北京市八一学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

高一 数学 考试时长90分钟

一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,

班 级 姓 名 学 号 考场号 选出符合题目要求的一项. 1．与−30。终边相同的角是( ).

(A) −330。 (B) 30。 (C) 150。 (D)330。

2．函数y=cos2x+的最小正周期为( ). 4(A)  (B) 2 (C)

2 (D)

4

3. 若满足sin0,tan0，则的终边在( ).

(A)第一象限

(B)第二象限

。(C) 第三象限 (D) 第四象限

4. 半径为1cm，圆心角为120的扇形的弧长为 ( ) .

(A)

cm 3 (B)

2cm 3 (C)

1cm 3 (D)

2cm 35. 已知a=(m,−2),b=(3,1),若a+b//b,则实数m=( ).

(A) 3 (B) −3 (C) 6 (D) −6

()6. 已知tan=−(A) −6

−2cos2，则的值为( )

sin+cos334(B) − (C) −

43(D)

3 47. 为了得到y=sin(2x+)的图像，则只要将y=sin2x的图像( ).

3(A) 向左平移

6个单位长度 (B) 向左平移个单位长度 (D) 向右平移

3个单位长度 个单位长度

(C) 向右平移

63

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8. 如图，一个大风车的半径为8 m，每12min旋转一周，最低点离地面2m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是( ).

 t+10 6  (C) h=−8sint+10

6(A) h=8cos  t+10 3  (D) h=−8cost+10

6(B) h=−8cos9．已知函数f(x)=Asin(x+)+b(A0,0,||2)的部分图像如图所示， 给出下列结论：

y1π ①振幅为1，周期为 2；②振幅为2，周期为；

5,−1 为f(x)图像的一个对称中心； ③点3④f(x)在[−3Oπ12-1x2317,−]上单调递减． 1212-3其中所有正确结论的序号是( ).

(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ②④

10．已知0，顺次连接函数y=sinx与y=cosx的任意三个相邻的交点都能构成

一个等边三角形，则=( ) (A) (B)

64 (C) (D) 3 23二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 11. tan5的值为__________． 3345512. 已知角的终边与单位圆交于点P−,，则tan=__________.

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13. 如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，向量a用e1，e2 表示为a=xe1+ye2，则x+y=_____________.

14. 已知角A是ABC的一个内角，若tanA−3,则角A的取值范围是_____________. 15. a与b是两个单位向量， a+b=1，则当t=______时，a+tb取得最小值. 16. 如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AD=CD=1AB，若P为ABC三条边上的一个2动点，且AP=mAB+nAD，则下列结论中正确的是________.(把正确结论的序号都填上) ①满足m=1的点P有且只有1个； 2②满足m+n=1的点P有且只有2个； ③能使m+n取最大值的点P有且只有2个； ④能使2m+n取最大值的点P有无数个.

三、解答题:本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分8分）

已知角为第二象限角，且sin=25． 5sin(−)−sin−2（Ⅰ）求cos的值；（Ⅱ）求 的值.

3cos(−)+cos−218. （本小题满分8分） 将函数f(x)=sin(2x+)(||2)的图象上所有的点向左平移

6个单位长度得到函数

y=cos2x的图象.求：

（Ⅰ）的值; （Ⅱ）f(x)的单调递减区间、对称轴方程及对称中心.

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19. （本小题满分10分）

某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)0,时，列表并填入了部分数据，如表：

 在某一个周期的图像2x+ x 0 2  ③ 0 123 2④ 2 ⑤ 0 ① 0 ② 2 Asin(x+) 12−2 选择下面三个条件之一，完成作答． 条件一：①

，②

3； 条件二： ①，③

1357； 条件三： ④，⑤． 12126（Ⅰ）我选择条件_____,请直接写出函数f(x)的解析式和最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在5． ,上的最值，并写出相应的x值；

612（Ⅲ）若对x5,，不等式|f(x)−a|6恒成立，求实数a的取值范围． 612,xn),=(y1,y2,,yn),

20. （本小题满分10分）

给定正整数n≥2，任意的有序数组=(x1,x2,定义：=x1y1+x2y2++xnyn,=

（Ⅰ）已知有序数组=(2,1,0,−1),=(1,0,−1,0)，求及；

（Ⅱ）定义：n行n列的数表A，共计n个位置，每个位置的数字都是0或1；任意两行都至少有一个同列的数字不同，并且有只有一个同列的数字都是1；每一行的1的个数都

2‘n−a表’是a;称这样的数表A为.

‘n−a表’①求证：当n=4时，不存在；

‘n−a表’②求证：所有的的任意一列有且只有a个1.

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2022～2023学年度第二学期期中试卷

高一 数学 答案

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.

