第三章(第二讲)边缘分布与条件分布

第三章（第二讲）

一、教学目的与要求

1. 掌握二维随机变量的边缘分布； 2. 掌握二维随机变量的条件分布. 二、教学内容

1. 二维随机变量的边缘分布； 2. 二维随机变量的条件分布； 3. 相关计算方法. 三、教学重点与教学难点

1. 二维连续型随机变量边缘分布的计算； 2. 二维随机变量条件分布的计算. 四、授课过程

§3.2 二维随机变量的边缘分布

二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分布函数F(x,y)，描述了(X,Y)的分布情况。但X,Y也都是随机变量，也分别有分布函数FX(x)、FY(y)。对于二维随机变量(X,Y)，对X,Y单独讨论他们的概率分布，称为二维随机变量

(X,Y)的边缘分布（Marginal distribution）.

一、二维离散型随机变量的边缘分布

设二维随机变量(X,Y)的概率分布P(Xxi,Yyj)p(x,yj)pij，已知

X的取值为x1,x2,,xm,因为\"X，求P(Xxi)PX(xi)pi(1)pi•

xi\"可以看成一系列互不相容的事件 “Xxi,Yyj”

(j1,2,,n,)的并，即

\"Xxi\"UXxi,Yyj

j 所以有

P(Xxi)PX(xi)P(Xxi,Yyj)pijpi(1)pi•

jj 同样，\"Yyj\"可以看成一系列互不相容的事件 “Xxi,Yyj”

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(i1,2,L,m,L)的并，即

\"Yyj\"UXxi,Yyj

i从而有

P(Yyj)PY(yj)P(Xxi,Yyj)pijp(2)p•j jii在二维离散型随机变量的联合分布表中可以表示为

【说明】

（1）边缘分布由联合分布确定，分别是随机变量X,Y的概率分布. （2）边缘分布具有随机变量分布的所有性质.

【例1】一整数N等可能地在1，2，……，10中任取一个值，设D是能整除N的正整数的个数，FP(Yyj) Xx1 Yy1 y2 … yn… P …P… P121n11P(Xxi) P1•x2 P21 P22 …P2n… P2• xm Pm1 Pm2 …Pmn… Pm• P•1 P•2…P•n… 1 D(N)F(N)是能整除N的素数的个数（1不是素

数），试写出D，F的联合概率分布、边缘分布.

解：

所以D的取值：1，2，3，4 F的取值：0，1，2 因此得到联合分布与边缘分布为

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样本1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 点 D F 1021213121422141314 2

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F0D 11 2 3 4 P(Fj)12 P(Di) 10000000 110410210310410210110 0 210 110710210 1 二、二维连续型随机变量的边缘分布 设(X,Y)的密度函数为

f(x,y)，且X,Y的密度函数分别为fX(x)，

fY(y).

FX(x)P(Xx)P(Xx,y)

x (f(u,y)dy)du

所以：

dfX(x)FX(x)f(x,y)dy

dxdFY(y)f(x,y)dx 同理 fY(y)dye(xy),x0,y0【例2】已知f(x,y)，求其边缘概率密度.

else0,解：

d(xy)xdyeeydyex fX(x)FX(x)f(x,y)dyedx所以

fX(x)ex,x0. 同理：

0,elseey,fY(y)0,y0. else【例３】 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度

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Ae(2x3y),x0,y0f(x,y).

0,else求①系数A；②分布函数；③边缘概率密度； ④ (X,Y)落在区域R:x 解：①因为F(,)0,y0，2x3y6 内的概率.

f(x,y)dxdy1

2x00所以Ae(2x3y)dxdy1Aedxe3ydy1

1A1A6 6xy ② 当xF(x,y)P(Xx,Yy)0,y0时

xf(s,t)dsdt

yF(x,y)P(Xx,Yy) 6edxe3ydy(1e2x)(1e3y)

2x00当x0或y0时，

f(x,y)0

xyF(x,y)P(Xx,Yy)f(s,t)dsdt0

(1e2x)(1e3y),x0,y0所以F(x,y).

0,else③

fX(x)f(x,y)dy6e2xe3ydy2e2x

02e2x,x0所以fX(x).

else0,3e2y,同理fY(y)0,④

y0. else y2x3y6P[(X,Y)D]f(x,y)dxdyD0x主讲教师：刘林 版权所有

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23y63y222x3y6e(edx)dy6e00012x623ye0dy3[e3y61]dy17e6 2【课堂练习】

4xy,0x1,0y1已知随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)，

0,其它求X和Y的边缘密度fX(x),fY(y).

