老师的烦恼

从事小学数学的教学中，遇到这样一个烦恼：最小的偶数是几？2还是0。为此，从有关资料和互联网上查找，觉得越看越不明白了，我们作为一名小学教师，到底该听哪个更专业或是更权威，今为此写上论文作一讨论。 一、从有关资料和文献上找到的答案

从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，

是把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小学数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。

二、来自教师的讨论，也是教师根据自己的实践经验得出的答案

一次考试阅卷，五年级的试卷中有这样一道题：最小的偶数是几？绝大部分的老师都认为是2，但有一位老师却认为是0。一石激起千层浪，引发了一场激烈的争论。 最小的偶数到底是几呢？

绝大多数的老师都认为最小的偶数应该是2，而不应该是0。其中一位老师坚持认为最小偶数应是0，她谈的意见如下：只要含有约数2 的数，它就是偶数；只要是2 的倍数，它就是偶数。因为0÷2=0，所以2 是0的约数，0是2 的倍数。教材规定：能被2整除的数叫做偶数，所以最小的偶数应是0。并特别指出九年义务教育六年制小学教科书《数学》第十册53页上明确指出：注意：因为0也能被2整除，所以0也是偶数。所以最小的偶数应该是0。

大部分老师见了教材都无言以对，但心中却总有些不同意。有些老师也提出：教科书49页最后一段也明确注明，

注意：为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般指自然数，不包括0。

到底最小的偶数是0还是2 呢？虽然教科书明确指出0是偶数，但从未明确指明最小的偶数就是0。笔者认为：0是一个特殊的数，所以教材明确指出在研究约数和倍数时，不包括0。当然偶数是约数和倍数的扩展分枝，也应该不包括0。所以让我感觉教材是前后矛盾的，前面说在研究数的整除时，不包括0；但到了偶数概念时，又明确指出0也是偶数。

如果0是最小的偶数，那么许多题目将变得毫无意义。如：教材80页练习十六第4题的（1）“既能被6整除，又能被9整除的数，最小的是多少？绝大多数都认为是6和9的最小公倍数，结果是“18”。但另有一种观点认为：此题是求能被6和9整除的最小的数，因为0既能被6整除，又能被9整除，所以结果应该是0。此题如是考察0则意义不大。但如0是最小的偶数，那么既能被6整除，又能被9整除的数，最小的是0，就很正常了。

0是最小的偶数，那么到初中的负数的出现后，0还是最小的偶数吗？当负数出现后，最小的偶数是并不存在的，就像最大的自然数也并找不到。笔者有一种认识，教材规定了0是偶数，这一性质也是值得商榷的。因为0也能被2 整除，所以0也是偶数。那么0也能被任何自然数整除，0又是一

个什么数呢？我们知道：一种特性，必定是区别于其他事物的；一种特性，在同类事物中也肯定有共同的外在或内在的表现；事物的本质属性必定是与其他类事物的本质属性是相互排斥的，如果不相互排斥，那么还不混为同一类去。如果说0是偶数，那么0与其他偶数是有较大的区别的，用上面三点去分析，也觉得0是偶数规定的太过牵强。

作为一些权威还没有定论的知识，最好不要过早的放到教材里来，要不，就会使我们这样的小学教师变得十分烦恼，到底应该怎么去教学生，我们总不能去误码人子弟吧！ (讨论：0作为自然数后，最小的偶数是几？

自然数非奇则偶,所以0作为自然数理应为最小的偶数.而小学五年级 倍数和因数的教学中特别强调0作为一个特殊的数字被排除在外,这样就避免了以上矛盾.

0能被任何数整除,但不能因此说任何数都是0的因数,否则这又于一个数的因数是有限的相矛盾.因此0是被排除在整除之外的一个偶数。）