数学关于中点的应用

一、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形

1在□ABCD中, BC=4cm,F，G，分别为BE,CD的中点为,E为AD的中点，求FG的长

.如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的长是．

AEDGCFB

二、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质

2．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•

试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=

三、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”

3：在平行四边形ABCD中,两对角线交与点O，E、F、P分别为OB、OC、AD的中点，且AC=2AB 求证：EP=EF

四、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”

4.已知如图1，△ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F. 求证：FC=2AF .

AEBDFC1（BC-AC）． 2AEBPOFCD图1

5如图五边形ABCD E中，∠ A B C= ∠A E D=90度，∠ B A C= ∠E AD,M是CD的中点

求证：BM=ME

A

6倍长中线：条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求的正的结论集中到同一个三角形中。 阅读理解：课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:

如图, ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,再连接BE(或将△ABC绕点D旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2（2）问题解决：

受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图在△ABC中D是BC边的中点，DE⊥DF ,DE交AB于点E,DF交AC于F,连接EF.

①求证;BE+CF>EF ②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的关系,并加以证明。

BECMDABDCEAEFBDC

7如图所示，BD,CE分别是ABC的外角平分线。过点A作，AF⊥BD,AG⊥CE垂足分别为F,G，连接FG，延长AF,AG与直线BC相交，

（1）求证FG=

（2）若BD,CE分别是ABC的内角平分线，其他条件不变。线段与ABC的三边长又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明。

(3) 若BD分别是ABC的内角平分线,CE是ABC的外角平分线其他条件不变。线段与ABC的三边长又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明。

1(AB+BC+AC) 2DFBAEGCAEGBFCDAEDFBCG