集合的含义与表示

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集合的含义与表示

☆知识点☆

★1、集合的概念：

一般地, 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合， 集合中每一个对象叫做这个集合的元素

★2、集合元素的特征：确定性，互异性，无序性

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，

或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），

因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通

常按照习惯的由小到大的顺序书写

即时练习：判断下列各组对象能否构成一个集合？ ① 2，3，4

②（2，3），（3，4） ③ 三角形

④ 2，4，6，8，„

⑤ 1，2，（1，2），{1，2} ⑥ 我国的小河流

⑦ 方程x240的所有实数解 ⑧ 好心的人 ⑨ 著名的数学家 ⑩ 方程x22x10的解

★3、集合相等： 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A＝B.

如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等； {2，3，4}与{3，4，2}相等； {2，3}与{3，2}相等.

“与2相差3的所有整数所组成的集合”，即xNx231,5 思考：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}相等吗？ ★4、集合元素与集合的关系:

集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA ★5、常用数集及其记法:

N表示：非负整数集（或自然数集） N*或N+表示：除0的非负整数集 Z表示：整数集 Q表示：有理数集

R表示：实数集 ★6、集合的分类：

1、有限集：含有有限个元素的集合。

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2、无限集：含有无限个元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。记作，如：xRx210

★7、集合的表示方式：

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；

（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法） （3）图示法：韦恩图(Venn图)

A、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

例如，“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}

由“young中的字母” 构成的集合，写成{y,o,u,n,g} 由“book中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}

注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：

{51，52，53，„，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，„} （2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

B、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{ x∈A| P（x）}

含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。 例如，“中国的直辖市”构成的集合，写成{

xx为中国的直辖市}；

“young中的字母” 构成的集合，写成{xx为young中的字母}； 不等式x12的解集可以表示为：xRx12或xx3,xR

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

C、图示法：韦恩图(Venn图):

用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. 注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合x2,3x2,5y3x,x2y2

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合(x,y)yx21；集合{1000以内的质数}



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★基础例题：

☆例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？（是就在括号里打“√” ，不是就在括号里打“×” ）

（1）所有3的倍数（ ）（2）很大的数的全体（ ） （3）中国的直辖市（ ） （4）young中的字母（ ） （5）book中的字母（ ）（6）所有的偶数（ ）

（7）所有直角三角形（ ）（8）满足3x-2>x+3的全体实数（ ）

（9）方程x2x10的实数解（ ） ☆例2：用列举法表示下列集合：

(1) 小于10的所有自然数组成的集合；

2合; （2）方程xx的所有实数根组成的集

(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．

☆例3：回答下列问题：

①A={1,3},问3，5哪个是A的元素？

②B={素质好的人}能否表示成为集合？

③C={2，2，4}表示是否正确？

④D={太平洋，大西洋} ，E={大西洋，太平洋}，集合 D ,E是不是表示相同的集合？

☆例4：若方程x25x60和方程x2x20的解为元素的集合为M,则M中元素的个数为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4 ☆例5：试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）由大于10小于20的的所有整数组成的集合；

（2）方程x222的所有实数根组成的集合.

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★基础巩固练习：

1、下列指定的对象，能构成一个集合的是（ ） ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 A、②③④⑥⑦⑧ B、②③⑥⑦⑧ C、②③⑥⑦ D、②③⑤⑥⑦⑧ 2、填空：①0  (填∈或) ②{0}  (填＝或≠) 3、已知2是集合0,a,a23a2中的元素,则实数a为( ) A、2 B、0或3 C、3 D、0,2,3均可 4、用集合表示：

①x230的解集;

②所有大于0小于10的奇数; ③不等式2x－1＞3的解. 5、用符合“∈”或“”填空：

(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则：

中国______ A；美国_______A；印度_______A；英国______A (2)若A={x|x2x}, 则－1______A； (3)若B={x|x2x60},则3______B；

(4)若C={x∈N|1≤x≤10}，则8______C， 9.1______C；

6、判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×” (1)所有在N中的元素都在N*中（ ） (2)所有在N中的元素都在Ｚ中( )

(3)所有不在N*中的数都不在Z中（ ） (4)所有不在Q中的实数都在R中（ ）

(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ ） (6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ ） 7、下列各组对象能确定一个集合吗？（是就在括号里打“√” ，不是就在括号里打“×” ） （1）所有很大的实数（ ）（2）好心的人（ ）（3）1，2，2，3，4，5．（ ）

8、设a,b是非零实数，那么

aabb可能取的值组成集合的元素是_____________

9、由实数x,x,x, x2，3x3所组成的集合，最多含（ ） A、2个元素 B、3个元素 C、4个元素 D、5个元素 10、下列结论不正确的是( )

A、O∈N B、2Q C、OQ D、-1∈Z 11、下列结论中，不正确的是( )

A、若a∈N，则-aN B、若a∈Z，则a2Z

3C、若a∈Q，则｜a｜∈Q D、若a∈R，则aR

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12、求数集1,x,x2x中的元素x应满足的条件

13、请用列举法表示下列集合： （1）小于5的正奇数.

