）(2x)3·（－3xy） （3）[(－a3b3)3]3·(－ab2)2
3
14
（4） (－2a2b) · (－a2) · bc （5）[3(x－y)2] · [－2(x－y)3] · [(x－y)]
45
21
（6）(－2a)·(2a2－3a＋1) （7）(ab2－2ab)· ab （8）(3x2y－xy2)·3xy
32
14
（9）2x(x2－x+1) （10）(－3x2)·(4x2－x＋1) （11）(－2ab2)2(3a2b－2ab－4b3)
29
（12）3x2·(－3xy)2－x2(x2y2－2x) （13）2a· (a2+3a－2)－3(a3+2a2－a+1)
（14）(x－8y)( x－y) （15） (x－1)( 2x－3) （16）(m－2n)(3m＋n)
（17）(x－2)(x2＋4) （18）(x－y) (x2＋xy＋y2) （19）n(n＋1)(n＋2) 1.
计
算
(2a
－
3b)(2a
＋
3b)
的
正
确
结
果
是
( ) A．4a2＋9b2
B．4a2－9b2 C．4a2＋12ab＋9b2
D．4a2－12ab＋9b2 2.
若
(x
＋
a)(x
＋
b)
＝
x2
－
kx
＋
ab
，
则
k
的
值
为
（ ）
A.a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a
3. 计算(2x－
3y)(4x2
＋6xy＋
9y2)
的正确结果是
( )
A．(2x－3y)2 B．(2x＋3y)2 C．8x3－27y3 ＋27y3 4.
(x2
－
px
＋
3)(x
－
q)
的
乘
积
中
不
含
x2
项
， D．8x3
则
( )
A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q 5. 若( ) A．一定为正
中考连接
（2008.江苏）已知：x4,y1，求代数式1xy214(xy)21x5的值.
748
（2007.朝阳）1．若－2xay·（－3x3yb）=6x4y5，则a=_______，b=_______．
2．(－5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m－n的值为______
1
（2008.盐城）先化简，再求值：x(x－x＋1)－x(x－x＋x－1)，其中 x＝2
2
2
3
2
D．无法确定
0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是
B．一定为负 C．一定为非负数 D．不能确定
（2009.西安）阅读：已知x2y=3，求2xy（x5y2－3x3y－4x）的值．
分析：考虑到x、y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．
解：2xy(x5y2－3x3y－4x)=2x6y3－6x4y2－8x2y =2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y
=2×33－6×32－8×3=－24
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试! 已知ab=3，求（2a3b2－3a2b+4a）·(－2b)的值．
1.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________． 2.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________． 3.若a2＋a＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________．
4.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．
5.若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝_______，b＝_______． 6.如果三角形的底边为(3a＋2b)，高为(9a2－6ab＋4b2)，则面积＝__________．
（2008安徽）.若x1，y1，求x(x2xyy2)y(x2xyy2)3xy(yx)的值
2
（2008.西安）
已知2m5(2m5n20)20，求(2m2)2m(5n2m)3n(6m5n)3n(4m5n)的值
（2007上海）．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a＞b)，再沿虚线剪开，如图①．然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，下列各式成立的是 ( )
A．a2－b2=(a+b)(a－b) B．(a+b) 2=a2+2ab+b2 C．(a－b) 2=a2－2ab+b2 D．a2－b2=(a－b) 2 已
知
x
－
y=4
，
xy=12
，
则
x2+y2
的
值
为
（
2008
泰
州）． ( )
A．25 B．26 C．28 D．40
（2009上海）．上海建平中学与四川省都江堰中学结成“兄弟友好”学校．双方互通学校资讯，为加强学术交流，不断增进友好往来．上海建平中学校团支部组织学生将自制的“2010世博会”纪念卡寄给都江堰中学的学生，这些纪念品可以平均分给都江堰中学的(n+3)名
同学，也可平均分给(n－2)名同学(n为大于3 的正整数)．若用含n的代数式表示这些 纪念品的数量．则不可能为 ( ) A．n2+n－6 B．2n2+2n－12 C．n2－n－6 D．n3+n2－6n
二元一次方程组
知识点
1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。
每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程在一起，就组成了一个二元一次方程组。
2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。
一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
3．通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。
4．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。
5．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。
6．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。
解方程的步骤
1. 选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。 2．把③代人另一个方程，得一元一次方程。
3．解这个一元一次方程，得一个未知数的值。
4．把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。