§3.2条件分布

设二维随机变量(X,Y)，称X、Y其中一个取固定值的条件下另一个的概率分布为X或Y的条件分布.

一、离散随机变量的条件分布

设(X,Y)为二维离散随机变量，其概率分布为

p(xi,yj)P(Xxi,Yyj)，(i1,2,L,m,L;j1,2,L,n,L)

且X、Y的概率分布分别为PX(xi)、PY(yj)，则当PY(yj)0时，在Yyj的条件下X的条件分布为

pX|Y(xi|yj)P(Xxi|Yyj)P(Xxi,Yyj)P(Yyj)

P(xi,yj)PY(yj)，

i1,2,Lm,L同理，当PX(xi)0时，在Xxi的条件下Y的条件分布为

pY|X(yj|xi)P(Yyj|Xxi)P(Xxi,Yyj)P(Xxi)

p(xi,yj)pX(xi)，

j1,2,Ln,L而且分别有

pX|Y(xi|yj)ip(x,y)ijipY(yj)pY(yj)pY(yj)1

和 pY|X(yj|xi)jp(x,y)ijjpX(xi)pX(xi)1 pX(xi)【例4】 袋中有5件产品，其中2件次品，3件正品，从中依次取出2件定义：

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0,第一次取次品0,第二次取次品 1,第一次取正品1,第二次取正品在不放回抽样的情况下求随机变量在1条件下的条件分布。 解：(,)的概率分布及、的边缘概率分布如下表：

  0 1 p(yj) 0 1 103 102 51 3 103 102 5p(xi) 2 53 51 则

331110P(0|1)； P(1|1)10

332255即在1条件下的条件分布为:

 P(yj|1) 0 1 21 1 2

二、 连续随机变量的条件分布

设(X,Y)为二维连续随机变量，记在Yy条件下连续随机变量X的条件分布函数为FX|Y(x|y)，即FX|Y(x|y)P(Xx|Yy).

因P(Yy)0，不能直接用条件概率公式计算，先考虑

P(Xx|yYyy)，并设P(yyy)0，

则P(Xx|yYyy)P(x|yyy)

P(yyy)yyyxf(u,v)dudv

yyyfY(v)dv主讲教师：刘林 版权所有

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其中f(u,v)、fY(v)分别为(X,Y)及Y的概率密度，且它们均是连续函

数，并设fY(v)0，则由积分中值定理可得

P(x|yyy)其中011，021，因此

xf(u,y1y)dufY(y2y)

FX|Y(x|y)limP(Xx|yyy)y0xf(u,y)dufy(y)

即在Yy条件下连续随机变量X的条件概率密度

fX|Y(x|y)f(x,y)dFX|Y(x|y)

fY(y)dx同理，设X的概率密度fX(x)0，则在Xx条件下连续随机变量Y的条件分布函数 FY|X(y|x)yf(x,v)dvfX(x)

条件概率密度 fY|X(y|x)f(x,y)dFY|X(y|x)

fX(x)dy【例5】 设平面区域D{(x,y)|x0,y0,2xy2}，二维连续随机变量

(X,Y)服从D上均匀分布，分别求X及Y条件概率密度.

解：已知(X,Y)及X、Y的概率密度分别为

1,x0,y0,2xy2, f(x,y)0,其他y2(1x),0x11,0y2，fY(y)2, fX(x)0,其他其他0,则当0y2时，X的条件概率密度

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y1,0x1f(x,y)y2fX|Y(x|y)1.

fY(y)2其他0,当0x1时，Y的条件概率密度

1,0y22xf(x,y). fY|X(y|x)2(1x)fX(x)其他0,【例6】设数X在区间(0,1)上随机地取值，当观察到Xx（0x1）时，数Y在区间(x,1)上随机地取值，求Y的概率密度.

1,解 按题意，X的概率密度函数为fX(x)0,0x1else

对于任意给定的x（0x1），在Xx条件下，Y的条件概率密度为

1,xy1 fYX(yx)1x0,else从而(X,Y)的联合概率密度为

1,f(x,y)fYX(yx)fX(x)1x0,于是得到Y的边缘概率密度为

0xy1else

fY(y)

y1dxln(1y),f(x,y)dx01x0,0y1else

【内容小结】 1.边缘分布； 2.条件分布.

作业：教材85页7,9,10题.

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