学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知点𝑃(𝑎−3,2−𝑎)在第二象限，则𝑎的取值范围在数轴上表示正确的是( )A. C.
B. D.
3. 如图，𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵的垂直平分线，𝐷为垂足，
𝐷𝐸交𝐴𝐶于点𝐸，∠𝐴𝐵𝐶=90°，则△𝐵𝐸𝐶且𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=6，的周长是( )
A. 14B. 16C. 18D. 22
4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )A. 𝑥2+2𝑥+3=𝑥(𝑥+2)+3C. 3𝑥2−12𝑦2=3(𝑥+2𝑦)(𝑥−2𝑦)
B. (𝑥+𝑦)(𝑥−2𝑦)=𝑥2−𝑥𝑦−2𝑦2D. 2(𝑥+𝑦)=2𝑥+2𝑦
5. 如图，把△𝐴𝐵𝐶绕着点𝐶顺时针方向旋转32°，得到△𝐴′𝐵′𝐶，点𝐵
刚好落在边𝐴′𝐵′上，则∠𝐵′的度数为( )
A. 74°B. 72°C. 68°D. 66°
6. 下列说法错误的是( )A. 若𝑎−4>𝑏−4，则𝑎>𝑏C. 若𝑎<𝑏，则𝑎𝑚<𝑏𝑚
B. 若1+𝑚2>1+𝑚2，则𝑎>𝑏D. 若𝑎>𝑏，则𝑎+5>𝑏+3
𝑎𝑏第1页，共18页
7. 若多项式2𝑥2+𝑎𝑥−6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2𝑥−3，则𝑎的值为
( )
A. 1B. 5C. −1D. −5
8. 一次函数𝑦1=𝑚𝑥+𝑛与𝑦2=𝑘𝑥+𝑎的图象如图所示，则𝑚𝑥+𝑛>𝑘𝑥+𝑎的解集为( )
A. 𝑥<2B. 𝑥>2C. 𝑥>1D. 𝑥<1
9. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=45°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷为𝐵𝐶的中点，直角∠𝑀𝐷𝑁绕点𝐷旋转，𝐷
𝑀，𝐷𝑁分别与边𝐴𝐵，𝐴𝐶交于𝐸，𝐹两点，下列结论：①𝐴𝐸=𝐶𝐹；②△𝐷𝐸𝐹是等腰直角三角形；③𝐵𝐸+𝐶𝐹=𝐸𝐹；④𝑆四边形𝐴𝐸𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐵𝐶.其中正确的结论是( )
12A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④
10. 如图，边长为6的等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐸是对称轴𝐴𝐷上一个动点，
连接𝐸𝐶，将线段𝐸𝐶绕点𝐶逆时针旋转60度得到𝐹𝐶，连接𝐷𝐹，则在点𝐸运动的过程中，𝐷𝐹最小值是( )
A. 3B. 2C. 2D.
332第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
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11. 已知𝑚2−𝑛2=21，𝑚−𝑛=3，则𝑚+𝑛= ______ ．12. 如图，△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐵平移后得到△𝐷𝐸𝐹，点𝐷是点𝐴的
对应点.如果𝐴𝐸=10，𝐵𝐷=2，那么△𝐴𝐵𝐶平移的距离是______ ．
13. 一元一次不等式组𝑥>𝑚+1的解集是𝑥>1，则𝑚的取值范围是______ ．
14. 如图，已知∠𝐴𝑂𝐵=30°，𝑃是∠𝐴𝑂𝐵平分线上一点，𝐶𝑃//𝑂𝐵，交𝑂𝐴于点𝐶，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵，
垂足为点𝐷，且𝑃𝐶=10，则𝑃𝐷的长为______ ．
{𝑥>1
15. 如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=______
°.
