风险管理课后习题 考试重点 ZZU

1.15 假定某一投资预期回报为8%，标准差为14%；另一投资预期回报为12%，标准差为20%。两项投资相关系数为0.3， ω1 ω2 μ δ 0.00 1.00 0.1200 0.2000 0.20 0.80 0.1120 0.1705 0.40 0.60 0.1040 0.1469 0.60 0.40 0.0960 0.1322 0.80 0.20 0.0880 0.1297 1.00 0.00 0.0800 0.1400 1.16市场的语气回报为12%，无风险利率为7%，市场回报标准差为15%。一个投资人在有效边界上构造了一个资产组合，预期回报为10%

解：由资本市场线可得：rprfrmrfmp，

当rm0.12,rf7%,m15%,rp10%,则

p(rprf)*m/(rmrf)(10%7%)*15%/(12%7%)9%同理可得，当rp20%，则标准差为：p39%

1.17一家银行在下一年度的盈利服从正太分布，其期望值及标准差分别为资产的0.8%及2%.股权资本为正，资金持有率为多少。（1）设 在99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为A，银行在下一年的盈利占资产的比例为X，由于盈利服从正态分布，因此银行在99%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为：P(XA)，由此可得

A0.8%A0.8%P(XA)1P(XA)1N()N()99%查表得

2%2%A0.8%=2.33，解得A=3.86%，即在99％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为

2%3.86%。

（2）设 在99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为B，银行在下一年的盈利占资产的比例为Y，由于盈利服从正态分布，因此银行在99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为：P(YB)，由此可得

B0.8%B0.8%P(YB)1P(YB)1N()N()99.9%查表得

2%2%B0.8%=3.10，解得B=5.4% 即在99.9％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为

2%5.4%。

1.18一个资产组合经历主动地管理某资产组合，贝塔系数0.2.去年，无风险利率为5%，回报-30%。资产经理回报为-10%。资产经理市场条件下表现好。评价观点。 该经理产生的阿尔法为0.10.050.2(0.30.05)0.08

即-8%，因此该经理的观点不正确，自身表现不好。 5.31 5.31 股票的当前市价为94美元，同时一个3个月期的、执行价格为95

美元的欧式期权价格为4.70美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不

知道是否应该买入100股股票或者买入2000个（相当于20份合约）期权，这两种投资所需资金均为9400美元。在此你会给出什么建议？股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好？

设 3个月以后股票的价格为X美元（X>94）（1）当94X95美元时，此时股票价格小于或等于期权执行价格，考虑到购买期权的费用，应投资于股票。

（2）当X95美元时，投资于期权的收益为：(X95)20009400美元，投资于股票的收益为(X94)100美元 令(X95)20009400(X94)100 解得X= 100美元

给出的投资建议为：若3个月以后的股票价格：94X100美元，应买入100股股票；若3个月以后的股票价格X=100美元，则两种投资盈利相同；若3个月以后股票的价格：

X100美元，应买入2000个期权，在这种价格下会使得期权投资盈利更好。

5.355.35一个投资人进入远期合约买入方，执行价格为K，到期时间为将来某一时刻。同时此投资人又买入一个对应同一期限，执行价格也为K的看跌期权，将这两个交易组合会造成什么样的结果？

假设到期标的资产的价格为S，当S>K，远期合约盈利（S-K），期权不执行，亏损期权费p,组合净损益为S-K-p,当S5.37一个交易员在股票价格为20美元时，以保证金形式买入200股股票，初始保证金要求为60%，维持保证金要求为30%,交易员最初需要支付的保证金数量为多少？股票在价格时会产生保证金催付？

（1）由题目条件可知，初始股票价格为20美元，购入了200股股票，那么初始股票价值为202004000美元，初始准备金为400060%2400美元.

