2015中考动点问题集锦

1、如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH （HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3 （1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.

（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个 单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯 形为DEFH′（如图12）.

探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能， 解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6AH=AC=×6=4 又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1 ∴

AHAC2323=

HGBC，即

1246=

HG816，∴HG=31216×4×3

∴S△AHG=AH·HG=

（2）①能为正方形∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H 又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形 又CH=AC-AH=6-4=2 ∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H 此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形 ②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥ABt=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积 过F作FM⊥DE于M，

FMME32=3

=tan∠DEF=tan∠ABC=

ACBC6=8=

34

44884∴ME=3FM=3×2=3，HF=DM=DE-ME=4-3=31416∴直角梯形DEFH′的面积为2（4+3）×2=3

16y=3

1（Ⅱ）∵当4＜t≤53时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.13240形CBGH=S△ABC-S△AHG=2×8×6-3=3S矩形CDH′H1（Ⅲ）当53＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P.

403S边

=2t∴y=

PDDB-2t

BD=8-t

3=tan∠ABC=4

3333113∴PD=4DB=4（8-t）∴重的面积y=S ,△PDB=2PD·DB=2·4（8-t）（8-t）=8（8-t）2=8t2-6t+24y

3y=16（0≤t≤4

4013-2t（4＜t≤53318t2-6t+24（53＜t≤8）

与t

2、已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，23)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.

(1) ∵A，B两点的

坐标分别是A(10，0)和

B(8，23)，

(2) ∴tanOAB233，∴OAB60当点A´在线段AB上时，∵OAB60，TA=TA´，∴

1083(10t)，2△A´TA

是等边三角形，且TPTA，∴TP(10t)sin60APAP11AT(10t)， 22

2当2t6时，由图○1，重叠部分的面积SSATPSAEB∵△A´EB的高是ABsin60，∴○

31333(10t)2(10t4)2(t24t28)(t2)243 822882，其中E是TA´当t=2时，S的值最大是43；当0t2，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图○S与CB的交点，F是TP与CB的交点)，

∵EFTFTPETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，

∴S11EFOC42343综上所述，S的最大值是43，此时t的值是0t2. 223、如图(1)在Rt△ACB中，∠C=90°AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm／s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s;连接PQ。若设运动的时间为t(s)(0＜t＜2).根据以上信息，解答下列问题：

(1)当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ (2)设四边形PQCB的面积为y(

)，直接写出y与t之间的函数关系式；

(3)在点P、点Q的移动过程中，如果将△APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与△APQ组成一个四边形，那么是否存在某一时刻t，使组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

------------2分

（2）

③当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PH⊥AC于H，则点H必为AQ的中点， ∴Rt△AHP∽Rt△ACB，∴

即

，解得：

＞2（不合题意应舍去）

综上所述，当时，所形成的四边形为菱形.-------------------

4．如图24－1，在△ABC中，A90，AB4，AC3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AMx． （1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）； （2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上； （3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？ A A A （1）因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC，所以根据相似三角形的性质即可求M M M 得MN的值与MN边上的高的值，即可求N N N 得面积； P 根据轴对称的性质，可求得相等的线C B C B C （2）B P 图24—1 图24—2 P 图24—3 段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上； （3）分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，易见y=x2．（8分） ②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F由（2）知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得． 【解析】（1）S△AMN=x2（3）； （2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分） 又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分） ∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．（7分） （3）（i）以下分两种情况讨论： ①当0＜x≤2时，易见y=x2（8分）②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F 由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4 由题意知△PEF∽△ABC， ∴，∴∴

∴y=

（ii）∵当0＜x≤2时，y=x2∴易知y最大=

（11分）

x2+6x-6=（x-）2+2．∴当

时（符合2＜x＜4），y最大=2，

又∵当2＜x＜4时，y=综上所述，当

时，重叠部分的面积最大，其值为2．（13分）

二次函数类型题

等腰三角形问题

1、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

1、解：(1)将A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得： ∴抛物线的解析式：y＝－x2＋2x＋3．

(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P；设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，

0)，C(0，3)代入上式，∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3；当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)． (3)抛物线的解析式为：x＝－

＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，则：

MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10；①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：

m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6； 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M(1，面积问题

2、如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

2（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： )(1，－

)(1，1)(1，0)．

；

3k+b=0k=1 ，解得。∴直线BC的解析式：y=﹣x+3。

b=3b=3已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m+2m+3）； ∴MN=﹣m+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m+3m（0＜m＜3）。

2

2

2

3）存在。如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=

∴S△BNC=

=﹣

11MN（OD+DB）=MN•OB， 2212

（﹣m+3m）•3 23327327（m﹣）2+（0＜m＜3）。∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为。 222883、已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；

（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3（2）∵yx22x3x14，∴对称轴为x=1。 令yx22x30，解得x1=3，x2=－1，∴C（－1，0）。

如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。

设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：

23kb0 k1，解得。∴直线AB解析式为y=－x＋3。当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）。（3）结论：b3b3存在。如图2，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA

－ON=3－x．SABP111（OBPN）ON PNAN OAOB222 S梯形PNOBSPNASAOB11139（3y）xy（3x）33（xy）22222∵P（x，y）在抛物线上，∴yx22x3，代入上式得SABP（xy）2329333227（x23x）（x）。2222 8315333153∴当x= 时，S△ABP取得最大值。当x= 时，y23=，∴P（， ）。

2242224四边形问题

4、如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=轴是直线x=﹣

32

x+bx+c经过点B，且对称45． 2（1）求抛物线对应的函数解析式；

（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上．

（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．

4、 （2）∵A（4，0）、B B（0，3），∴OA=4，OB=3，ABOA2OB25。 若四边形ABCD是菱形，则 BC=AD=AB=5，∴C（﹣5，3）、D（﹣1，0）. 将C（﹣5，3）代入y=

3215315x+x+3中，得：×（﹣5）2+×（﹣5）+3=3， 4444∴点C在抛物线上；同理可证：点D也在抛物线上。

5、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，

）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上， 6、解答： ∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x﹣2x﹣； 2 （2）∵抛物线的解析式为：y=x﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣2=﹣=2， 连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣， 当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）； （3）存在．如图2所示， ①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）， ∴N1（4，﹣）； ②当点N在x轴上方时，如图，过点N作ND⊥x轴于点D， 在△AND与△MCO中， ∴△AND≌△MCO（ASA），∴ND=OC=，即N点的纵坐标为． 2∴x﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）． 综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）． 6、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

图1 图2

7、2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．

3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程．

满分解答(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得a以抛物线的解析式为y1．所211(x4)(x2)x2x4． 22(2)如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．过点M作x轴的垂线交AB于D，那么

11MD(m4)(m2m4)m22m．所以

221SSMDASMDBMDOAm24m(m2)24．

2因此当m2时，S取得最大值，最大值为4．

(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4． 设点Q的坐标为(x,x)，点P的坐标为(x,12xx4)． 2①当点P在点Q上方时，(xx4)(x)4．解得x225．

此时点Q的坐标为(225,225)（如图3），或(225,225)（如图4）． ②当点Q在点P上方时，(x)(xx4)4．

解得x4或x0（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为(－4,4) （如图5）．

122122