以上解法是通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种解法叫做代人消元法，简称代入法。
解方程的注意点
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。
(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。
(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。
［基础训练］
1：解下列方程组
5x3y1y3x21、 2、
3xy52x3y5
2 列方程解应用题
1：某市公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 某校初一年级甲乙两个班共100多人，去该公园举行联欢活动，其中甲班有50多人乙班不足50人，如果以班为单位买门票，一共要付920元；如果两个班一起买票，一共要付515元。甲、乙两班分别有多少人？
［典型例题］ 1解答题
1：方程ax4yx1是二元一次方程，求a的取值范围。
axby7x1，2：甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了第一个方程解得2axby2y1乙看错了第二个方程解得x2，求a,b的值。
y6
3：一艘载重460吨的船，容积是1000立方米，现有甲种货物450立方米，乙种货物350吨，而甲种货物每吨体积为2.5立方米，乙种货物每立方米0.5吨，问是否都能装上船，如果不能，请你说明理由。并求出为了最大限度的利用船的载重和体积，两种货物应各装多少？
（北京2008）：进入讯期，七年级1班的同学们到水库去调查了解汛情，水库一共10个泻洪闸，现在水库水位超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库。同学们经过一天的观察和测量，做如下的记录：上午打开1个泻洪闸，在2小时内，水位继续上涨了0.66m。下午再打开2个泻洪闸后，4小时水位下降了0.1m，目前水位仍超过安全线1.2m。 （1） 如果打开了5个泻洪闸，还需几小时水位可以降到安全线？
（2） 如果防讯指挥部要求在6小时内水位降到安全线，应该打开几个泻洪闸？
2x3y43xy5（江西2009）关于x、y的方程组与有相同的解，求4ax5by22axby8a、b的值。
(江苏2008)某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告.15秒广告每播1次收费0.6万元，30秒广告每播1次收费1万元.若要求每种广告播放不少于2次，问：
（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？ （2）电视台选择哪种播放收益较大？
图形的全等
一、知识概述
了解全等形、全等三角形的概念及表示方法，掌握寻找全等三角形中的对应元素的基本方法，初步会用全等三角形的性质进行一些边角的简单的计算．
1．全等三角形的定义及有关概念和性质．
(1)全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．形状相同但不能完全重合的两个三角形不是全等三角形。 (2)全等三角形对应元素及性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
(3）将两个全等三角形中的一个三角形平移、翻折、旋转可得到另一个三角形．
2．全等三角形的符号表示及读法和写法．
全等三角形用符号“≌”表示，表示全等，读作“全等于”，注意对应顶点写在对应位置上．将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子，而不会找错，并节省观察图形的时间．
如图，∵△ABC≌△DFE，(已知)
∴AB=DF，AC=DE，BC=FE，(全等三角形的对应边相等)
∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．(全等三角形的对应角相等) 二、重点和难点
重点：全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等． 难点：寻找全等三角形的对应元素
常用的寻找全等三角形对应元素的方法．
已知如图中的(a)，△ABC≌△DEF，则对应边和对应角相等。 AB=DE，AC=DF，BC=EF．∠A=∠EDF，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE。
有公共边的，公共边一定是对应边，如图中的(b)，(e)，(g)；有公共角的，公共角一定是对应角，如图中的(f)．
有对顶角的，对顶角一定是对应角，如图中的(d)，(f)，(g)．
练习1：已知如图中的(c)，△ABC≌ADE， AB=AD，∠1=∠2，AC=AE．写出其余对应元素相等的式子． 练习2：已知：如图中的(h)，△AEB≌△DFC，∠1=∠2，BE=CF，∠B=∠C，写出其余对应元素相等的式子．
找对应边、对应角通常有以下几种方法．
（1）全等三角形对应相等的角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
（2）全等三角形对应相等的边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
（3）两个全等三角形有公共边的，公共边一定是对应边． （4）两个全等三角形有公共角的，公共角一定是对应角． （5）两个全等三角形有对顶角的，对顶角一定是对应角．
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．
中考链接
1、(2005年南通)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD = 4cm， AB = 8cm，求CF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， AD∥BC， ∴OA＝OB＝OC，∠DAE＝∠OCB，∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠DAE＝∠CBF．
又∵AE＝ OA，BF＝ OB，∴AE＝BF， ∴△ADE≌△BCF．
（2）解：过点F作FG⊥CD于点G，则∠DGF＝90º，
∵∠DCB＝90º， ∴∠DGF＝∠DCB，
又∵∠FDG＝∠BDC， ∴△DFG∽△DBC， ∴ ．
由（1）可知DF＝3FB，得 ， ∴ ，∴FG＝3，DG＝6， ∴GC＝DC－DG＝8－6＝2． 在Rt△FGC中， cm．
（说明：其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）
2、(徐州2005)已知：如图10，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.