（2）设 当股票价格跌至X美元时产生准备金催款

当股票价格下跌至X美元时，股票价值为200X，则股票价值下跌了 200(20X)美元 此时保证金余额为 2400[200(20X)]美元，又已知维持保证金为30%，则有：

2400[200(20X)]0.3 解得X11.43美元。

200X7.1 交易组合价值对于S&P500的dalta值为-2100.当前市值1000,。估计上涨到1005时，交易组合价格为多少？ 交易组合价值减少10500美元。

7.3 一个DeLta中的交易组合Gamma为30,估测（a)的资产突然涨2美元（b)突然跌2美元

两种情形下的增长量均为0.5*30*4=60美元

7.15 一个Delta中性交易组合Gamma及Vega分别为50和25.解释当资产价格下跌3美元及波动率增加4%时，交易组合价格变化。

由交易组合价格的泰勒方程展开式得，交易组合的价格变化=25*4%+1/2*50*(-3)(-3)=226(美元)，即交易组合的价格增加226美元。

7.17一金融机构持有以下场外期权交易组合（表格）Delta 0.6，Gamma为1.5，Vega为0.8

根据表格信息可以得出组合资产的头寸数量为-(1000+500+2000+500)=-4000；

组合的Delta=(-1000) 0.5+(-500) 0.8+(-2000) (-0.4)+(-500) 0.7=-450; 同理可得组合的Gamma=-6000;组合的Vega=-4000;

（a）为达到Gamma中性，需要在交易组合中加入(6000/1.5)4000份期权，加入期权后的Delta为45040000.61950，因此，为保证新的交易组合的Delta中性，需要卖出1950份英镑。为使Gamma中性采用的交易是长头寸，为使Delta中性采用的交易是短头寸。

(b)为达到Vega中性，需要在交易组合中加入(4000/0.8)5000份期权，加入期权后的Delta为45050000.62550，因此，为保证新的交易组合的Delta中性，需要卖出2550份英镑。为使Vega中性采用的交易是长头寸，为使Delta中性采用的交易是短头寸。

7.18 引入第二种交易所交易期权，假定期权Delta为0.1，Gamma为0.5，Vega为0.6，采用多少数量的交易可使场外交易组合的Delta，Gamma，Vega为中性。 首先计算交易组合的Delta，Gamma，Vega

Delta=(-1000)x0.5+(-500)x0.8+(-2000)x(-0.4)+(-500)x0.7=-450 Gamma=(-1000)x2.2+(-500)x0.6+(-2000)x1.3+(-500)x1.8=-6000 Vega =(-1000)x1.8+(-500)x0.2+(-2000)x0.7+(-500)x1.4=-4000

1.510.52600000.810.6240000 解得13200,22400

因此，分别加入3200份和2400份交易所交易期权可使交易组合的Gamma，Vega都为中性。

加入这两种期权后，交易组合的Delta=3200x0.6+2400x0.1-450=1710，因此必须卖出1710份基础资产以保持交易组合的Delta中性。

8.158.15假定某银行有100亿美元1年期及300亿美元5年期贷款，支撑这些

资产的是分别为350亿美元1年期及50亿美元的5年期存款。假定银行股本为20亿美元，而当前股本回报率为12%。请估计要使下一年股本回报率变为0，利率要如何变化？假定银行税率为30%。

这时利率不匹配为250亿美元，在今后的5年，假定利率变化为t，那么银行的净利息收入每年变化2.5t亿美元。按照原有的12%的资本收益率有，若银行净利息收入为x，既有x（1-30%）/20=12%，解得净利息收入为x=24/7.最后有2.5t=24/7,解得1.3714%。即利率要上升1.3714个百分点。

8.168.16 组合A由1年期面值2000美元的零息债券及10年期面值6000美元

的零息债券组成。组合B是由5.95年期面值5000年期的债券组成，当前债券年收益率10%（1）证明两个组合有相同的久期（2）证明收益率有0.1%上升 两个组合价值百分比变化相等（3）如果收益率上升5% 两个组合价值百分比变化是多少？

（1）对于组合A，一年期债券的现值Ba12000e0.11809.67，十年其债券的现值

Ba26000e0.1102207.28组合A的久期为

11809.672207.28105.95由于

1809.672207.28PAPADAyPBPBDBy组合B的久期亦为5.95，因此两个组合的久期相等（2）因为收益率上升了0.1%，上升幅度比较小，因此A,B组合价值的变化可以分别由以下公式表示：

所以有

PAPBDA ; DB PAyPBy由（1）可知组合A与组合B的久期相等，因此两个组合价值变化同利率变化的百分比相同。

（3）因为收益率上升了5%，上升幅度较大，因此A，B组合价值的变化可分别表示为：PAPADAy所以有

11CAPA(y)2;PBPBDByCBPB(y)2 22PAPB11DACAy; DBCBy PAy2PBy21809.67122207.2810255.4 可以计算得到组合A的曲率为

1809.672207.2850005.95235.4 组合B的曲率为

5000分别把数据代入公式，计算得到

PA15.9555.45%4.565PAy2PB15.9535.45%5.065PBy2

因此，如果收益率上升5%，两种组合价值变化同利率变化的百分比分别为-4.565和-5.065.