16. 如图，现有边长为𝑎的正方形1个，边长为𝑏的正方形3个，边长为(𝑎,𝑏(𝑎>𝑏)的长方形4
个，把它们拼成一个大长方形，请利用这个拼图中图形的面积关系分解因式：𝑎2+4𝑎𝑏+3𝑏2= ．
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=10，𝐵𝐶=5，线段𝑃𝑄=𝐴17. 如图，
𝐵，𝑃，𝑄两点分别在𝐴𝐶和过点𝐴且垂直于𝐴𝐶的射线𝐴𝑂上运动，当𝐴𝑃=______时，△𝐴𝐵𝐶和△𝑃𝑄𝐴全等．
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18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=5，𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的中线，𝐴𝐷=2，则△𝐴𝐶𝐵的面积
是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)因式分解：(𝑎+1)(𝑎−5)+9；(2)解不等式：(𝑥−1)−1>2𝑥．
1220. (本小题8.0分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△𝐴𝐵𝐶的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点𝐴，𝐵，𝐶的坐标分别为(1,1)，(4,2)，(2,3)．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的△𝐴1𝐵1𝐶1；(2)画出△𝐴𝐵𝐶关于原点𝑂对称的△𝐴2𝐵2𝐶2；(3)求△𝐴𝐵𝐶面积．
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21. (本小题8.0分)
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶，𝐵𝐷是对角线，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形.线段𝐶𝐷绕点𝐶顺时针旋转60°得到线段𝐶𝐸，连接𝐴𝐸.求证：𝐴𝐸=𝐵𝐷．
22. (本小题8.0分)
某商场计划购进𝐴、𝐵两种商品，若购进𝐴种商品20件和𝐵种商品15件需380元；若购进𝐴种商品15件和𝐵种商品10件需280元．
(1)求𝐴、𝐵两种商品的进价分别是多少元？
(2)若购进𝐴、𝐵两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进𝐴种商品多少件？
23. (本小题8.0分)
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，𝐷为𝐵𝐶延长线上一点，点𝐸为线段𝐴𝐶，𝐶𝐷的垂直平分线的交点，连接𝐸𝐴，𝐸𝐶，𝐸𝐷．
(1)如图1，当∠𝐵𝐴𝐶=40°时，则∠𝐴𝐸𝐷= °；(2)当∠𝐵𝐴𝐶=60°时，
①如图2，连接𝐴𝐷，判断△𝐴𝐸𝐷的形状，并说明理由；
②如图3，𝐹是△𝐶𝐷𝐸内一点，连接𝐶𝐹，𝐷𝐹，𝐸𝐹.若△𝐶𝐷𝐹是等边三角形，试猜想𝐸𝐹与𝐴𝐵之间的数量关系，并说明理由．
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答案和解析
1.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：𝐶．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】𝐶
【解析】解：∵点𝑃(𝑎−3,2−𝑎)在第二象限，𝑎−3<0∴2−𝑎>0，解得𝑎<2，故选：𝐶．
𝑎−3<0
根据点𝑃(𝑎−3,2−𝑎)在第二象限，可以得到2−𝑎>0，然后求解即可．
本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第二象限内点的坐标的符号是(−,+)，列出相应的不等式组．
{{3.【答案】𝐵
【解析】解：∵𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=6，∠𝐴𝐵𝐶=90°，∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2= 82+62=10，∵𝐷𝐸是线段𝐴𝐵的垂直平分线，∴𝐸𝐴=𝐸𝐵，
∴△𝐵𝐸𝐶的周长=𝐵𝐶+𝐶𝐸+𝐸𝐵=𝐵𝐶+𝐶𝐸+𝐸𝐴=𝐵𝐶+𝐴𝐶=6+10=16，
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故选：𝐵．
由勾股定理求出𝐴𝐶=10，根据线段垂直平分线的性质得到𝐸𝐴=𝐸𝐵，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4.【答案】𝐶
【解析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：𝐴.等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：𝐶．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5.【答案】𝐴
【解析】解：由题意可得：𝐵𝐶=𝐵′𝐶，
∵把△𝐴𝐵𝐶绕着点𝐶顺时针方向旋转32°，得到△𝐴′𝐵′𝐶，∴∠𝐵𝐶𝐵′=32°，
∴∠𝐵′=×(180°−∠𝐵𝐶𝐵′)=×(180°−32°)=74°．故选：𝐴．
