二轮复习 圆锥曲线的性质 学案(全国通用)

一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程：

（1）平面上到两个定点F1,F2的距离和为定值（定值大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆，其中

F1,F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距

（2）标准方程：

①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点Px,y，F1c,0,F2c,0，设距离和

x2y2PF1PF22a，则椭圆的标准方程为：221，其中ab0,b2a2c2

ab②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点Px,y，F10,c,F20,c，设距离和

y2x2PF1PF22a，则椭圆的标准方程为：221，其中ab0,b2a2c2

ab焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大

x2y22、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：221ab0

ab（1）a：与长轴的顶点有关：A1a,0,A2a,0，A1A22a称为长轴长 b：与短轴的顶点有关：B10,b,B20,b，B1B22b称为短轴长 c：与焦点有关：F1c,0,F2c,0，F1F22c称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设Px0,y0，则ax0a,by0b （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦

2b2② 过焦点且与长轴垂直的弦PQ

a说明：假设PQ过F1c,0，且与长轴垂直，则Pc,y0,Qc,y0，所以

2c2y0b4b22b221y02，可得y0。则PQ a2b2aaa（5）离心率：ec，因为ca，所以e0,1 a（6）焦半径公式：称P到焦点的距离为椭圆的焦半径

① 设椭圆上一点Px0,y0，则PF） 1aex0,PF2aex0（可记为“左加右减”② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为ac，最小值为ac （7）焦点三角形面积：SVPF1F2btan证明：SVPF1F2且F1F2222（其中PF1F2）

1PF1PF2sinF1PF2 222PF1PF22PF1PF2cosF1PF2

PF1PF222PF1PF21cosF1PF2

4c24a22PF1PF21cosF1PF2 2a22c22b2 PF1PF21cosF1PF21cosF1PF2SVPF1F2112b2PF1PF2sinF1PF2sinF1PF2 221cosPF1F2sinF1PF2FPFb2tan12

1cosF1PF22b2因为SVPF1F21FPF2cy0cy0，所以b2tan12cy0，由此得到的推论： 22① F1PF2的大小与y0之间可相互求出

② F1PF2的最大值：F1PF2最大SVPF1F2最大y0最大P为短轴顶点 （二）双曲线：

1、定义：平面上到两个定点F1,F2距离差的绝对值为一个常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线，其中F1,F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点F1,F2距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程：

① 焦点在x轴：设双曲线上一点Px,y，F1c,0,F2c,0，设距离差的绝对值

x2y2PF1PF22a，则双曲线标准方程为：221，其中a0,b0,b2c2a2

ab② 焦点在y轴：设双曲线上一点Px,y，F10,c,F20,c，设距离差的绝对值

y2x2PF1PF22a，则双曲线标准方程为：221，其中a0,b0,b2c2a2

ab焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数

x2y22、双曲线的性质：以焦点在x轴的双曲线为例：221a0,b0

ab（1）a：与实轴的顶点有关：A1a,0,A2a,0，A1A22a称为实轴长 b：与虚轴的顶点有关：B10,b,B20,b，B1B22b称为虚轴长 c：与焦点有关：F1c,0,F2c,0，F1F22c称为焦距 （2）对称性：双曲线关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称

（3）双曲线上点坐标的范围：设Px0,y0，则有x0a或x0a，y0R （4）离心率：ec，因为ca ，所以e1, a（5）渐近线：当x或x时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。

① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出yx2y2x2y2关于x的直线即可。例如在221a0,b0中，求渐近线即解：220，变

abab形为ybbx，所以yx即为双曲线的渐近线 aa② 渐近线的几何特点：直线xa,xa,yb,yb所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线

③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现a,b,c的关系。 （6）通径：

① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段

2b2②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQx轴，PQ

a（7）焦半径公式：设双曲线上一点Px0,y0，左右焦点分别为F1,F2，则 ① PF） 1aex0,PF2aex0（可记为“左加右减”

② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为ca （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点Px0,y0，则SVPF1F2bcot22（其中PF1F2）