1. D 2. A 3. C 4. B 5. D 6. A 7. A 8. D 9. D 10. B

二、填空题共6小题,每小题4分,共24分. 11. −3 12. −4 13.−1 14. 30,212 15. 16. ②④ ,32三、解答题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.（本小题8分）

已知角𝜃为第二象限角，且sin=25． 5sin(−)−sin(−)2的值. （Ⅰ）求cos的值；（Ⅱ）求

3cos(−)+cos(−)2解：（Ⅰ）sin+cos=1

22cos2=1−201= 255 角𝜃为第二象限角cos=−5. 52555sin(−)−sin−−2sin+cos5=5=−1 ==5（Ⅱ）

33cos−sin52535cos(−)+cos−−−−2555法2：易得tan=−2，则18. (本小题8分)

解：(1)函数f(x)=sin(2x+)(||sin+costan+1−2+11===−

cos−sin1−tan1+232)的图象向左平移

6个单位后得到

f(x+)=sin[2(x+)+]=sin(2x++)=cos2x，

663所以

3+=2+2k,kZ，

1 / 3

所以=6+2k,kZ， ，

因为||所以=26.

(2)由(1)知f(x)=sin(2x+令2k+6)，

22x+63+2k，kZ， 22+k，kZ，

632所以f(x)的单调递减区间为[k+,+k]，kZ.

63 k由2x+=+k得，对称轴方程为x=+,kZ解得k+x6226由2x+6=k得，x= k−,kZ212所以对称中心为k−,0,kZ 21219. (本小题10分)

解：（Ⅰ）函数的解析式为：f(x)=2sin(2x−)，最小正周期为；

6（Ⅱ）当

6==x652时，2x−，

66312当2x−当2x−6时，即x=时，即x=6时，f(x)取得最小值1； 时，f(x)取得最大值2；

623（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，任意的x5时，f(x)1,2. ,612由f(x)−a6可得，f(x)−6af(x)+6

f(x)−6的最大值为−4，f(x)+6的最小值为7

则a的取值范围是−4,7.

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20.（本小题10分）

参考作答：

（1）|𝛼|=√6、|𝛼∙𝛽|=2；

（2）数表A的第𝑖行构成一个有序数组记为𝑟𝑖，则|𝑟𝑖|=𝑎，𝑟𝑖∙𝑟𝑗=1(𝑖≠𝑗)； ①当𝑛=4时，𝑎=0,1,2,3,4

𝑎=0,M={𝑟𝑖|𝑖=1,2,3,4}⊆{0000}，这与M有4个元素矛盾；同理𝑎=4,M⊆{1111}，矛盾；

𝑎=1,M⊆{0001,0010,0100,1000}，0=𝑟𝑖∙𝑟𝑗=1(𝑖≠𝑗)矛盾；同理𝑎=3,M⊆{0111,1011,1101,1110}，2=𝑟𝑖∙𝑟𝑗=1(𝑖≠𝑗)，矛盾；

𝑎=2,M⊆{0011,0101,0110,1001,1010,1100}，M也不能满足𝑟𝑖∙𝑟𝑗=1(𝑖≠𝑗)。 故知，𝑛=4时，不存在𝑛−𝑎表。

②数表A中只有0或1，每一行的1的个数都是𝑎，故数表中的1的总数是𝑛𝑎. 第𝑖行组成有序数组记为𝑟𝑖，第𝑗列构成有序数组记为𝑐𝑗. |𝑟𝑖|=𝑎,∑𝑛𝑖=1|𝑟𝑖|=𝑛𝑎,往证|𝑐𝑗|=𝑎

首先，𝑎=0或1时，有𝑖≠𝑗时𝑟𝑖∙𝑟𝑗=0≠1，不合题意。 其次，𝑎≥2时，若存在|𝑐𝑗|≥𝑎+1. 不妨记为|𝑐1|≥𝑎+1，

则第一列至少有𝑎+1个1，不妨记为前𝑎+1行的第一列都是1；这𝑎+1行的每一行都另有𝑎−1个1，并且这(𝑎+1)(𝑎−1)=𝑎2−1个1都在不同列中。

于是数表至少有𝑎2−1+1=𝑎2列，即𝑛≥𝑎2，故第一列不是1的行至少有𝑎2−𝑎−1行；

取第一列不是1的某行（不妨记为第𝑖行），则它与前𝑎+1行中的每一行都有且只有1个同列的1；

又前𝑎+1行的第一列之外的所有1（共𝑎2−1个）都在不同列中，故第𝑖行就出现了𝑎+1个1，与|𝑟𝑖|=𝑎矛盾。

故存在|𝑐𝑗|≥𝑎+1不成立，即∀𝑗∈{1,2,3,...,𝑛},|𝑐𝑗|≤𝑎成立

𝑛由∑𝑛𝑗=1|𝑐𝑗|=∑𝑖=1|𝑟𝑖|=𝑛𝑎，故|𝑐𝑗|=𝑎，需证成立。

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