利用旋转的性质得出𝐵𝐶=𝐵′𝐶，以及∠𝐵𝐶𝐵′=32°，再利用等腰三角形的性质得出答案．本题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出𝐵𝐶=𝐵′𝐶是解题关键．
12126.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、不等式两边都加上4，不等号的方向不变，即𝑎>𝑏，原变形正确，故该选项不符合题意；
B、不等式两边都乘1+𝑚2，不等号的方向不变，即𝑎>𝑏，原变形正确，故该选项不符合题意；
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C、不等式两边都乘𝑚，必须规定𝑚≠0，才有𝑎𝑚<𝑏𝑚，原变形错误，故该选项符合题意；D、不等式两边都加上5，不等号的方向不变，即𝑎+5>𝑏+5，所以𝑎+5>𝑏+3，原变形正确，故该选项不符合题意．故选：𝐶．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
7.【答案】𝐴
【解析】解：∵多项式2𝑥2+𝑎𝑥−6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2𝑥−3，−6=−3×2．
∴2𝑥2+𝑎𝑥−6=(2𝑥−3)(𝑥+2)=2𝑥2+𝑥−6．∴𝑎=1．故选A．
先分解，再对比求出𝑎．
本题考查因式分解的应用，根据条件确定另一个因式是求解本题的关键．
8.【答案】𝐴
【解析】解：∵𝑦1=𝑚𝑥+𝑛与𝑦2=𝑘𝑥+𝑎的图象交点为(2,1)，且𝑚𝑥+𝑛>𝑘𝑥+𝑎，∴𝑥<2．故选：𝐴．
以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，结合图象写出解集即可．
本题考查了一次函数交点与一元一次不等式的解集的确定，正确理解交点的横坐标是不等式解集的界点值是解题的关键．
9.【答案】𝐴
【解析】根据等腰直角三角形的性质可得∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵=45°，根据同角的余角相等可得∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐵𝐷𝐸，然后利用𝐴𝑆𝐴证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹，则𝐷𝐸=𝐷𝐹，𝐵𝐸=𝐴𝐹，从而得到△𝐷𝐸𝐹是等腰直角三角形，判断出②正确；根据线段的差和等量代换得出𝐴𝐸=𝐶𝐹，判断出①正确；根据𝐵𝐸+𝐶𝐹=𝐴𝐹+𝐴𝐸，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得𝐵𝐸+𝐶𝐹>𝐸𝐹，判断出③错误；最后根据
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𝑆四边形𝐴𝐸𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝐷+𝑆△𝐴𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝐷+𝑆△𝐵𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶判断出④正确．本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识，并能进行推理论证是解决问题的关键．【解答】
解：∵∠𝐵=45°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，∵点𝐷为𝐵𝐶的中点，
∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐷，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐷=45°，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵，∵∠𝑀𝐷𝑁是直角，∴∠𝐴𝐷𝐹+∠𝐴𝐷𝐸=90°，∵∠𝐵𝐷𝐸+∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐷𝐵=90°，∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐵𝐷𝐸，在△𝐵𝐷𝐸和△𝐴𝐷𝐹中，
∠𝐵=∠𝐹𝐴𝐷𝐵𝐷=𝐴𝐷{,∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐴𝐷𝐹
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐷𝐸=𝐷𝐹，𝐵𝐸=𝐴𝐹，∵∠𝑀𝐷𝑁是直角，
∴△𝐷𝐸𝐹是等腰直角三角形，故②正确；∵𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐸，𝐶𝐹=𝐴𝐶−𝐴𝐹，∴𝐴𝐸=𝐶𝐹，故①正确；∵𝐵𝐸+𝐶𝐹=𝐴𝐹+𝐴𝐸>𝐸𝐹，故③错误；
∵△𝐵𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹，
∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝐷+𝑆△𝐴𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝐷+𝑆△𝐵𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐷，∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐵𝐶，故④正确．