（三）抛物线：

1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线

2、抛物线的标准方程及焦点位置：

（1）焦点在x轴正半轴：y2pxp0，焦点坐标2p,0 2p,0 2p 2p 2（2）焦点在x轴负半轴：y2pxp0，焦点坐标2（3）焦点在y轴正半轴：x2pyp0，焦点坐标0,2（4）焦点在y轴负半轴：x2pyp0，焦点坐标0,2小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：x4y，则焦点在y轴上，且坐标为0,1

2uuurp3、焦半径公式：设抛物线y2pxp0的焦点为F，Ax,y，则AFx

224、焦点弦长：设过抛物线y2pxp0焦点的直线与抛物线交于Ax1,y1,Bx2,y2，

2则ABx1x2p（ABAFBF，再由焦半径公式即可得到） 二、典型例题：

x2y221的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到例1：已知双曲线

4b其渐近线的距离等于（ ）

A.

5 B. 42 C. 3 D. 5

2思路：先从常系数方程入手，抛物线y12x的焦点为3,0，即双曲线中的c3，所以

5x2y2x，由对称1，其渐近线方程：ybca5，从而双曲线方程为：245222性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择l:5x2y0，右焦点F23,0，所以

dF2l35525 22答案：A

小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素 答案：A

x2y2例2： 已知双曲线221a0,b0的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线

abx22pyp0的焦点重合，直线ykx1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，

则p（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p作为核心变量，抛物线x2py的焦点为0,2pp，所以可得，因为b22x24y22a42a22，所以双曲线方程为21，可求得渐近线方程为

8pyp42x，不妨设ykx1与yp42x平行，则有kp42。从相切可想到与抛物线

pyx1p22xx2p0，所以联立消元后的方程0：4222x22py

p8p0解得p4

22答案：A

2x2y2x2y2F1,F2是椭圆C1:221mn0与双曲线C2:221a0,b0例3：如图，

mnab的公共焦点，将C1,C2的离心率分别记为e1,e2，点A是C1,C2在第一象限的公共点，若C2的一条渐近线是线段AF1的中垂线，则

112（ ） 2e1e2A. 2 B.

57 C. D. 4 2222222思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有cmnab，所求表达式

11m2a2m2a2222e12e2ccc2，本题与焦半径相关，所以考虑

结合AF1的中点与F1F2的中点可得双曲线的渐近线与AF1AF22m,AF1AF22a。

AF2平行，从而AF1AF2，所以有AF1AF2F1F24c2，联系上面条件可得：

2224c2AF1AF2221AF1AF22AF21AF22m222a2，所以

11m2a222 22e1e2c答案：A

x2y2y221有公共的焦点，C2的一例4：已知椭圆C1:221ab0与双曲线C2:xab4条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则（ ） A. a2131222 B. a13 C. b D. b2 22思路：因为C1,C2有公共焦点，所以通过C2可得F15,0,F2直径为2a，所以AB截椭圆的弦长为

5,0，从而c5，圆的2a。由双曲线得AB:y2x，进而与椭圆方程联立，3再利用弦长公式即可得到关于a（或b）的方程，解方程即可

解：通过C2可得F15,0,F25,0，c5

b2x2a2y2a2b2aba2b22x不妨设AB:y2x，则，所以 x22224ab4aby2x利用弦长公式可得d122x1x22a

4a2b2325ab21125ab2aa22223解得：又因为abc5 4a2b2 ，故选C

1b222ab52答案：C

x2y2例5：（2014，山东，10）已知ab0，椭圆C1的方程为221，双曲线C2的方程是

ab3x2y2CC1，与的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（ ） 21222abA. x2y0 B. 2xy0 C. x2y0 D. 2xy0

思路：要想求渐近线方程，关键在a,b的比值，所以将两个离心率均用a,b表示，再利用乘积

为

3即可得到a,b关系，进而求出渐近线方程 2a2b2c,e2aaa2b2 ac解：设曲线C1,C2的离心率分别为e1,e2，则e1ae1e244a2b2a2b2aa4a4b43 a2214即

ab3b1b12 a44a44a422bxx2y0 x，代入可得：y2a因为双曲线的渐近线方程为：y答案：A

小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中c的求法不同，从而使得两条曲线在a,b相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出a,b关系

x2y2x2y2例6：椭圆221mn0和双曲线221ab0的公共焦点为F1,F2，Pmnab是两曲线的一个交点，那么PF1PF2的值是（ ）

22A. ma B. ma C.

