数列知识点回顾高三复习

第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．

2．数列的通项公式

一个数列{ an}的第n项an与项数n之间的函数关系，如果用一个公式an=

f(n)来表示，就把这个公式叫做数列{ an}的通项公

式。若给出数列{ an}的通项公式，则这个数列是已知的。若数列{ an}的前n项和记为Sn，则Sn与an的关系是：

n1S1,an=。

SS.n2n1n第二部分：等差数列

1．等差数列定义的几个特点：

⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = an－an⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意nN，an－an① 当n≥2时，有an－an111(n≥2)或d = an1－an (nN)．

= d (n≥2)或d = an1－an都成立．一般采用的形式为：

= d (d为常数)．

②当nN时，有an1－an= d (d为常数)． ③当n≥2时，有an1－an= an－an1成立．

若判断数列{ an}不是等差数列，只需有a3－a2≠a2－a1即可． 2．等差中项

若a、A、b成等差数列，即A=

ababab，则A是a与b的等差中项；若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、222A、b成等差数列，的充要条件。由于an=

an1an12，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。

3．等差数列的基本性质

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d． ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．

⑶若{ an}、{ bn}为等差数列，则{ an±bn}与{kan＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．

⑷对任何m、nN，在等差数列{ an}中有：an= am+ (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{an}为等差数列时，有：al+ ak+ ap+ … = am+ an+ ap+ … ．

⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)． ⑺如果{ an}是等差数列，公差为d，那么，an，an

1，…，a2、a1也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ an}中，aml1

－al= amk－ak= md ．(其中m、k、lN)

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．

⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．

⑽设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比

alanlm

=（≠－1），则am=

mn1．

4．等差数列前n项和公式Sn=

前n项和公式 n(a1an)n(n1)d的比较 与Sn= na1＋

22公式适用范围 用于已知等差数列的首项和末项 相同点 都是等差数列的前n项和公式 n(a1an)Sn= 2Sn= na1＋n(n1)d 2用于已知等差数列的首项和公差 5．等差数列前n项和公式Sn的基本性质

⑴数列{ an}为等差数列的充要条件是：数列{ an}的前n项和Sn可以写成Sn= an+ bn的形式(其中a、b为常数)．

*2⑵在等差数列{ an}中，当项数为2n (nN)时，S偶－S奇= nd，

S奇S偶=

anan1；当项数为(2n－1) (nN)时，S偶－S奇= an，

S奇S偶=

n． n12⑶若数列{ an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍然成等差数列，公差为nd．

⑷若两个等差数列{ an}、{ bn}的前n项和分别是Sn、Tn(n为奇数)，则

SnTnan1=

2bn12．

⑸在等差数列{ an}中，Sn= a，Sm= b (n＞m)，则Smn=

nm(a－b)．

nm）均在直线y =

⑹等差数列{an}中，

Snn是n的一次函数，且点（n，

Snnd2x + (a1－

d2)上．

⑺记等差数列{an}的前n项和为Sn．①若a1＞0，公差d＜0，则当an≥0且an1≤0时，Sn最大；②若a1＜0 ，公差d＞0，则当an≤0且an1≥0时，Sn最小．

第三部分：等比数列 1．正确理解等比数列的含义

2

⑴q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =

an1an (nN)或q =

anan1 (n≥2)．

⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0． ⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意nN，

an1an= q；或

anan1= q (n≥2)都成立．

2．等比中项与等差中项的主要区别 如果G是a与b的等比中项，那么

Gb=aG，即G= ab，G =±

2的数才有等比中项，而且等比中项有ab．所以，只要两个同号．．

两个，它们互为相反数；如果A是a与b的等差中项，那么等差中项A唯一地表示为A=里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．

3．等比数列的基本性质

ab，其中，a与b没有同号的限制．在这．．2⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q( m为等距离的项数之差)． ⑵对任何m、nN，在等比数列{ an}中有：an= am· q列的通项公式更具有普遍性．

⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{an}为等比数列时，有：at．ak．ap．… = am．an．ap．… ．．

⑷若{ an}是公比为q的等比数列，则{| an|}、{an}、{kan}、{

2nmm，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数

1an}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q}、{q}、{

21q}．

⑸如果{ an}是等比数列，公比为q，那么，a1，a3，a5，…，a2n1，…是以q为公比的等比数列． ⑹如果{ an}是等比数列，那么对任意在nN，都有an·an2= an·q＞0．

⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．

⑻当q＞1且a1＞0或0＜q＜1且a1＜0时，等比数列为递增数列；当a1＞0且0＜q＜1或a1＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．

4．等比数列前n项和公式Sn的基本性质

222na1,当q1时,⑴如果数列{an}是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是Sn=a(1qn)

