C专题( 圆的切线证明
2019年
教学内容
)
C专题——切线证明
专题导入
（
课堂精粹）
直线与圆的位置关系
切线的判定和性质
(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且一条直线只有满足：
(1)经过半径的外端；
【方法点拨】判定切线的方法有以下几种：
(1)若直线与圆只有一个公共点，则这条直线是圆的切线；
(2)连接圆心和圆与直线的公共点即为半径，再证它们互相垂直．简称“连半径证垂直”；(3)当直线与圆的公共点没有确定时，(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于
首先过圆心作出直线的垂线，____________.
再证垂线段的长等于半径．
简称“作垂直证半径”．
________这条半径的直线是圆的切线．
(2)垂直于这条半径，这两个条件才是圆的切线，缺一不可．
切线证明常考题型
1，如图：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论：“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。
A
O
B
DE
C
图1
1
2，如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论：在①BO平分∠CBA；②BO∥DE；③AB是⊙O的切线；④BD=BC
四个论断中，知一推三。
C
G
FO
E
A
D
B
图2
3，如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论：
DE与⊙O相切推出E是BC的中点
C
D
E
A
O
B
4，如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论：DE⊥AC 推出DE与⊙O相切
CEF
D
A
O
B
切线长及切线长定理
(1)切线长：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到切点之间的(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长的夹角．
______的长，叫做切线长；________，这一点和圆心的连线
________两条切线
2
三角形的外接圆与内切圆
名称三角形的外接圆
图形
内、外心
性质
三边垂直平分线的交点称
为三角形的外心
三角形的外心到三角形的距离相等
__________
三角形的内切圆
三条内角平分线的交点称
为三角形的内心
三角形的内心到三角形距离相等
________的
知识典例
（
画竹必先成竹于胸！）
|类型1|外接圆与内接圆
1.如图，在
RtABC中，C90，AC
）
4，BC
3,O是ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段
AB
有交点，则r的取值范围是（
A．
r1
B．1r5C．1r10
D．1r4
2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是______cm.
3
3.如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为(1)用尺规作图作出∠
5.
BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法
)；
BAC的平分线，并标出它与劣弧
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
4.如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为（）
A．110°B．125°C．130°D．140°
5.如图是一块△ABC余料，已知AB＝20 cm，BC＝7 cm，AC＝15 cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是________cm.
2
6.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是
mm），直线l是它的对称轴，若__________mm．
HG=60，AB=80，GF=50，CB=20，
4
|类型2|平面直角坐标系中的圆
1.如图：直线AB经过点A（0，3）点B（
3，0），点M在y轴上，⊙M经过点A、B，交x轴于另一点C．
（1）求直线AB的解析式；（2）求点M的坐标；
2.AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C.(1)若点A0，6,N0，2,∠ABN=30°,求点B的坐标; (2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.
5
|类型3|垂径定理与勾股定理
1.如图,已知:AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD是☉O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上的一点,CE交☉O于点F,连接OC,AC.(1)求证:AC平分∠DAO.(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.①求∠OCE的度数; ②若☉O的半径为2
2,求线段EF的长.
2.如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过点D.
（1）求证：
BC是⊙O切线；
（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长.
A
O
B
D
C
3．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数；（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．
6
|类型3|与圆有关的图形的面积
1.如图，已知直径与等边点F、G。（1）（2）
求证：DE若
ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于
AC；
ABC的边长为a，求ECG的面积.
AD
G
OF
B
E
C
2.（2018·云南省曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D
恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC=
，求四边形OCDB的面积．
BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作
7
|类型4|与圆的切线有关的问题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙置关系是( A．相交
) B．相切
C．相离
D．不能确定
C与直线AB的位
2.如图，已知⊙O是以坐标原点行的直线与⊙O有公共点，设点
O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P(x，0)，则x的取值范围是____________________.
P且与OA平
3.如图，∠APB＝30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP＝3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心
O平移的距离为______cm．
︵
3.如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是BC的中点，过点(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求AE的长．
D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
8
|类型5|圆与四边形结合的问题
1.正方形ABCD内接于☉O,如图T7-6所示,在劣弧AB上取一点E,连接DE,BE,过点D作DF∥BE交☉O于点F,连接BF,AF,且AF与DE相交于点G,求证: (1)四边形EBFD是矩形; (2)DG=BE.
2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交接FB，FC. （1）求证：四边形
ABFC是菱形.
ABFC的面积.
AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形
3.如图，在四边形点E，连接AE. (1)求证：四边形
ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于AECD为平行四边形；
(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.
9
4.四边形ABCD的对角线交于点E,有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点
F,已知直径AB=8.
E,圆心为O.
(1)利用图1,求证:四边形ABCD是菱形; (2)如图2,若CD的延长线与半圆相切于点①连接OE,求△OBE的面积;
︵
②求
AE的长.
达标检测
（
1.如图，网格中的每个小
A．32
画竹必先成竹于胸！）
正方形的边长都是
)
B．25
C．5
D.34
1，点M，N，O均为格点，点
N在⊙O上．若过点
M作⊙O的一条切
线MK，切点为K，则MK＝(
2.如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点．若∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是
°．
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3.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为点O为原点建立平面直角坐标系，则过
1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点
________．
)上，以
A，B，C三点的圆的圆心坐标为
4.如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB=CD，求证：EB=EC．
5.已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．
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AC，过点D作DE⊥AC，
6.如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．
（1）求证：AB=AC；（2）若AB=8，求圆环的面积．
7.如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点. （1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长
8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
12
E
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC = 60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CD
OC交PQ于点D．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．
期中考试题型
1.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE，BE是△DEC外接圆的切线．（1）求∠C．
（2）若CD=2，求BE．
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3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过长线于点E，过点C作⊙O的切线，交ME于点F．
（1）求证：EF=CF；
（2）若∠B=2∠A，AB=4，且AC=CE，求BM的长．
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M作AB的垂线交的延BC5.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
6.已知：如图，△ABC内接于⊙O，OH
CAD
30，AD103．
AC于H，
B
30，过A点的直线与OC的延长线交于点D，
（1 ）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若E为⊙O上一动点，连接AE交直线OD于点P，问：是否存在点P，使得PAPH的值最小，若存在求PAPH的最小值，若不存在，说明理由．
AH
O
B
C
D
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7.如图，AB是合，已知
的弦，半径
，
交AB于点D，点P是．
上AB上方的一个动点不与A、B重
设，当圆心O在
内部时，写出求证：CM是的切线；
若
，
，求PC的长．
的取值范围；
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T能力——中考题型
︵
1．(2017·山东济宁中考)如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是BC的中点，过点D作DE⊥AC交AC的
延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求AE的长．
2.（2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB是⊙O的直径，接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线
BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
=，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连
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3. （2018?陕西?10分）如图，在相交于点M、N．
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC.BC
(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；(2)连接MD，求证：MD＝NB．
4.如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与
对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形四边形围
ABCD的边有三个公共点，随着
4，直接写出相对应的
AP的变化，⊙P与平行
AP的值的取值范
ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为
．
18
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