ma D. 2ma 思路：所求PF1,PF2既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义可得：PF1PF22a，PF1PF22m，由此联想到两个式子的完全平方公式，进而可求出PF1PF21PF2，则PF答案：B

1PF1PF242PF1PF2m22a2

x2y21的右焦点重合，抛物线的例7：已知抛物线y2pxp0的焦点F与双曲线452准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且AK2AF，则A点的横坐标为（ ）

A. 22 B. 3 C. 23 D. 4

思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标c459，所以

2F3,0，进而可确定抛物线方程：y212x，以及准线方程l ：x3。所以K3,0，

设A点横坐标为x，则Ax,12x，所以AK2x312x，由焦半径公式可得：

222AFxpx32，

2所以

AK2AFAK2AF，即

x3212x2x3，可解得：x3

答案：B

x2y21的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的例8：设F为双曲线

169圆与双曲线左，右两支在x轴上方的交点分别为M,N，则

FNFMFA的值为（ ）

A.

2554 B. C. D. 5245思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻简化计算，首先由FM,FN联想到焦半径公式，设Mx1,y1,Nx2,y2，则有

MFaex1ex1a，

NFaex2ex2a，所以

FNFMex1x22a，设Am,0，由双曲线可知F5,0，则FA的中点

m5m5m5m52C,0，圆半径r，所以圆方程为：x ，整理后y2222可得：x2m5xy25m0，因为FNFM的值与x1x2相关，所以考虑联

22x2m5xy25m0立圆和双曲线方程：x2y2消去y可得：

116916m5252，代入FNFM可得：xm5x95m0，所以x1x225164m5516m54FNFM8，因为FAm5，所以原式的值为

42555答案：D

小炼有话说：本题可发现无论A的位置如何，从选项上来看

FNFMFA应该为定值，故可

以利用特殊位置，比如A为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得

FNFM2a8，且FA2c10，所以

FNFMFA2a4 2c5x2y2222例9：如图，从双曲线221a0,b0的左焦点F引圆xya的切线，切点

ab为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则

MOMT的值为__________（用含a,b的表达式表示）

思路：首先要将MO,MT向a,b靠拢，因为PF与圆切于T，连结OT，可知OTra，且VFOT为直角三角形，从而FTOFc，

OFOT22c2a2b，进而

1PFb，在寻找MO，因为M为线段FP的中点，且由双曲线性21''''质得O为FF的中点，所以连结PF，则由中位线性质可得OMPF，而PF恰好是

2MTFMFT

另一焦半径。所以MOMT111PF'PFbbPFPF'，由双曲线定222义可得：PFPF'2a，从而MOMTba 答案：ba

小炼有话说：（1）题目中遇到中点问题，除了已知条件外，在椭圆和双曲线中还要注意“原点也是两焦点的中点”这一隐藏条件

（2）在椭圆与双曲线中，因为两条焦半径存在几何关系（和差与a相关），所以题中出现一条焦半径时，常见的辅助线是连出另一条焦半径。

x2y21a2，圆O:x2y2a24，例10：如图，椭圆C:2a4椭圆的左右焦点分别为F1,F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M,N两点，若PF1PF26，则PMPN的值为__________

思路：本题很难直接求出PM,PN的值，从而考虑将其视为整体，进行转化：从图上可得：

PMOMOPrOP,PNONOPrOP22，

2从而

PMPNr2OPa24OP，所以只需确定OP即可，设Px,y，即

x2y21，则需利用好PF1PF26，想到焦半径公式：则OPxy，已知2a4222PF1aex,PF2aex222，所以

PF1PF2a2e2x26，所以

4x2a242c2222222xyex4a2，所以xyx42x4x4，即22aaaPMPN6

答案：6