∴正确的有①②④．
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故选：𝐴．
10.【答案】𝐶
【解析】解：取线段𝐴𝐶的中点𝐺，连接𝐸𝐺，如图所示．
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，且𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的对称轴，∴𝐶𝐷=𝐶𝐺=𝐴𝐵=3，∠𝐴𝐶𝐷=60°，∵∠𝐸𝐶𝐹=60°，∴∠𝐹𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺．在△𝐹𝐶𝐷和△𝐸𝐶𝐺中，
12{𝐹𝐶=𝐸𝐶
∠𝐹𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺，𝐷𝐶=𝐺𝐶
∴△𝐹𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐺(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐷𝐹=𝐺𝐸．
当𝐸𝐺⊥𝐴𝐷时，𝐸𝐺最短，即𝐷𝐹最短．∵点𝐺为𝐴𝐶的中点，∴此时𝐸𝐺=𝐷𝐹=𝐶𝐷=．故选：𝐶．
取线段𝐴𝐶的中点𝐺，连接𝐸𝐺，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出𝐶𝐷=𝐶𝐺以及∠𝐹𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺，由旋转的性质可得出𝐸𝐶=𝐹𝐶，由此即可利用全等三角形的判定定理𝑆𝐴𝑆证出△𝐹𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐺，进而即可得出𝐷𝐹=𝐺𝐸，再根据点𝐺为𝐴𝐶的中点，即可得出𝐸𝐺的最小值，此题得解．本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出𝐷𝐹=𝐺𝐸.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相
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等的边是关键．
11.【答案】7
【解析】解：由题意得，𝑚2−𝑛2=(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)=21，∵𝑚−𝑛=3，∴𝑚+𝑛=7．故答案为：7．
利用平方差公式将𝑚2−𝑛2分解，然后整体代入可得出𝑚+𝑛的值．
此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是关键，另外本题涉及了整体代入思想．
12.【答案】4
【解析】解：设平移的距离为𝑥，则𝐸𝐵=𝐴𝐷=𝑥，则𝐵𝐸+𝐵𝐷+𝐴𝐷=10，故𝑥+2+𝑥=10，解得：𝑥=4，
即△𝐴𝐵𝐶平移的距离是：4．故答案为：4．
直接利用平移的性质得出方程进而得出答案．
此题主要考查了平移的性质，正确得出等式是解题关键．
13.【答案】𝑚≤0
𝑥>1
【解析】解：∵𝑥>𝑚+1的解的解集是𝑥>1，∴𝑚+1≤1，解得：𝑚≤0，故答案为：𝑚≤0．
根据每一个不等式的解集，结合口诀：同大取大可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
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取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：作𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于𝐸， ∵𝑃是∠𝐴𝑂𝐵平分线上一点，∴∠𝐴𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑃=15°，∵𝑃𝐶//𝑂𝐵，∴∠𝑃𝑂𝐷=∠𝑂𝑃𝐶，
∴∠𝑃𝐶𝐸=∠𝑃𝑂𝐶+∠𝑂𝑃𝐶=∠𝑃𝑂𝐶+∠𝑃𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐵=30°，∴𝑃𝐸=𝑃𝐶=5，
∵𝑃是∠𝐴𝑂𝐵平分线上一点，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵，𝑃𝐸⊥𝑂𝐴，∴𝑃𝐷=𝑃𝐸=5，故答案为：5．
过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得𝑃𝐸=𝑃𝐷，再根据两直线平行，内错角相等可得∠𝑃𝑂𝐷=∠𝑂𝑃𝐶，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠𝑃𝐶𝐸=∠𝐴𝑂𝐵，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出𝑃𝐸=𝑃𝐶=5，根据角平分线的性质得到答案．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．
121215.【答案】45
【解析】解：如图，∠2、∠3为两个全等三角形的对应角，所以，∠2=∠3，