求证：四边形AFCE是菱形.
4、 （乌鲁木齐2005）如图3，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件中（1）AB＝DE（2）BC＝EF（3）AC＝DF （4）∠A＝∠D（5）∠B＝∠E（6）∠C＝∠F，以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是D
A、（1）（5）（2） B、（1）（2）（3） C、（4）（6）（1） D、（2）（3）（4）
5、 （2005福州）已知：如图5，点C、D在线段AB上，PC＝PD。请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。所加条件为＿＿＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。 证明：
所添条件为： ∠A＝∠B（或PA＝PB或AC＝BD或AD＝BC或∠APC＝∠BPD或∠APD＝∠BPC等）
全等三角形为：△PAC≌△PBD（或△APD≌△BPC）
6、（连云港市2005）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 ；
（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数； （3）以（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点在格点上，各边长都是无理数．
8、（2005年陕西）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O。 （1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来； （2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明。
解：（1）图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD， △COB≌△COD，△ABC≌△ADC。 （2）证明△ABC≌△ADC。 证明：∵AC垂直平分BD， ∴AB=AD，CB＝CD。
又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC。
9、（2005年苏州）（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE//BC；
（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。
10、 （厦门2005） 已知：如图7，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP， (1) 求证：△CPB≌△AEB； (2) 求证：PB⊥BE；
(3) 若PA∶PB＝1∶2，∠APB＝135°, 求cos∠PAE的值.
(1) 证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ BC＝AB …… 1分
∵ ∠CBP＝∠ABE BP＝BE …… 2分 ∴ △CBP≌△ABE …… 3分 (2) 证明：∵∠CBP＝∠ABE
∴∠PBE＝∠ABE ＋∠ABP …… 4分 ＝∠CBP＋∠ABP
＝90° …… 5分 ∴ PB⊥BE …… 6分 （1）、（2）两小题可以一起证明. 证明：∵∠CBP＝∠ABE
∴∠PBE＝∠ABE ＋∠ABP …… 1分 ＝∠CBP＋∠ABP
＝90° …… 2分 ∴ PB⊥BE …… 3分
以B为旋转中心，把△CBP按顺时针方向旋转90°， …… 4分 ∵ BC＝AB ∠CBA＝∠PBE＝90° BE＝BP …… 5分 ∴△CBP与△ABE重合
∴ △CBP≌△ABE …… 6分 (3) 解：连结PE
∵ BE＝BP ∠PBE＝90°
∴∠BPE＝45° …… 7分 设 AP为k， 则 BP＝BE＝2k
∴ PE2＝8k2 …… 8分 ∴ PE＝2k ∵∠BPA＝135° ∠BPE＝45° ∴∠APE＝90° …… 9分 ∴AE＝3 k
在直角△APE中： cos∠PAE＝
数据在我们身边
重要概念
1.总体：考察对象的全体。
2.个体：总体中每一个考察对象。 3.样本：从总体中抽出的一部分个体。 4.样本容量：样本中个体的数目。
5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。
6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数） 计算方法
1.样本平均数：⑴x1'(x1x2xn);⑵若x1'x1a，x2x2a，„，n'xnxna,则xx'a(a—常数，x1，x2，„，xn接近较整的常数a);⑶加权平均数：
