高等数学-第3章 3.3 曲线的弯曲程度——曲率

一、曲率的概念

在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。 直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？

1 M2 2 M3 M1  如图3.6所示，M1M2和M2M3是两段等长的曲线弧，M2M3比M1M2弯曲得厉害些，当点M2沿曲线弧移动到点M3时，切线的转角2比

图3.6

从点M1沿曲线弧移动到点M2时，切线的转角1要大些。

 如图3.7所示，M1M2和N1N2是两段切线转角同为的曲线弧，N1N2比M1M2弯曲得厉害些，显然，M1M2的弧长比N1N2的弧长大。

这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。由此，我们引入曲率的概念。

如图3.8所示，设M,N是曲线yf(x)上的两点，当点M沿曲线移动到点N时，

切线相应的转角为， 曲线弧MN的长为s。我们用来表示曲线弧MN的平均弯曲程

s0 M1 M2 N1 N2  图3.7

y yf(x) N s    M x

图3.8

度，并称它为曲线弧MN的平均曲率，记为K，即

K。 sd存在，从而极限

s0sds当s0（即NM）时，若极限limlims0dd存在，则称lim为曲线yf(x)在M点处的曲率，记s0sdssds为K，即

Kd。 （3.1） ds注意到，

d是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。 ds二、曲率的计算公式

设函数f(x)的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式.

先求d，因为是曲线切线的倾斜角，所以ytan，从而arctany，两边微分，得

ddarctany11d(y)ydx （3.2） 221y1y其次求ds，如图3.9，在曲线上任取一点

M0，并以此为起点度量弧长。若点Mx,y在M0x0,y0的右侧xx0，规定弧长为正；若点Mx,y在M0x0,y0的左侧xx0，规定弧长为负；依照此规定，弧长s是点的横坐标x的增函数，记为ssx。

当点M沿曲线移动到N，相应地，横坐标由x变到xx时，有

(s)2y yf(x) N s M0 O M y x x0 x xx x

图3.9

MN2xy，

22即 (

s2y)1()2， xx1

取极限后可得等式

s2y)1lim()2，

x0xx0xdsdy即 ()21()21y2，

dxdxds又因为，s是x的增函数，故0，从而

dxds1y2， dxlim(即 ds1y2dx。 （3.3） 把（3.2）、（3.3）式代入（3.1）式，得

y （3.4） K(1y2)3/2这就是曲线yf(x)在点(x,y)处曲率的计算公式.

例1 求下列曲线上任意一点处的曲率： （1）ykxb；（2）x2y2R2。

解 （1）因为yk，y0，代入公式（3.4），得K0。所以，直线上任意一点的曲率都等于零，这与我们的直觉“直线不弯曲”是一致的。

xyxyR2（2）因为2x2yy0，y；y，3，代入公式（3.4）

yy2y得

Ky1y232R2y3x2y321()R2x2y2321。 R所以，圆上任意一点处的曲率都相等，即圆上任意一点处的弯曲程度相同，且曲率等于圆的半径的倒数。 三、曲率圆

如图3.10，设曲线yf(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K0)。在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使|DM|1。以D为圆K2

y  KD M 1yf(x)

O x

图3.10

心，为半径所作的圆称为曲线在点M处的曲率圆；曲率圆的圆心D称为曲线在点M处的曲率中心；曲率圆的半径称为曲线在点M处的曲率半径。

根据上述规定，曲率圆与曲线在点M处有相同的切线和曲率，且在点M邻近处凹凸性相同。因此，在工程上常常用曲率圆在点M邻近处的一段圆弧来近似代替该点邻近处的小曲线弧。

例2 设工件内表面的截线为抛物线y0.4x2，现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？

解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值。因为

y0.8x,y0.8，

所以，抛物线上任一点的曲率半径为

1(1y2)3/2[1(0.8x)2]3/2， Ky0.8当x0时，即在顶点处，曲率半径最小，为1.25。

所以，选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长.

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