△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，所以，∠1+∠3=45°，所以，∠1+∠2=45°．故答案为：45．
根据网格结构以∠1的顶点为顶点作出与∠2所在的直角三角形全等的三角形，再连接另两个顶点得
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到等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．
本题考查了全等三角形，熟练掌握网格结构，作出与∠2所在的直角三角形全等的三角形是解题的关键．
16.【答案】(𝑎+𝑏)(𝑎+3𝑏)
【解析】解：拼图前6个图形的面积为：𝑎2+4𝑎𝑏+3𝑏2，
拼图后，得到长方形，边长为𝑎+𝑏，𝑎+3𝑏的长方形，面积为(𝑎+𝑏)(𝑎+3𝑏)．∵拼图前后面积不变，
∴𝑎2+4𝑎𝑏+3𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎+3𝑏)．故答案为：(𝑎+𝑏)(𝑎+3𝑏)．
根据边长为𝑎的正方形纸片1张、边长为𝑏的正方形纸片3张，边长分别为𝑎，𝑏的长方形纸片4张，他们的面积之和为𝑎2+4𝑎𝑏+3𝑏2，拼图得出的图形是边长分别为𝑎+𝑏，𝑎+3𝑏的长方形，面积为(𝑎+𝑏)(𝑎+3𝑏)．
本题主要考查了分解因式与几何图形之间的联系，从几何的图形来解释分解因式的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
17.【答案】5或10
【解析】解：当𝐴𝑃=5或10时，△𝐴𝐵𝐶和△𝑃𝑄𝐴全等，理由是：∵∠𝐶=90°，𝐴𝑂⊥𝐴𝐶，∴∠𝐶=∠𝑄𝐴𝑃=90°，①当𝐴𝑃=5=𝐵𝐶时，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵和𝑅𝑡△𝑄𝐴𝑃中
𝐵=𝑃𝑄{𝐴𝐵𝐶=𝐴𝑃
∴𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵≌𝑅𝑡△𝑄𝐴𝑃(𝐻𝐿)，②当𝐴𝑃=10=𝐴𝐶时，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵和𝑅𝑡△𝑃𝐴𝑄中
𝐵=𝑃𝑄{𝐴𝐴𝐶=𝐴𝑃
∴𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵≌𝑅𝑡△𝑃𝐴𝑄(𝐻𝐿)，
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故答案为：5或10．
当𝐴𝑃=5或10时，△𝐴𝐵𝐶和△𝑃𝑄𝐴全等，根据𝐻𝐿定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有𝐴𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，𝑆𝐴𝑆，𝑆𝑆𝑆，𝐻𝐿．
18.【答案】6
【解析】解：如图，延长𝐴𝐷到𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，∵𝐷为𝐵𝐶的中点，∴𝐶𝐷=𝐵𝐷，
在△𝐴𝐷𝐶与△𝐸𝐷𝐵中，
{𝐴𝐷=𝐸𝐷
∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐷𝐵，𝐶𝐷=𝐵𝐷
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐵𝐸=𝐴𝐶=5，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐸，又∵𝐴𝐸=2𝐴𝐷=4，𝐴𝐵=3，∴𝐵𝐸2=𝐴𝐸2+𝐴𝐵2，
∴△𝐴𝐵𝐸是直角三角形，∠𝐸𝐴𝐵=90°，则𝑆△𝐴𝐶𝐵=2𝑆△𝐴𝐵𝐷=2××2×3=6，故答案为：6．
延长𝐴𝐷到𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，证△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(𝑆𝐴𝑆)，得𝐵𝐸=𝐴𝐶=5，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐸，再由勾股定理的逆定理证∠𝐸𝐴𝐵=90°，即可解决问题．
此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
1219.【答案】解：(1)(𝑎+1)(𝑎−5)+9
=𝑎2−5𝑎+𝑎−5+9 =𝑎2−4𝑎+4 =(𝑎−2)2；(2)(𝑥−1)−1>2𝑥，
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∴𝑥−1>4𝑥+2，∴−3𝑥>3，解得：𝑥<−1．
【解析】(1)先将括号展开，合并同类项，再利用完全平方公式分解；(2)先移项，再去分母，再次移项合并，系数化为1可得．
本题考查了因式分解，解一元一次不等式，解题的关键是掌握相应的运算步骤和方法．
20.【答案】解：(1)如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
(2)如图所示：△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求；
(3)△𝐴𝐵𝐶面积=2×3−×1×3−×1×2−×1×2=，答：△𝐴𝐵𝐶面积为．
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【解析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用中心对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)利用割补法求解即可．