1,当q1时.1q也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．

⑵当已知a1a1(1qn)，q，n时，用公式Sn=；当已知a11q，q，an时，用公式Sn=

a1anq．

1q⑶若Sn是以q为公比的等比数列，则有Snm= Sm＋qSn．⑵

⑷若数列{ an}为等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍然成等比数列．

⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别为S2与T2，最后n项和与n

3

项积分别为S3与T3，则S1，S2，S3成等比数列，T1，T2，T3亦成等比数列．

二、难点突破

1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．

2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．

3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ an}与an是不同的，前者表示数列a1，a2，…，an，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a1，a2，…，an，…，与集合{ a1，a2，…，an，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．

4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即： ⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设„，aq．．

23， aq， aq

11， a，aq，aq，…； ， aq，aq，„．

2325．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意an≠0，因为当an= 0时，虽有an= an1· an1成立，但{an}不是等比数列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{an}，“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．

6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错． 另外，对于等差数列的求法，在进行详细总结，注意最后一种不动点法不要求掌握，其实是因为老师从来没讲过。 数列通项公式的求法 一、公式法 ①an2（n1)S1；

SS(n2)n1n②

an等差、等比数列an公式.

2an32n，a12，求数列{an}的通项公式。

2an32n转化为

an1an3an{}是等差数列，再直接利用等差数，说明数列2n12n22n例 已知数列{an}满足an1评注：本题解题的关键是把递推关系式an1列的通项公式求出

an31(n1)，进而求出数列{an}的通项公式。 n22二、累加法

例 已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式

an1an2n1转化为

an1an2n1，进而求出

(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，即得数列{an}的通项公式。

例 已知数列{an}满足an1

an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

4

评注：本题解题的关键是把递推关系式

n转an1an231化为

n，an1an231进而求出

an(ana1n)(a1na2n)三、累乘法

例 已知数列{an}满足an1，即得数列(3a2a)(2a1a)a{an}的通项公式。

2(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

2(n1)5nan转化为

an1aaaa2(n1)5n，进而求出nn132a1，即anan1an2a2a1评注：本题解题的关键是把递推关系an1得数列{an}的通项公式。

四、取倒数法

例 已知数列{an}中，其中a11,，且当n≥2时，anan1，求通项公式an。

2an112，所以

解 将anan11111两边取倒数得：2，这说明{}是一个等差数列，首项是1，公差为

anan1ana12an1111. 1(n1)22n1，即an2n1an五、待定系数法(这个我们老师特殊讲过啦，可以根据例题巩固一下) 例 已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an1进而求出数列{an2an35n转化为an15n12(an5n)，从而可知数列{an5n}是等比数列，

5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

3an52n4，a11，求数列{an}的通项公式。

3an52n4转化为an152n123(an52n2)，从而可知数列

例 已知数列{an}满足an1评注：本题解题的关键是把递推关系式an1{an52n2}是等比数列，进而求出数列{an52n2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

六、对数变换法

例 已知数列{an}满足an15，a17，求数列{an}的通项公式。 23nan5转化为23nan评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n1)5(lgann)，从而可知数列{lgann}是等比数416441644164lg3lg3lg2n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 列，进而求出数列{lgan4164lgan1七、迭代法

5

例 已知数列{an}满足an13(n1)2an，a15，求数列{an}的通项公式。

3(n1)2an1annn评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得

lgan13(n1)2nlgan，即

lgan13(n1)2nlgann(n1)2，再由累乘法可推知

n1lganlgan1lga3lga2lganlga1lg53n!2lgan1lgan2lga2lga1，从而an53n1n!2n(n1)2。

八、数学归纳法（这个东西最好是不要用，除非是你实在不会做的情况下就最好用一下，因为这样可以使得不会做的题目也可以拿分，在一般的选择填空题里面也最好用一下，可以节约大量时间的。在很多给定的条件求不出的情况下，其实那是要我们就是用这个方法的，相当于周期函数啦，还有就是常数函数。）

例 已知数列{an}满足an1an8(n1)8，a，求数列{an}的通项公式。 122(2n1)(2n3)98，得。。。。。。 9解：由an1an8(n1)(2n1)2(2n3)2及a1(2n1)21由此可猜测an，往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n1)(211)218（1）当n1时，a1，所以等式成立。

(211)29(2k1)21（2）假设当nk时等式成立，即ak，则当nk1时， 2(2k1)8(k1)。。。。。。 22(2k1)(2k3)k1时等式也成立。

*ak1ak由此可知，当n根据（1），（2）可知，等式对任何nN都成立。 九、换元法

例 已知数列{an}满足an11(14an124an)，a11，求数列{an}的通项公式。 1612(bn1) 246

解：令bn124an，则an

故an112122(bn11)，代入an1(14an124an)得。。。。。。即4bn1(bn3) 2416因为bn13124an0，故bn1124an10则2bn1bn3，即bn1bn，

221(bn3)， 2以

可化为bn13所以

是{bn3}b13124a13124132为首项，以

1为公比的等比数列，因此21111bn32()n1()n2，则bn()n23，即124an()n23，得

2222an21n1n1()()。 3423十、构造等差、等比数列法 ①

an1panq；②an1panqn；③an1panf(n)；④an2pan1qan.

