二次函数及三角形周长,面积最值问题

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二次函数与三角形周长，面积最值问题

知识点：1、二次函数线段，周长问题

2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题

【新授课】

考点1：线段、周长问题

例1.(2018·)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为〔2，0〕，且经过点〔4，1〕，

如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． 〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．

拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？假设存在，求出点P的坐标。

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练习

1、如图，二次函数yax24xc的图象与坐标轴交于点A〔-1， 0〕和点B〔0，-5〕．

〔1〕求该二次函数的解析式；

〔2〕该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． y O

x A B

2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4〔a＜0〕经过△ABC的三个顶点，BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． 〔1〕求抛物线的解析式．

〔2〕在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．

yCABOx

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例2. (2018•莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕，C〔0，3〕三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． 〔1〕求抛物线的函数表达式；

〔2〕如图1，求线段DE长度的最大值；

练习

1、如图，抛物线y=

12

x+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A〔一1，0〕． 2- .word.zl.

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⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 〔4〕过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。

2、 如图，在平面直角坐标系中，直线y33x与抛物线421yx2bxc交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．

4〔1〕求该抛物线的解析式；

〔2〕点P是直线AB上方的抛物线上一动点〔不与点A、B重合〕，过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．

yPCOEDB

Ax

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考点2：二次函数面积最大值

1. (2018•)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A〔﹣4，0〕、B〔2，0〕，交y轴于点C〔0，6〕，在y轴上有一点E〔0，﹣2〕，连接AE． 〔1〕求二次函数的表达式；

〔2〕假设点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；

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2.(2018•东营)如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)〔a>0〕与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． 〔1〕求线段OC的长度；

〔2〕设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

〔3〕在〔2〕的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．

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练习

1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．〔1〕求抛物线的解析式．

〔2〕点M是直线BC上方抛物线上的点〔不与B，C重合〕，过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，假设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．

〔3〕在〔2〕的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？假设存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；假设不存在，请说明理由． yy

AOCMMCNxNxBAOB- .word.zl.

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课后练习

1、〔2017·〕定义：如图1，抛物线

与 轴交于A，B两点，点P

，那么

在抛物线上〔点P与A，B两点不重合〕，如果△ABP的三边满足 称点P为抛物线

的勾股点。

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(1)直接写出抛物线 (2)如图2，抛物线C：

的勾股点的坐标；

与 轴交于A，B两点，点P〔1，

〕是抛物

线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； (3)在〔2〕的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件

的点Q〔异于点P〕

的坐标

2、如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为〔3，0〕、〔0，4〕，抛物线y顶点在直线x22xbxc经过B点，且35上． 2〔1〕求抛物线对应的函数关系式；

〔2〕假设△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判

断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

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〔3〕假设M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴

交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标． y BC N MAODEx

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