（2）能被3整除且大于4小于15的自然数.

（3）方程x290的解的集合.

14、请用描述法表示下列集合： （1）到定点距离等于定长的点.

（2）由适合x2x20的所有解组成集合.

3x2y2（3）方程组的解集

2x3y27

15、用描述法分别表示: （1）抛物线x2y上的点.

（2）抛物线x2y上点的横坐标.

（3）抛物线x2y上点的纵坐标.

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16、用描述法表示下列集合：

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

17、用列举法表示下列集合：

①{xNx是15的约数}

② (x,y)x1,2,y1,2

xy2(x,y)③

x2y4

④xx(1)n,nN

⑤(x,y)3x2y16,xN,yN

⑥{(x,y)x,y分别是4的正整数约数}

618、集合BmZN*中有几个元素，你能列举出来吗？

3m

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19、已知Ayyx21,xR，Bxxt21,tR，C(x,y)yx21,xR，

问集合A与B相等吗？集合A与C相等吗？

20、写出不等式2x23x12(x1)(x1)的解集，并化简。

21、给出下列表述：①联合国常任理事国②充分接近2的实数的全体③方程

x2x10的实数根④全国著名的高等院校。以上能构成集合的是（ ）

A、①③ B、①② C、①③④ D、①②③④ 22、集合{ x1，2，x21}中的x不能取的值是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 23、下列集合中，表示同一集合的是（ ）

A. M={(3,2)},N={(2,3)} B. M={3,2},N={(3,2)} C. M={(x,y)∣x+y =1},N={y∣x+y =1} D. M={3,2},N={2,3} 24、若3x1,3x,x21，则x xy225、方程组 的解集用列举法表示为 _________ ，用描述法表示为

xy5___________ 。

26、两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为

___ ，用描述法表示为 ____ 。 27、已知集合Axax22x10,aR,xR

①若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个集合； ②若A中至多只有一个元素，求a的取值范围；

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28、用列举法表示下列集合：

①xxy7,xN*,yN*

②(x,y)xy7,xN*,yN*

③yyx21,2x3,xZ

29、设集合B={xN∣

6N} 2x（1）试判断元素1，元素2与集合B的关系 （2）用列举法表示集合B

★提高性经典例题：

☆例1：若集合Ma,b,c中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 ☆仿例：

1、已知集合Ax,xy,x2y，Bx,xm,xm2,且A与B相等，求m的值。

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2、已知集合A2,4,6，若aA，且6aA，求a的值。

☆例2：判断下列各组对象能否构成一个集合：（能就在括号里打“√” ，不能就在括号里打“×” ） （1）高一（5）班的所有帅哥（ ）（2）全校身高超过185cm的部分女生（ ） （3）方程x210的所有实数根（ ）（4）2近似值的全体（ ） （5）大于5的所有负数（ ）

☆例3：设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：

1S ①1S； ②若aS，则1a 请解决下列问题：

（1）若2S，则S中必有另外两个数，求出这两个数。

1（2）求证：若aS，则1S

a（3）在集合S中元素能否只有一个？若能，把它求出来，若不能，请说明理由。

☆例4：有下面六种表示方法：

①x1,y2； ②(x,y)x1y2； ③1,2； ④(1,2)； ⑤(1,2)； ⑥x,yx1,y2；

2xy0其中，能正确表示方程组的解集的是_______________（把所有正确答案

xy30的序号填在空格上）

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☆仿例：

3、集合Ayyx21，集合B(x,y)yx21（A，B中xR，yR），选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）