例 已知数列

an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式.

32(an3) an342n1an2n13.

panq” 适用于待定系数法或特征根法：

q，an1xp(anx)；

1p【解析】an1【反思归纳】递推关系形如“an1①令an1p(an)；

panq中令an1anxx② 在an1③由an1panq得anpan1q，an1anp(anan1).

例 已知数列

an中，a11,an12an3n，求数列an的通项公式.

2an3n，【解析】an1an1anan3n()bn ，令nn1n122223bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1 2()n2 an3n2n

2【反思归纳】递推关系形如“an1“an1panqn”通过适当变形可转化为：

panq”或“an1anf(n)n求解.

十一、不动点法（对于这种方法，个人觉得十分有用，其实是我们老师没讲，然后立达的老师讲了啦，一般只有复杂的数列题中会遇到。不过觉得被你看到复杂的数列题就会跳过的。）

例 已知数列{an}满足an17an2，a12，求数列{an}的通项公式。

2an37

解：令x7x23x12，得2x4x20，则x1是函数f(x)的不动点。

2x34x7因为an117an25a5，所以 1n2an32an3an21n1n1()()。 3423评注：本题解题的关键是通过将等比数列，进而求出数列{bn124an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn113bn形式，从而可知数列{bn3}为223}的通项公式

再总结一下求和的技巧：这个稍稍复杂很多。 四、数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d

22(q1)na1naanq2、等比数列求和公式：Sna1(1q) 1(q1)1q1q前n个正整数的和

123nn(n1)2

n(n1)(2n1)6n(n1)23333] 前n个正整数的立方和 123n[2前n个正整数的平方和

122232n2公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；

（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。

例 已知log3x123n，求xxxx的前n项和.

log23f(n)Sn的最大值.

(n32)Sn1＝

例 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

∴

f(n)1Sn＝ ＝

64(n32)Sn1n34n18，即n＝8时，f(n)max

508(n18n)250150

∴ 当

n二、错位相减法求和（一定要小心计算）

这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组 8

成这个数列的等比数列的公比

q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

1n11,an1(1)ann

n2例：（2009全国卷Ⅰ理）在数列{an}中，a1（I）设bnann，求数列{bn}的通项公式（II）求数列{an}的前n项和Sn

分析：（I）由已知有

an1an11nbn1bnnn1n222

利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn1*nN() 2n1nnnnkk（II）由（I）知an2nn1,Sn=(2kk1)(2k)k1

22k1k1k12n而

(2k)n(n1),又k1nkk1k12n是一个典型的错位相减法模型，

易得

n2kn24 =n(n1)4Snn1k1n122k12三、 倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个

(a1an).

例 求证：Cn证明： 设Sn012n3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n 012n Cn3Cn5Cn(2n1)Cnnn110 Sn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn ∴

四、分组法求和

Sn(n1)2n

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和：11,1114,27,,n13n2，… aaa111解：设Sn(11)(4)(27)(n13n2)

aaa111Sn(12n1)(1473n2)

aaa(3n1)n(3n1)n当a＝1时，Snn＝

2211n(3n1)naa1n(3n1)na当a1时，Sn＝ 1a1221a9

例：（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1a22(11)，a1a2a3a4a564(111) a3a4a5(an12)，求数列{bn}的前n项和Tn。 an（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1（1）anf(n1)f(n) （2）（注意这个，能记得话尽量记下来，我tan(n1)tanncosncos(n1)们老师以前讲的时候就出过几个这样的题目，相信要是考试中有的话肯定死一片）

111(2n)2111（3）an （列项相消法） （4）an1()（我想说的是，

n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1这个也有过）

（5）an1111[]（这个可以算是新知识咯）

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(6)

ann212(n1)n1111nn,则S1nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n1,123,,1nn1,的前n项和.

例 求数列

12an1nn1112n1n 1231nn1则

Sn ＝

n11

例 在数列{an}中，an12n2，又bnn1n1n1anan1，求数列{bn}的前n项的和.

