教案(16)

§2、连续函数 授课题目（教学章、节或主题） 授课时间 安 排 授 课 类 型 理论课□√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课程□ 其他□ （请打√） 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 理解函数的连续性定义 掌握连续函数的基本性质 第 周第 节 教学器材与工具 多媒体 教学重点及难点： 重点：函数的连续性定义 难点：复合函数的连续性 教 学 基 本 内 容 1、函数的连续性定义。 2、反函数的连续性。 3、复合函数的连续性 教学过程设计： §2、连续函数 一、连续性定义 考察如下函数图象 y yx2y ysgnxy y1xo o x x o x 可见,yx2在x0处没“断开”,这时我们说yx2在x0处连续,而ysgnx及y1的图象都在x0处“断开”,这时,我们说ysgnx及xy

1x都在x0处间断. 1

分析: f(x)在x0处不“断开”的特征: 0 (1)f(x)在x0有定义，即f(x0)存在； (2)limf(x)存在；0xx0(3)limf(x)f(x0).xx00 以上三点可合写为: xx0limf(x)f(x0). 定义.设f(x)在x0的某邻域内有定义.若 xx0limf(x)f(x0) 则称 f(x)在x0处连续.否则称f(x)在x0间断. 00(1)前面三点(10)、(2)、(3)只要有一条不满足,都可断定f(x)在x0处间断. (2)若记xx0x,yf(x0x)f(x0),则f(x)在x0连续limylimf(x0x)f(x0)0 x0x0可写为: (3)若f(x)在(a,b)中每一点连续,则称f(x)在(a,b)内连续. f(x)在(x0,x0]上有定义,若 xx0定义.设limf(x)f(x0) 则称 f(x)在x0左连续. 若f(x)在[x,0x0)上有定义,若 xx0limf(x)f(x0) 则称 f(x)在x0右连续. 定义:若f(x)在(a,b)内连续,在xa右连续,在xb左连续,则称f(x)在a,b上连续. (1)若f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)的图象是一条“有头有尾” 2

的连续曲线; (2)闭区间上的连续函数有许多很好的性质.这将在以后讲到. yyf(x)oabx 例.证明f(x)sinx在(,)内连续. 0证明:任取x(,),由于 xx02sinxx022sinxx02xx00sinxsinx02cos 故limsinxsinx0,从而0xx0xx0limsinxsinx0. 所以f(x)在(,)上连续. 定理:基本初等函数都是其定义域内的连续函数. 定理:连续函数的和、差、积、商(分母不为0)都是连续函数. 证明:由极限四则运算可得. 二、反函数的连续性 定理:设 f(x)在a,b上连续且严格单调,则其反函数xf1(y)也在相应定义域上连续且有同样的单调性. 证明:略. 三、复合函数的连续性 定理.若ug(x)在x0连续,g(x0)u0,又yf(u)在u0连续,则复合函数 yf(g(x))在点x0连续. 证明:对0,由limf(u)f(u),知存在0uu00,使0uu0时,有 f(u)f(u0)对上述.由 xx0limg(x)g(x0)u0,知存在0,使0xx0 3

时,有 g(x)u0由此知,当0 xx0时,有 f(g(x))f(g(x0))f(g(x))f(u0) 即 xx0limf(g(x))f(g(x0)).从而f(g(x))在x0连续. 由连续函数的四则运算及复合函数连续性定理,可得 定理.所有初等函数都在其定义区间上连续. 注:求初等函数f(x)在例.limx1x0的极限时,若f(x0)存在,则求极限等价于求函数值. 112x122 注: f(x)在xx0x0连续 xx0xx0limf(x)f(x0)limf(x)f(limx)， 即lim与f可交换.如因ln u连续,故limlnf(x)ln(limf(x)). xx0xx0xx0例.设limf(x)0,limg(x)xx0,证明limf(x)g(x). xx0 证明:由e与lnu的连续性,可得 ulimf(x)xx0g(x)limexx0g(x)lnf(x)limexx0g(x)lnf(x)eln 注:此题结论可作为公式使用,对例.求极限. (1)lim(xx等情况,此题的结论也是成立的. x1x12x11)x1 ; (2)lim(cosx)x2 x0 解:(1)limx(x1x12x1)x111 1221 (2) 22lim(cosx)xlim(1sinx)2x x0x0 4

22sinxlim1(sinx)x01sin22x2xe121e 教学方法及手段（请打√）：讲授□√、讨论□、多媒体讲解□√、模型、实物讲 解□、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 作业: P99: 1(3)，7(3) 参考资料（含参考书、文献等）： 课后小结： 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。

5