此题主要考查了中对称变换以及平移变换和三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】证明：由旋转可知∠𝐷𝐶𝐸=60°，𝐶𝐷=𝐶𝐸，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∴∠𝐴𝐶𝐵=60°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐴𝐶𝐷，即∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，在△𝐵𝐶𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
{𝐵𝐶=𝐴𝐶
∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸 𝐶𝐷=𝐶𝐸
∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐸=𝐵𝐷．
【解析】根据旋转的性质得到∠𝐷𝐶𝐸=60°，𝐶𝐷=𝐷𝐸，根据等边三角形的性质得到∠𝐴𝐶𝐵=60°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，进一步由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，可得𝐴𝐸=𝐵𝐷．
本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设𝐴商品的进价是𝑎元，𝐵商品的进价是𝑏元，
20𝑎+15𝑏=380
根据题意得：15𝑎+10𝑏=280，𝑎=16
解得：𝑏=4，
答：𝐴商品的进价是16元，𝐵商品的进价是4元；(2)设购进𝐴种商品𝑥件，则购进𝐵种商品(100−𝑥)件，根据题意得：16𝑥+4(100−𝑥)≤900，解得：𝑥≤41，∵𝑥为整数，∴𝑥的最大整数解为41，∴最多能购进𝐴种商品41件
23{{第16页，共18页
【解析】(1)设𝐴种商品的进价是𝑎元，𝐵种商品的进价是𝑏元，根据题意列方程组即可得到结论(2)设购进𝐴种商品𝑥件，则购进𝐵种商品(100−𝑥)件，根据题意列不等式即可得到结论．本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
23.【答案】100
【解析】解：(1)如图1中，∵∠𝐵=90°，∠𝐵𝐴𝐶=40°，∴∠𝐴𝐶𝐵=90°−40°=50°，∴∠𝐴𝐶𝐷=180°−50°=130°，
∵点𝐸是线段𝐴𝐶，𝐶𝐷的垂直平分线的交点，∴𝐸𝐴=𝐸𝐶=𝐸𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐸𝐶𝐴，∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐷，∴∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=130°，
∴∠𝐴𝐸𝐶=360°−∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐸𝐴𝐶=360°−130°−130°=100°．故答案为：100；
(2)①结论：△𝐴𝐷𝐸是等边三角形．
理由：如图2中，，∵∠𝐵=90°，∠𝐵𝐴𝐶=60°，∴∠𝐴𝐶𝐵=90°−60°=30°，∴∠𝐴𝐶𝐷=180°−30°=150°，
∵点𝐸是线段𝐴𝐶，𝐶𝐷的垂直平分线的交点，∴𝐸𝐴=𝐸𝐶=𝐸𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐸𝐶𝐴，∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐷，∴∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=150°，
∴∠𝐴𝐸𝐶=360°−∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐸𝐴𝐶=360°−150°−150°=60°，∵𝐸𝐴=𝐸𝐷，
∴△𝐴𝐸𝐷是等边三角形；
②结论：𝐸𝐹=2𝐴𝐵．理由：如图3中，连接𝐴𝐷．
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∵△𝐴𝐷𝐸，△𝐶𝐷𝐹是等边三角形，
∴𝐷𝐴=𝐷𝐸，𝐷𝐶=𝐷𝐹，∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐸=60°，∴∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐹𝐷𝐸，∴△𝐶𝐷𝐴≌△𝐹𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐶=𝐸𝐹，
∵∠𝐵=90°，∠𝐴𝐶𝐵=30°，∴𝐴𝐶=2𝐴𝐵，∴𝐸𝐹=2𝐴𝐵．
(1)利用等腰三角形的性质，四边形内角和定理求解即可；(2)①证明∠𝐴𝐸𝐷=60°，可得结论；
②结论；𝐸𝐹=2𝐴𝐵.连接𝐴𝐷，证明𝐸𝐹=𝐴𝐶，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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