A、2A，且2B B、(1,2)A，且(1,2)B C、2A，且(3,10)B D、

(3,10)A，且2B

☆例5：用列举法表示下列集合：

9（1）AxN,xN；

9x

（2）Byyx26,xN,yN

☆仿例：

4、用列举法表示下列集合：

99（1）A1y,xN,yN； A2(x,y)y,xN,yN

9x9x

（2）B1xyx26,xN,yN； B2(x,y)yx26,xN,yN

5、用列举法表示下列集合，并写在横线上：

x2y22（1）方程组的解集；

xy0（2）集合Bxx22x10； （3）集合C(x,y)yx21,x2,xZ；

学大教育个性化教学教案

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8（4）集合DxxN,且Z；

1x8（5）集合FZxN

1x☆例6：用描述法表示下列集合：

（1）正偶数集；

（2）被3除余2的正整数集合；

（3）直角坐标平面内坐标轴上的点的集合；

（4）使函数y1x(x1)(x1)有意义的实数x的范围；

（5）1,22,32,42,

☆仿例：

6、用图示法表示集合集合Ax1x1或2x3,xR

7、用描述法表示图1中阴影部分（含边界）的点的集合。

☆例7：用适当的方法表示下列集合：

（1）由所有非负偶数组成的集合；

（2）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；

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（3）x29的一次因式组成的集合；

（4）方程(x1)(x2)(x25)0的解组成的集合；

（5）平面直角坐标系内第三象限的所有点组成的集合；

（6）两条直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2的交点的集合；

（7）不等式3x42x的解集。

☆例8：下列命题：

①方程x2y20的解集为2,2

②集合yyx21,xR与yyx1,xR的公共元素所组成的集合是0,1 ③集合xx10与集合xxa,aR没有公共元素 其中判断正确的个数为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3 ☆例9：已知集合Axax22x10

（1）若A中没有任何元素，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的取值范围； （3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围； （4）若A中至多有一个元素，求a的取值范围；

学大教育个性化教学教案

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☆仿例： 8、已知集合A

☆例10：定义集合运算：ABzzxy,xA,yB，设A1,2，B0,2，则集合AB的所有元素之和为（ ）

A、0 B、2 C、3 D、6

☆仿例：

ax21有唯一实根a关于x的方程

2x1，求集合A

1,2，B0,2，9、定义集合运算：ABxxab,aA,bB，设A则集合AB的所有元素之和为____________

1,4,9,16,，若aP,bP,则abP，则运算可能是（ ） 10、集合P A、除法 B、加法 C、乘法 D、减法

提高练习

1、下列对象能构成集合的是（ ） A、啸仙中学所有美女 B、河源中学部分体育生

C、啸仙中学初一年级全体男生 D、河源市区所有高楼 2、已知Ax33x0，则有（ ）

A、3A B、1A C、0A D、1A

xy23、方程组的解集是（ ）

x3y11 C、(1,1) D、(x,y)(1,1) A、x1,y1 B、4、已知x21,0,x，则实数x________________

65、用列举法表示集合DNxN为D__________________

1x6、已知x,y都是非零实数， zxyxy可能的取值组成集合A，则（ ） xyxy A、2A B、3A C、1A D、1A

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7、设A，B为两个实数集，定义集合ABxxx1x2,x1A,x2B，若A1,2,3，

B2,3，则A+B中元素的个数为（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6 8、用描述法表示图中阴影部分（不含边界）的点构成的集合。

3x219、用图形表示不等式组的解集。

2x15

10、设yx2axb，集合Axyxa ，M(a,b)，求M

11、下列指定的对象，能构成一个集合的是 ①很小的数 ②不超过30的非负实数 ③直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点 ④π的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 12、用适当的方法表示下列集合

①由24与30的所有公约数组成的集合: ②大于10的所有自然数组成的集合: ③所有正偶数组成的集合:

④直角坐标系中，第二象限内的点构成的集合: ⑤抛物线yx2上的所有点组成的集合: 13、把下列集合用另一种方法表示出来

①xx2x60 ②(x,y)yx2x6,xR ③(x,y)xy5,xN,yN) 14、将集合{x│-3x3，x∈N}，用列举法表示出来的是（ ） A、{-3，-2，-1，0，1，2，3} B、{-2，-1，0，1，2} C、{0，1，2，3} D、{1，2，3}

学大教育个性化教学教案

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15、下面对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（ ） A、{x│x是小于18的正奇数} B、{x│x=4k+1，k∈z且k<5} C、{x│x=4t-3，t∈N且t5} D、{x│x=4s-3，s∈N+且s<6}

16、已知集合A={x│ax22x10，x∈R}，其中a∈R，若A中有且仅有一个元素，

求a的值组成的集合B。