2017高考精选高难度压轴填空题----平面向量

2BCAP＝_____________

解析：

17BCAP(ACAB)(AQQP)(ACAB)AQ(ACAB)(ABAC)22A P B

Q C

2.已知OA1,OB3,OAOB0，点C在AOB内，AOC30o.

B C m设OCmOAnOB(m,nR)，则等于

nO

A

【答案】3

[解析]：法一：建立坐标系，设C(x,y)则由OCmOAnOB(m,nR)得

xmym(x,y)m(1,0)n(0,3)而AOC300故tan300

x3ny3n法二：OCmOAnOB(m,nR)两边同乘OA或OB得

OCOAmOCOCOB3nOC3m2两式相除得m3

n133n22

3.在△ABC中，若ABACABCB4，则边AB的长等于2解析：ABACABCB4AB(ACCB)8AB8

24.已知点G是ABC的重心，点P是GBC内一点，若

2APABAC,则的取值范围是___________(,1)

3A G B

解析：

P PG

C

APAGGP2AG'GP' 31(ABAC)t(mGBnGC)(其中0t1,mn1) 3111=(ABAC)t[m(ABCB)n(ACBC)] 33311212=(1mt)AB(1nt)AC，则t(,1) 333335.已知O为ABC所在平面内一点，满足OABCOBCA

OCAB222222，则点O是ABC的心垂心

析

：

解

2222OABCOBCA(OAOB)(OAOB)(BCCA)(BCCA)0 BA2OC0，可知OCAB，其余同理

6.设点O是△ABC的外心，AB＝c，AC＝b，b12c2取值

1则·的

范围-1,2 4A O B 解析：

C

b12c21c22bb200b2

7.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6， CA33，若ABAEACAF2，则EF与BC的夹角的余弦值等于_____

解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为ABAEACAF2，所以

，即AB(ABBE)AC(ABBF)222ABABBEACABACBF2。因为AB1，

ACAB331331361，BEBF233123，所以

θ，则有

即BFBC2。设EF与BC的夹角为1BF(ACAB)12，

2|BF||BC|cosθ2，即3cosθ=2，所以cosθ

38.已知向量,,满足||1,||||,()()0.若对每一确定的,||的最大值和最小值分别为m,n,则对任意,mn的最小值是

1 2C D

解析：数形结合.A

B

AB,AC,BC,AD,

CD,BDCDBD，点D在以BC为直径的圆上运动，

1mn就是BC，而ACBC,AB12BC1BC（A,B,C共线时取

2等号）和9题相同.

9.已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，(a-c)(b-c)=0，若对每一个确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m，n，则对于任意的向量b，m+n的最小值为_________． 解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8

10.设e1,e2是夹角为600的两个单位向量，已知OMe1,ONe2，

OPxOMyON，若PMN32是以M为直角顶点的直角三角形，则实

数xy取值的集合为_____________{1} 解析：画图解即可

11.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴上正半轴上滑动，则OBOC的最大值为________2

y D 解析：O A C B x (OAAB)(ODDC)sin21

12.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为1200。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变B动，若OCxOAyOB，其中x,yR，则xy的最大值是___2 解析：

【研究】如果要得到x,y满足的准确条件，则建系，

13OA(1,0),OB(,)则

22COAOC(x13132y,y)，则满足(xy)2(y)1xy2xy1，且2222x11y,y0 22【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB，点

C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OCxOAyOB，其中x、yR，

则(x1)2y2的最大值为2 解析：建系，利用坐标法是可以得到x,y最准确的满足条件，如

OA(1,0),OB(0,1) OC(x,y)，点

C在以O为圆心的圆弧AB上运动，故满足

x2y21(x0,y0)

13.在平行四边形ABCD中，已知AB2,AD1,DAB60，点M为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则APDM的取值范围是[1,1] 211BP[,1]；同理，22解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P在BC上时，

