基本不等式柯西不等式知识点复习

基本不等式及应用

一、考纲要求：

1.了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． 二、基本不等式

基本不等式 a＋bab≤ 2

三、常用的几个重要不等式

a＋b222

(1)a＋b≥2ab(a，b∈R) (2)ab≤()(a，b∈R)

2a＋ba＋b2ba(3)≥()(a，b∈R) (4)＋≥2(a，b同号且不为零)

22ab上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.

四、算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的

2算术平均数不小于它们的几何平均数．

四个“平均数”的大小关系；

2

2

不等式成立的条件 a>0，b>0 等号成立的条件 a＝b a，b∈R+：

当且仅当a＝b时取等号.

2abababab2a2b22五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2P. 12

(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值S.

4

强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；

名师总结 优秀知识点

定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在.

2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）

想一想:错在哪里？

1

１．已知函数f(x)x，求函数的x 最小值和此时x的取值．

解:f(x)x112xx12x 当且仅当xx即x1时函数 取到最小值2.

332xx2x2x2当且仅当3即x3时，函数xx2的最小值是6。解：f(x)x大家把x2最小值？3代入看一看，会有什么发现？用什么方法求该函数的3(x2)，２．已知函数f(x)xx2求函数的最小值．11

3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．

xy

111

解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.

axy2＋xy－2xy2

解二：z＝＝(＋xy)－2≥2

xyxy

22

2

·xy－2＝2(2－1)，所以z的最小值是2(2－1)． xy

【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．

111yx1x＋y－2xy2

【正确解答】 z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，

xyxyxyxyxyxyx＋y21211

令t＝xy，则024t44233125

有最小值，所以当x＝y＝时z有最小值. t424

2

误区警示：

名师总结 优秀知识点

(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件3

的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋(x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋

x26.

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．

课堂纠错补练：

π4

若02sinx

考点1 利用基本不等式证明不等式

1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”． 2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．

例1：（1）已知a,b,c均为正数，求证：abbccaabc(abc)

（2）已知a,b,c为不全相等的正数，求证：ab(ab)bc(bc)ac(ca)6abc

11

（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋≥4.

ab

222222

111

练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.

abc

名师总结 优秀知识点

考点2 利用基本不等式求最值

(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

例4： (1)设0【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件

【解】 (1)∵00，

12

(2) x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；

x

（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy的最大值.

4）已知y ．

34

(5)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．

xy

4

＋a，求y的取值范围． a－2

练习：

求下列各题的最值．

25

(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值；

xy

名师总结 优秀知识点

12

(2)x0，求f(x)＝＋3x的最大值；

x

(3)x<3，求f(x)＝

（4）a0,b0,4ab1，求ab的最大值。

4

＋x的最大值． x－3

考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧

1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．

例3：（1）已知a,bR,ab3ab，求ab的最小值。

（2）已知y2x1x2(0x1)，求y的最大值。

b21，求a1b2的最大值。 （3）已知a,bR，a22

x2y2（3）已知xy0，xy1，求的最小值及相应的x,y的值。

xy

考点4 基本不等式的实际应用

应用基本不等式解决实际问题的步骤是： (1)仔细阅读题目，透彻理解题意；

(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；

名师总结 优秀知识点

(3)应用基本不等式求出函数的最值； (4)还原实际问题，作出解答． 练习：

1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距12

d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d＝kvl＋l(k为正常数)，假定车身长都为4 m，当车速为

260 km/h时，车距为2.66个车身长．

(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；

(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

归纳提升：

1．创设应用基本不等式的条件：

(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；

(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接． 1

(1)a＋≥2(a>0，且a∈R)，当且仅当a＝1时“＝”成立．

aba

(2)＋≥2(a>0，b>0，a，b∈R)，当且仅当a＝b时“＝”成立． ab

柯西不等式

一、二维形式的柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式

(1)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

名师总结 优秀知识点

(2)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

(3)(ab)(cd)(acbd)2(a,b,c,d0,当且仅当adbc时，等号成立.)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

.(当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立.)

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 例题

【5】. 设x，y，z  R，且满足x2  y2  z2  5，则x  2y  3z之最大值为 解(x  2y  3z)2  (x2  y2  z2)(12  22  32)  5．14  70∴ x  2y  3z最大值为70

【6】 设x，y，z  R，若x2  y2  z2  4，则x  2y  2z之最小值为 时，(x，y，z)  解(x  2y  2z)2  (x2  y2  z2)[12  (  2) ∴ x  2y  2z最小值为  6，公式法求 (x，y，z) 此时∴ x

练习【8】、设x, y, zR, xyz25，试求x2y2z的最大值与最小值。

2222

 22]  4．9  36

xyz622 1222(2)2223244，y，z 333

【9】、设x, y, zR, 2xy2z6，试求xyz之最小值。

222