xx1f1x2f2xkfk(f1f2fkn);⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集
n中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。
1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2];⑵若n21'2'2'22''''s[(xxx)nx]（a,,„,,则x1x1ax2x2axnxna12nn2．样本方差：⑴s2—接近x1、x2、„、xn的平均数的较“整”的常数）;若x1、x2、„、xn较“小”较“整”，则s221222[(x1x2xn)nx];⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）n的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。
3．样本标准差：ss2
例题
1．为了了解我市七年级学生的体重，对全市七年级全体学生的体重进行的调查是_______；而对部分学生(例如 1 000 名)的体重进行的调查是_______．全市七年级学生体重的全体是_________，每个七年级学生的体重是________，从中抽测的 1 000 名学生的体重是总体的一个_______，样本的容量是________． 注意：样本容量无单位．
2.下列各项调查，是普查还是抽样调查？如果是抽样调查，请指出总体、个体、样本和样本容量．
(1)调查全班每位同学的穿鞋尺码．
(2)从一批洗衣机中抽取 5 台,调查这批洗衣机的使用寿命．
(3)某厂要了解一批炮弹的杀伤半径，从中抽取 10 发炮弹进行测试，由这 10 发炮弹的杀伤半径来估计这批炮弹的杀伤半径．
7、下列调查中，采用了“抽样调查”方式的是（ ）
A、为了了解某次考试试卷的质量，对全班所有学生的试卷进行分析 B、调查某一品牌5万袋包装鲜奶是否符合卫生标准 C、调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市 D、了解全校学生100米短跑的成绩
8、下列调查方式中，采用了“普查”方式的是 （ ）
A、调查某品牌电视机的市场占有率 B、调查某电视连续剧在全国的收视率 C、调查七年级一班的男女同学的比例 D、调查某型号炮弹的射程 9、下列调查的样本具有代表性的是 （ ）
A、利用当地的七月份的日平均最高气温值估计当地全年的日最高气温 B、在农村调查市民的平均寿命
C、利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量
D、为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验
10、为了检查某鞋厂生产的一批皮鞋的质量，从中抽取了50双作质量检查，在此问题中数目50是（ ）
A．样本 B．样本容量 C．总体 D．个体
11、要想了解10万名考生的数学成绩，从中抽取了2000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是 （ ）
A、这2000名考生是总体的一个样本 B、 每位考生的数学成绩是个体 C、10万名考生是个体 D、 2000名考生是样本的容量 12、关于抽样调查，下列说法不正确的是（ ） A、调查的数据应该是真实、可靠的
B、取样本数据中间的一个数据就可以得出样本需要的数据 C、样本抽取时，被调查的对象应是随意抽取的 D、抽样时要注意样本的代表性和广泛性
中考链接 1．为了考察一个学校学生参加课外体育活动的情况．调查了其中40名学生每天参加课外体育活动的时间，其中的40是这个问题的 ( ) A．总体 B．个体 C．样本容量 D．一个样本 2．实验的总次数、频数和频率三者之间的关系是 ( ) A．频数越大，频率越大 B．频数与总次数成正比
C．总次数一定，频数越大，频率可达到很大 D．频数一定时，频率与总次数成正比
3．下列调查中适合作抽样调查的有 ( ) ①了解一批炮弹的命中精度，②调查全国中学生的环保意识，③考察某种农作物的长势，④考察某文章中的错别字数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列调查不适于抽样调查的是 ( ) A．某单位对职工进行身体检查 B．某食品厂对生产的食品进行质量检查 C．对某品牌电视机寿命进行调查 D．为了解长江中鱼的种类
5．为了估计湖里有多少条鱼，先捕上100条做上标记，然后放回到湖里，过一段时间，待带标记的鱼完全混和于鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，那么湖里大约有鱼 ( ) A．400条 B．600条 C．800条 D．1000条