APABBP，则APDMABDMBPDM1当P在CD上时，APDM1111DM[,] 2222MPN14.在周长为16的PMN中，则PMN6，

的取值范围是7，16

，因

解析：

a2b2c2a2b236abcosab32abPMPN2ab2ab10，故ab(ab2)25，PMPN32ab7，或者用消元2的方法

aba(10a)(a5)22525，当ab5时取等号，故PMPN

32ab7；同时ab610a6a8，当a8时ab16，故

ab16，

另法：本题可以得出P的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P坐

标来解决

15.已知|OA|4,|OB|6,OCxOAyOB,且x2y1，AOB是钝角，若

f(t)|OAtOB|的最小值为23，则|OC|的最小值是

6111 37解析：OCxOAyOB'C,A,B'共线，用几何图形解）f(t)|OAtOB|的最小值为23A C O

B

B

根据几何意义即为A到OB的距离，易得

AOB1200，要使|OC|最小，则OCAB'，

利用面积法可求得

16.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量ACDEAP，则的最小值为 解

析

：

坐

标

法

解

，

121AC(1,1),DE(,1),AP(cos,sin)

2由

ACDEAP得

2sin2cos1cos12cossin23sin12cossin，

f()2sin2cos31sin312cossin2cossin，令

21sin2sincos0，故f()最小,[0,]，f'()22cso2is(2cosnsin)值为f(0)，最小值为

17.已知P为边长为1的等边ABC所在平面内一点，且满足

1212CPCB2CA，则

PAPB=________3

P A 解析：如图

B C M={

CPCB2CABP2CA，PAPB=

18.已知向量

a

a=(1,2)+(3,4)R}，

N={aa=(-2,2)+(4,5)R}，则MN=________(46,62) 解析：1324'15

2425'2，AD是BC边上的高，

19.等腰直角三角形ABC中，A90，ABP为AD的中点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于

直线AD对称，当PMPN时，解析：PMPN(PAAM)(PAAN)

12AM______3 MBB E D C A

20.如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB＝1,

2 则CACDCACE的最大值是27解析：

21.已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足,则P的轨迹一定通过的______________重心 解

析

3：设重

3心为

2CD 3G，

OPOG(OAOB2OC)GP(CACB)CG，故C,G,P三点共线

22.已知点O为ABC的外心，且AC解

析

4,AB2,则AOBC6

：

212Ro6 RRoAOBCAO(ACAB)4RcCAO2RcBAO4R23.设D是ABC边BC延长线上一点，记ADAB(1)AC ，若关于x的方程

2sin2x(1)sinx10在[0,2)上恰有两解，则实数的取值范围是

____

4或221

解析：令tsinx则2t2(1)t10在(1,1)上恰有一解，数形结合知

f(1)f(1)04或2，或者0221

又ADAB(1)ACCDCB0 所以4或221

24.O是锐角ABC所在平面内的一定点,动点P满

足:OPOA2AB ABSinABC,0,,则动点

2ACSinACBACP的轨迹一定通过ABC的______

心内心

解析：设高为AD，则AP(ABABAC1显然成立

ACAD)25.已知为坐标原点，OPx,y，OAa,0，，OC3,4，记PA、

PB、PC中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围

是_____726,

PB解析：不妨设PA，即yx，此时Mmax{PA,PC},当a取遍

一切实数时，点A在x轴上滑动，而到点C的距离等于到x轴距离的点的轨迹是以C为焦点，x轴为准线的抛物线，其方程为

C A (x3)28(y2),它交直线yx于点，而A为PAx的垂足时M最

显然此时PAPCP(726,726)，小，即最小是726

法2：对于某个固定的a,到M的最大值显然可以趋向，M最小值呢？实际上就是当P为ABC外心时，此时PAPBPCM的最小值，因为当P不是外心时，PA,PB,PC至少有一个会变大，

a225a225,),要使得这样M就变大.解得外心坐标为P(2a142a14PAPBPC最小，则圆与坐标轴相切，此时

a225aa726 2a1426.已知ABC中，I为内心，AC2,BC3,AB4,且AIxAByAC，则

xy的值为_________.2, 332231323解析：延长AI交BC于点I',则AIAI'ABBCABAC 27.