12nn n1n1n12211 ∴ bn8()

nn1nn12211111118n)] ＝ Sn8[(1)()()(

22334nn1n1解： ∵

an 10

（这些例题在我没看这个之前我想我肯定一个都不会）

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

例 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.(很显然就是糅合周期函数来解题)

a2a3a2002

解：设S2002＝a1a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵

S2002＝a1a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60

9,求log3a1log3a2log3a10的值.

a2a3a2002 ＝a6k1a6k2a6k3a6k4＝5

log3a1log3a2log3a10

例 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6解：设Sn由等比数列的性质

mnpqamanapaq

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6) ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

例 求1111111111之和. 11k解：由于1111999999(101)

k个1k个1∴

n个11111111111 ＝ n个11110(10n1)n ＝(10n1109n) ＝8191019除此之外，我再增加几种题型： 前n项的最值问题

等差数列前n项和最值问题的快速解法

1. 1．二次函数法：即用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值（但要注意的是：nN），借助于Sn与二次函数之间的关系，确定出对称轴的取值范围，然后确定n值，使Sn最大（小）。确定n值的方法是找出离对称轴最近的正整数。 等差数列前n项和公式是

Snna1n(n1)dddn2a1nAn2Bn222，记住抛物线对称轴方程

d21a1.最值一定在离对称轴最近的整数中取到.图像是过原点的抛物线上的一些离散点，由于二次函数图像的对称nd2d22a1性，一旦给出关系式Sm

Sn，则马上知道抛物线的对称轴方程为n011

mn，即两足标和的一半！关于Sn的最值问题可以转化2成二次函数求解。其实，它还有一个零点式方程， ★设抛物线顶点的横坐标为

x0，则抛物线的两个零点为0和

2x0，则可设

Snpnn2x0 ■

（图像中x轴对应n轴，y轴对应Sn轴，等差Sn最值问题要立刻想到这2个

图像！）

例1 等差数列{an}中，速解：由S1a125，S17S9，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

抛物线对称轴方程为

S17S9n179132，则可设

Snpnn26，

n13时，SnmaxS131131326169

例2 在等差数列{an}中,已知解：

a1p112625p1

a120,前n项和为Sn,且S10S15,求当n取何值时, Sn有最大值,并求它的最大值。

101512.5，则可设Snpnn25 2S10S15抛物线对称轴方程为n55Snn25 由S1a1p112520p，则n66所以 n=12或13时，

例3 等差数列{an}中，a1Snmax5S12121225130

60，S9S12，该数列前多少项的和最小？

91221，又nN* ,a10，∴{an}的前10项或前解 ∵S9S12，∴Sn的图像所在的抛物线的对称轴为n2211项的和最小。

0，S3S10，该数列前多少项的和最大？

3106.5，又nN*，所以n=6 or 7 解：S3S10抛物线的对称轴为n2变式：等差数列{an}中，a1

例4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3（1） 求公差d的取值范围

（2） 指出S1,S2,...,S12中哪一个值最大,并说明理由.

12,S120,S130

12

解：（1）a312a12d12a1122d

121124d0d 2713112S130123a1d0d3

2S12012a1d的取值范围是24,3

7另外，还可以利用数列的通项公式来解决数列前n项和的最值问题，即： 2．通项法：当a1即Sn递增；当an最小。

下面举一例加以说明。 例：等差数列{an}中，a10，d0时，n为使an0成立的最大的自然数时，Sn最大，这是因为：当an0时，SnSn1，

0时，SnSn1，即Sn递减。类似地，当a10，d0时，则n为使an0成立的最大自然数时，Sn0，S9S12，该数列前多少项的和最小？

分析一：利用通项法求Sn的最值，关键是要正确解不等式组，求出n的取值范围，然后利用nN确定n的值。

解法一：（通项法）

ana1(n1)d0设该数列前n项和最小，则必须有， （1）

aand01n1∵S9S12，∴9a19812111d12a1d，∴da1， 221011(n1)010∴（1）式可转化为，解得10n11，

11n010∴取10或11时，Sn取得最小值。

分析二：利用二次函数的最值研究等差数列前n项和的最值关键是算准对称轴nn0，若nN，则在n0处取得最值，若n0N，则在离n0最近的正整数n0处取得最值。

解法二：（二次函数法） 设等差数列{an}的公差为d， 则由题意得9a1/119(91)d12a112(121)d， 22即3a130d，∴a110d， ∵a10，∴d0， ∴Snna11121d21441n(n1)ddn2dn(n)2d， 22222813

∵d0，∴Sn有最小值，

又∵nN，∴n10或11时，Sn取最小值。

分析三：利用图像法求Sn最值的关键也是要确定Sn的对称轴nn0，但不一定非要转化为

Snd2dn(a1)n的形式，直接利用已知条件也可以。 2291221， 22解法三：（图像法）

∵S9S12，∴Sn的图像所在的抛物线的对称轴为n又a10，∴{an}的前10项或前11项的和最小。

说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。 以上是关于等差数列前n项和的最值的方法总结。（其实一般来讲没这么复杂的）

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