6．为了了解七年级某次数学测验成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩，在这个问题中，总体是____________________，个体是________________，样本是_____________ ________________________，样本的容量是___________．
7．进行下列调查：①调查全班学生的视力 ②调查初一年级学生双休日是如何安排的 ③调查学校大门两侧100米内有没有开电子游戏厅 ④电视台调查某部电视剧的收视率 ⑤联合国调查伊拉克是否还在继续生产大规模杀伤性武器 ⑥调查一批炮弹的杀伤半径
⑦质量技术监督部门调查某种电子产品的质量，这些凋查中，适合作普查的是_______，适合作抽样调查的是__________．(只填序号)
8．在一次捐款活动中，某班50名同学人人拿出自己的零花钱，有捐5元、 10元、20元的，还有捐50元和100元的，统计图反映了不同捐款数的人 数比例，那么该班同学平均每人捐款_______元．
9．下面这组数据是七年级(2)班学生存体育课上做引体向上的个数的个人
统计：7，10，6，8，14，9，5，12，11，10，8，13，10，8，1l，9，10，12，9，11，7，8，7，6，9，那么在9～11(包括9和11)的范围内发生的频数是_______，频率是______． 10．为了了解江苏电视台《江苏新闻联播》节目的收视率，宜采用的调查方式是________． 11．某电视机厂在一次质量检查中，从500台电视机中估计了50台，其中2台不合格，则
出现不合格电视机的频率是_______，在这500台电视机中估计有______台为不合格产品．
12．某校为了了解初一学生的学习情况，从中抽取了30名学生的数学成绩进行分析得出下
表：
分组 59.5～64.5 64.5～69.5 69.5～74.5 74.5～79.5 79.5～84.5 84.5～89.5 89.5～94.5 94.5～99.5 99.5～104.5 合计 频数 1 2 2 3 1 9 6 a 1 30 频率 0.033 0.067 0.067 b 0.033 0.300 0.200 0.167 0.033 1.000 (1)表中数据a=_________，b=__________． (2)在这次调查中，数学成绩在89．5～99．5范围的人数为________人． 13．某灯泡厂为了掌握本厂生产的灯泡使用寿命(单位：小时)，从产品中抽查了400只灯泡，
测得它们的使用寿命如下： 使用寿命 灯泡数 500～600 21 600～700 79 700～800 108 800～900 92 900～1000 76 1000～1100 24 你知道使用寿命700～800小时之间灯泡的频率是多少吗?
14．为了解我校七年级，300名男生的身体发育情况，从中抽测了20名男生的身高，结果
如下：(单位：cm)
169 153 161 165 160 175 158 169 164 172 173 170 162 152 167 168 154 172 166 175 (1)请你根据上述数据填写频率分布表中的空格： 分组 150.5～155.5 155.5～160.5 频数划记 频数 2 频率 0.15 4 160.5～165.5 165.5～170.5 170.5～175.5 合计 正 —— 4 5 20 0.20 0.30 1.00 (2)试根据频数分布表画出频数分布直方图和频数分布折线图．
(3)在这个问题中，总体是__________________，个体是____________________， 样本是_______________________，样本容量是_______________．
(4)该校七年级男生身高在160．5～170．5cm范围内的人数为____________．
15．红星养猪场准备出售500头猪，从中任意抽出若干头一一过砰，经分组整理，频数分布
表如下，其中有许多数据漏填： 分组(kg) 频数 频率 45.5～50.5 4 50.5～55.5 0.200 55.5～60.5 16 60.5～65.5 8 0.200 65.5～70.5 70.5～75.5 0.075 合计 1.000 (1)请你补填表中漏填的数据；
(2)根据补填后的频数分布表，画出频数分布直方图；
(3)根据频数分布表或频数分布直方图，请回答：随意抽出的这些猪的质量在什么范围
的头数最多、最集中，在什么范围内的头数最少?
(4)根据(3)的结论，估计这批出售的500头猪，质量在什么范围的头数最多、最集中，
约是这批出售猪总数的百分之多少？
18．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上就能获得
一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品． 下表是活动进行中的一组统计数据： (1)请你计算并完成表格；
(2)请你估计，当n很大时，指针落在“铅笔”的频率将会接近多少? (3)假如请你去转动该转盘一次，你认为你有几成把握获得“可乐”?