设

G

是

ABC的重心，且

(56sinA)GA(40sinB)GB(35sinC)GC0，则角B的大小为

__________60°

解析：由重心性质知56sinA40sinB35sinC56a40b35c，下面用余弦定理即可求解

28.平面内两个非零向量,，满足1350，则1，且2]

与的夹角为

的取值范围是_________(0,解析：数形结合。1sin450sin利用正弦定理得，

，(0,)

AB1,AC23429.在ABC中，

AOBC____

，O为ABC外接圆的圆心，则

3 2A D O

解

析

：

2E B

C

AO(ACAB)2(AOADAOAE)2(AD30.△ABC内接于以O为圆心的圆，且3OA4OB5OC0．则C．135 解析：3OA4OB5OC09OA16OB24OAOB25OC

31.在△ABC中，AB＝8，BC＝7，AC=3，以A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A 的任意一条直径，记T＝BPCQ,则T的最大值为．22

222C P A 解析：

Q

0B

设BC,AQ的夹角为，注意到由

余弦定理知CAB60，故BPCQ 32.如图，在ΔABC中，ADAB，BCAD1，则ACAD=____________3

3BD，

33.已知点O为△ABC内一点，且＋2＋3＝，则

△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于_______________3:2:1 法一：延长OB,OC至B’,C’，使得OB'2OB,OC'3OC，则O为

AB'C'重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设

A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，

34.△ABC的三个顶点，AB2ABACABCBBCCA,则ABC为_________________三角形.直角三角形 解：注意到ABACABCBAB,故BCCA0 35.平面上的向量PA,PB满足PAPC12PAPB 3322PB4，且PAPB0,若向量

2，则PC的最大值为___________

164PC，即P,A重合时. 93136.已知在平面直角坐标系中，O(0,0),M(1,),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y),2解析：两边平方后知PC(43PB)2192满足0OPOM1,0OPON1.则OPOQ的最大值为

解析：即已知0x2y1求2x3y最大值问题，线性规划问题.

0y137、在△ABC中，已知AB2，BC3，ABC60，AHBC于H，

M为AH

的中点，若AMABBC，则.

解析：AHABBC，两边同数乘BC得3；两边同数乘AB得863

解方程组得,

38.如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，ABEF2，

CACB3，

12162312若ABAEACAF7，则EF与BC的夹角的余弦值等于_．

解析：39题类似，EFBC236，下面求

13((ABAFAEAC)7[AB(ABBF)(ABBE)AC]=

=7[4EFBC2]，解方程得EFBC2

39.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，

若ABAEACAF2，则EF与BC的夹角等于；

解析：解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作

312替换转化。

EF与BC的夹角EF与BC的夹角∵BEBF，

∴ABAEACAF1(ACAB)BFACAB

而在等腰△ABC中，作底边的高CD，则在Rt△ACD中由已知边长

1可得cosCAB21，设EF24与BC的夹角为。

∴1|BC||BF|cos|AC||AB|cosCAB2， 从而cos1，又0，∴。

2340.如图，已知Rt△BCD的一条直角边BC与等腰

BRt△ABC的D斜边BC重合，若AB2，CBD30，ADmABnAC， 则mn＝.-1

解析：ADmABnAC两边分别同乘AB,AC分别得到

AC41.在ABC中，若I是其内一点，满足aIAbIBcIC0，求证：

I为内心

证明：aIAb(IAAB)c(IAAC)0(abc)IAbc(abcABACIAbccbABAC) cb，注意到

ABAC,cb是单位向量，则I在角平分

线上，同理可得I是内心.

42.已知向量OA,OB,OC满足条件：

OAOBO=2COAOBOC0，且

，点P是ABC内一动点，则

ABAPBCBPCACP18. 43.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点围是（-1,0）

解析：设ODOC(1)

OCmOAnOBODmOAnOB，由于A,B,D共线

D，若OCmOAnOB，则mn的取值范

44.如图，APmABnAC，点P在阴影区域内（不含边界），则 C P A

B

m,n满足的条件是___________mn1，m0,n0

解析：设AP与BC交与点P'，APAP'(1)

AP'1(mABnAC)，mn1

6π45.在△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），A，

且|AB||AD|22BDDC，则B等于

2512

解析：|AB||AD|2BDDC(ABAD)DBBDDC(ABAC)DC0

说明AD是BC边中垂线，得AB=AC

46.在RtABC中，C90，ACBC2,D是ABC内切圆圆心，设

P是⊙D外的三角形ABC区域内的动点，若CPCACB，则点

(,)所在区域的面积为

11 24