高考之含参数不等式恒成立问题(学生)

恒成立问题即：xI,p(x)。在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现含参数不等式恒成

立问题， 题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想、分类讨论思想，是高考热点题型之一。

1 转换主元

首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法常适用于化为一次函数。

对于一次函数f(x)kxb,x[m,n]有：

f(m)0f(m)0 f(x)0恒成立,f(x)0恒成立f(n)0f(n)0 例1：若不等式 2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。

例2：设函数f(x)a332xx(a1)x1,其中a为实数。 32（Ⅰ）已知函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）已知不等式f(x)xxa1对任意a(0,)都成立，求实数x的取值范围。

'22 化归二次函数法

根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。

对于一元二次函数f(x)axbxc0(a0,xR)有： （1）f(x)0在xR上恒成立a0且0； （2）f(x)0在xR上恒成立a0且0

2例3：在R上定义运算：xy＝(1－y) 若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则 ( )

1331 (A)－12222

2

aa例4：已知向量=(x,x+1), b=(1-x,t) 若函数f(x)＝·b在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围。

例5：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。

3 分离参数法

在题目中较容易分离出参数，化成a>f(x) （afmax(x) （a（1）f(x)m对任意xI都成立f(x)min(xI)m； （2）f(x)m对任意xI都成立mf(x)max(xI)。

简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例6：已知f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1,都有f(x)0成立，则实数a的值为 ．

例7：已知函数f(x)x2alnx.

（1）当a2e时，求函数f(x)的单调区间和极值。 （2）若函数g(x)f(x)

2在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围。 xK=1 4.数型结合法

例8：如果对任意实数x，不等式x1kx恒成立，则实数k的取值范围是

1例9：已知a>0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范围

2

1 此外，我们还有一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理（利用集合的包含关系）。如下题的第二问

例10：已知函数f(x)x3ax2x1，aR．

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设函数f(x)在区间，内是减函数，求a的取值范围．

2313在解综合性较强的不等式恒成立问题时，有时一题多法。应以题为本，关键抓住恒成立的本质，具体问题具体分析，灵活运用这几种方法，选择最行之有效的方法，而不要拘泥于一种方法。