一、基础知识
1.图形的平移可以转化为点的平移。坐标平移规律： ①左右平移时，横坐标进行加减，纵坐标不变； ②上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减；
③坐标进行加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进行。
2.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）
3.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 二、对理解本节课知识点的例题及其解析
【例题1】将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A． y=（x﹣1）2+4
B． y=（x﹣4）2+4
B． C． y=（x+2）2+6 D． y=（x﹣4）2+6 【答案】B
【解析】考点是二次函数图象与几何变换．根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2．
将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4
【例题2】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ）
A.（ 0，1） B.（ 1，1） C.（0，1） D.（1，0） 【答案】B
【解析】旋转中心点P应位于AA、BB、CC的垂直平分线的交点上，BB的垂直平分线是x=1，所以P的横坐标为1，在x=1上找一点使PAPA、PCPC,可得P的坐标为（1，1）.
【例题3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标 ； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．
【答案】见解析
【解析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数； 如图所示，A1坐标为（﹣2，﹣4）， 故答案为：（﹣2，﹣4）；
（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；如图所示．
（3）利用△ABC旋转时BC线段扫过的面积S扇形BOB2﹣S扇形COC2即可求出． ∵
，OB=
，
∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积 S扇形BOB2﹣S扇形COC2=
﹣
=
=
．
三、图形变换问题训练题及其答案和解析
1．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是（ ）
A．105° B．115° 【答案】C
【解析】根据等腰三角形的性质和 特殊直角三角形的性质即可得到结果．
C．120°
D．135°
∵DE=DF，∠EDF=30°，
∴∠DEF=（180°﹣∠EDF）=75°， ∴∠DEC=105°， ∵∠C=45°，
∴∠CDE=180°﹣45°﹣105°=30°， ∴∠BDN=120°
2．如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则B′点的坐标为 ．
【答案】（
，
）．
【解析】作B′E⊥x轴，设OD=x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，再由△ADO∽△AB′E，求出B′E和OE．
作B′E⊥x轴， 易证AD=CD， 设OD=x，AD=5﹣x，
在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：22+x2=（5﹣x）2， 解得：x=2.1， ∴AD=2.9， ∵OD∥B′E， ∴△ADO∽△AB′E， ∴∴解得：B′E=AE=∴OE=∴B′（
， ﹣2=，
． ）．
， ， ，
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD得到△AOB的过程： ．
【答案】△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．
【解析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程． △OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）． 故答案为：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．
4．△ABC的三个顶点的坐标分别为A如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
【答案】见解析
【解析】分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求． （1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；
（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形； （3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4）， ∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16， 令y=0，则x=16/5， ∴P点的坐标（
，0）．
5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2．﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0）
C．（4，0）或（﹣4，0） D．（5，0）或（﹣5，0） 【答案】D
【解析】根据题意画出图形，发现有两种情况：①对角线交点落在x轴正半轴上，②对角线交点落在x轴负半轴上；先求平移后的四边形A1B1C1D1对角线交点E1的坐标，求OE1的长，从而求出结论． 由题意得：A1（0，0），C1（6，8），
根据四个点的坐标可知：四边形ABCD是平行四边形， ∴对角线交点E1是A1C1的中点， ∴E1（3，4），
由勾股定理得：A1E1=5，
当对角线交点落在x轴正半轴上时，对角线的交点坐标为（5，0）， 当对角线交点落在x轴负半轴上时，对角线的交点坐标为（﹣5，0）。
6．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（ ）
A． （4，8） B． （5，8） C． （【答案】C
【解析】 此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
由四边形ABCD为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到OA=OD，两对角相等，利用HL得到直角三角形BOC与直角三角形BOD全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到OE=EB，在直角三角形OCE中，设CE=x，表示出OE，利用勾股定理求出x的值，确定出CE与OE的长，进而由三角形COE与三角形DEF相似，求出DF与EF的长，即可确定出D坐标．
，
） D． （
，
）
∵矩形ABCD中，OA=8，OC=4， ∴BC=OA=8，AB=OC=4，
由折叠得到OD=OA=BC，∠AOB=∠DOB，∠ODB=∠BAO=90°， 在Rt△CBP和Rt△DOB中，
，
∴Rt△CBP≌Rt△DOB（HL）， ∴∠CBO=∠DOB，
∴OE=EB，
设CE=x，则EB=OE=8﹣x，
在Rt△COE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2=x2+42， 解得：x=3，
∴CE=3，OE=5，DE=3，
过D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE， ∴
=
=
，即
==
，
解得：DF=∴DF+OC=则D（
，
，EF=， +4=）
，CF=3+=
，
7．如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，
的值为 ．
【答案】．
【解析】首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．
延长NF与DC交于点H，
∵∠ADF=90°， ∴∠A+∠FDH=90°，
∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN， ∴∠A=∠DFH， ∴∠FDH+∠DFH=90°， ∴NH⊥DC，
设DM=4k，DE=3k，EM=5k， ∴AD=9k=DC，DF=6k， ∵tanA=tan∠DFH=， 则sin∠DFH=， ∴DH=DF=∴CH=9k﹣∵cosC=cosA=∴CN=CH=7k， ∴BN=2k， ∴
=．
k， k=
k， =，
8．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（ ）
A．
B．
C．3 D．
【答案】B
【解析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合， ∴∠B=∠EAF=45°， ∴∠AFB=90°， ∵点E为AB中点， ∴EF=AB，EF=， ∴AB=AC=3， ∵∠BAC=90°， ∴BC=
=3
9．如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（ ）
A． 65° B． 50° C． 60° D． 57.5° 【答案】B
【解析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来， ∴AD=DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD=BD，∴BD=DF，∴∠B=∠BFD，
∵∠B=65°，
∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．
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