概率论与数理统计总结之第四章

数学期望：

设离散型随机变量X的分布律为P{Xxk}pk,k1,2,…

若级数k1即E(X)=k1xkkpk绝对收敛，则称级数k1xkpk的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),

xpk

设连续型随机变量X的概率密度为f(x),

若积分xf(x)dx绝对收敛，则称积分

xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为

E(X),即E(X)=xf(x)dx数学期望简称期望，又称为均值

数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布也称E(X)是这一分布的数学期望

定理

设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数）

1）X是离散型随机变量，它的分布律为则有E(Y)E(g(X)P{Xxk}pk,k1,2,…，若

g(x)pkk1k绝对收敛，

g(x)pkk1k

2）X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x）。若E(Y)=E[g(X)]=g(x)f(x)dx绝对收敛，则有

g(x)f(x)dx

数学期望的几个重要性质：

1.设C是常数，则有E(C)=C

2.设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)

若A,B相互独立，则有E(AB)=E(A)E(B)

3.设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)

方差

22E{[XE(X)]}E{[XE(X)]}为X的方差，记为设X是一个随机变量，若存在，则称2E{[XE(X)]} D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=

D(X),记为σ（X)，称为标准差或均方差

对于离散型随机变量，

D(X)[xkE(X)]2pkk1

对于连续型随机变量，

D(X)[xE(X)]2f(x)dx

22D(X)E(X)[E(X)]随机变量X的方差计算公式：

方差的几个重要性质：

1.设C是常数，则D(C)=0

2D(CX)CD(X) 2.设X是随机变量，C是常数，则有

3.设X,Y是两个随机变量，则有

D(XY)D(X)D(Y)2E{(XE(X))(YE(Y))}

特别地，若X,Y相互独立，则有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

4.D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X)

定理：（切比雪夫不等式）

设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=，则对于任意正数，不等式

22P{|X|}2成立

协方差及相关系数

量E{[XE(X)][YE(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),即

Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}

Cov(X,Y)D(X)D(Y)称为随机变量X与Y的相关系数

而

XYXY是一个无量纲的量

Cov(X,Y)Cov(Y,X),Cov(X,X)D(X)

Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)

协方差的性质有：

1.Cov(aX,bY)abCov(X,Y),a,b是常数

2.Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)

当|XY|较大时，X,Y线性相关的程度较好，当|XY|较小时，X,Y线性相关的程度较差，当XY=0，称X和Y不相关

若X,Y独立，则其不相关，但若X,Y不相关，并不能说明其独立

矩、协方差矩阵

kE(X),k1,2,…存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩 设X,Y是随机变量，若

kE{[XE(X)]},k2,3,…存在，称它为X的k阶中心矩 若

klE(XY),k,l1,2,…存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩 若

klE{[XE(X)][YE(Y)]},k,l1,2,…存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩 若

设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的二阶混合中心矩

cijCov(Xi,Xj)E{[XiE(Xi)][XjE(Xj)]},i,j1,2…,n

都存在，则称矩阵

c11cC21^cn1c12c22^cn2^^^c1nc2ncnn

为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵

由于

cijcji(ij,i,j1,2,^,n)，因而上述矩阵是一个对称矩阵