(4)在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少?(精确到1°)
转动转盘的次数n 落在“铅笔”的次数m 落在“铅笔”的频率
100 68 150 111 200 136 500 345 800 564 1000 701 m n
感受概率
1、确定事件与不确定事件 （1）确定事件：
①不可能事件：在特定条件下，事先能肯定一定不会发生的事件 ②必然事件：在特定条件下，事先能肯定一定会发生的事件 （2）不确定事件：
随机事件：在特定条件下，事先无法确定它会不会发生的事件 例题
1．下列事件中必然发生的是 ( ) A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上 B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3 C．通常情况下，抛出的篮球会下落 D．阴天就一定会下雨
2．下列事件中的必然事件是 ( ) A．2008年奥运会在北京举行
B．一打开电视机就看到奥运圣火传递的画面 C．2008年奥运会开幕式当天，北京的天气晴朗 D．全世界均在白天看到北京奥运会开幕式的实况直播
3．从一副未曾启封的扑克牌中取出1张红桃，2张黑桃的牌共3张，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是 ( ) A．
112 B． C． D．1 2334．在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的是 ( ) A．冠军属于中国选手 B．冠军属于外国选手 C．冠军属于中国选手甲 D．冠军属于中国选手乙
5．一个盒中装有4个均匀的球，其中2个白球，2个黑球，今从中取出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可能性分别记为a，b，则 ( ) A．a>b B．a6．某单位要在两名射击队员中推出一名参加比赛，已知同等条件下，甲射中某物的可能性大于乙，则所推出的人应 ( ) A．选甲 B．选乙 C．都可以 D．不能确定 7．如图是一个可以自由转动的转盘，转动这个转盘后，转出( )色的可能性最小． A．红 B．绿 C．黄 D．不确定
第7题 第8题
8．如图，转动转盘，指向阴影部分的可能性为a，指向空白部分的可能性为b，则
( )
A．a>b B．a9．从一幅洗好的，抽去了大、小王的扑克牌中，每次随机地抽出一张牌，则随着抽取的次数的增多，可知 ( ) A．抽得红色牌的次数比抽得黑色牌的次数相对增多 B．抽得红色牌的次数比抽得黑色牌的次数相对减少 C．没有规律
D．抽得红色牌和黑色牌的次数逐渐接近
10．如果+，－，³这三个运算符号，在下列表达式．5______4______6______3的空格中每
一个恰只用到一次，那么下面五个数值中可能成为运算结果的是 ( ) A．9 B．10 C．15 D．19
11．任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，这个事件是________事件．(填“必然”、“不可能”或“不确定”)．
12．把3个苹果放入两个果盘，至少有2个苹果在同一个果盘中，这是________现象．(填
“确定”或“不确定”)．
13．数学试卷的选择题都是四选一的单项选择题，小明对某道选择题完全不会做，只能靠猜
测获得结果，则小明答对的概率是_________．
14．布袋中装有2个红球，3个白球，5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出
一个球是白球的概率是_________．
15．一个盒子中装有标号分别为1、2的7张相同的卡片，某人5次随意抓取卡片(抓后放回)，
有4次抓到1号卡片，一般情况下，1号卡片_________．
16．如图是一个可以自由转动的转盘，转动四次后，可能得到最大的四位数是______，得到
它的可能性__________(填“大”或“小”)．
第16题 第17题 第18题
17．如图的转盘中，表示某次乒乓球比赛中，小明、小亮两人获胜的可能性，转动转盘，当
指针停止转动时，落在阴影区域的可能性_________．
18．在一个装有4个白球，3个红球共七个均匀小球的盒子里，今有一人任意抓取一球，如
图，阴影部分表示抓到白球的可能性，空白部分表示抓到红球的可能性，如往盒子中再
放入4个红球，则_________的面积减小．
19．下列事件中，哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是不确定事件?说明理由． (1)打开电视，正在播放广告．
(2)在自己的班上，有两个人是同月出生的： (3)将冰棒放入温水中，冰棒会慢慢融化．
20某人在购买体育彩票时，两次分别购买一张和购买50张均未获奖，于是他说购买一张和
买50张中奖的可能性相等，另一人说，这两个事件都是不可能事件，他们的说法正确吗?为什么?
21一黑色口袋中有4个红球，2个白球，1个黄球，这些球除了颜色外都相同，小明认为袋
中共有三种不同颜色的球，所以认为摸到红球、白球或者黄球的可能性是相同的，你认为呢?
22．如图是个可以自由转动的转盘，涂有红、绿、白三种颜色．你认为转动这个转盘后．哪
些事件是很可能发生的?哪些事件是可能发生的或不太可能发生的?你能说明理由吗?
23．(10分)一个15袋内有10个标有1～10号的小球，现从中任意摸取1球，试问摸到偶数
号球与摸到球的号码不大于3的可能性哪个大?
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