8.17 8.17 上题中的交易组合的曲率是是多少？a久期和b曲率多大程度上解释了上题第三问中组合价值变化的百分比。

曲率的公式为，C=错误！未找到引用源。*错误！未找到引用源。 ，有A组合，CA=错误！未找到引用源。（t12*p1+t22*p2）式中，PA=4016.95，t1 =1，t2 =10，P1=2000*e-0.10 ,P2=6000*e-0.10*10,则有CA=55.40 。B组合，CB=35.40 。（1）对于A交易组合，根据公式，

久期衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下近似式，

错误！未找到引用源。B=-D*B*错误！未找到引用源。=-5.95*5%=-0.2975， 曲率衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下更精确的关系式，B=-D*B*错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。*B*C*(错误！未找到引用源。)2, 则有错误！未找到引用源。=-5.95*5%+错误！未找到引用源。*55.40*(5%)2=-0.2283而实际交易组合价格对收益率变化的百分比为，错误！未找到引用源。=-0.23，与曲率关系式结果大体一致，这个结果说明，债券收益率变化较大时，曲率公式比久期公式更精确。（2）对于B交易组合，根据公式,

久期衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下近似式， 错误！未找到引用源。B=-D*B*错误！未找到引用源。=-5.95*5%=-0.2975， 曲率衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下更精确的关系式，B=-D*B*错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。*B*C*(错误！未找到引用源。)2, 则有错误！未找到引用源。=-5.95*5%+错误！未找到引用源。*35.40*(5%)2=-0.2533。

而实际交易组合价格对收益率变化的百分比为，错误！未找到引用源。=-0.2573，与曲率关系式结果大体一致，

这个结果说明，债券收益率变化较大时，曲率公式比久期公式更精确。

9.1 Var与预期亏损的区别？预期亏损的长处？

VaR是指在一定的知心水平下损失不能超过的数量；预期亏损是在损失超过VaR的条件下损失的期望值，预期亏损永远满足次可加性（风险分散总会带来收益）条件。 9.2 光谱型风险度量

一个风险度量可以被理解为损失分布的分位数的某种加权平均。VaR对于第x个分位数设定了100%的权重，而对于其它分位数设定了0权重，预期亏损对于高于x%的分位数的所有分位数设定了相同比重，而对于低于x%的分位数的分位数设定了0比重。我们可以对分布中的其它分位数设定不同的比重，并以此定义出所谓的光谱型风险度量。当光谱型风险度量对于第q个分位数的权重为q的非递减函数时，这一光谱型风险度量一定满足一致性条件。

9.3 公告阐明，其管理基金一个月展望期的95%VaR=资产组合价值的6%。在你基金中有10w美元，如何理解公告

有5%的机会你会在今后一个月损失6000美元或更多。

9.4 公告阐明，其管理基金一个月展望期的95%预期亏损=资产组合价值的6%，在你基金中有10w美元，如何理解公告

在一个不好的月份你的预期亏损为60000美元，不好的月份食指最坏的5%的月份

9.5 某两项投资任何一项都有0.9%触发1000w美元损失，而有99.1%触发100w美元损失，并有正收益概率为0，两投资相互独立。（a)对于99%置信水平，任一项投资VaR多少（b）选定99%置信水平，预期亏损多少 （c）叠加，99%置信水平VaR多少(d)叠加，预期亏损（e)说明VaR不满足次可加性条件但预期亏损满足条件

(1)由于99.1%的可能触发损失为100万美元，故在99%的置信水平下，任意一项损失的VaR为100万美元。

（2）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中，有0.9%的概率损失1000万美元，0.1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是

0.1%0.9%1001000910万美元1%1%（3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.0090.009=0.000081的概率损失为2000万美元，有0.9910.991=0.982081的概率损失为200万美元，有

20.0090.991=0.017838的概率损失为1100万美元，由于99%=98.2081%+0.7919%，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是1100万美元。

（4）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中,有0.0081%的概率损失2000万美元，有0.9919%的概率损失1100万美元，因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预期亏损是

0.0000810.009919200011001107万美元0.010.01（5）由于11001002=200，因此VaR不满足次可加性条件，

11079102=1820，因此预期亏损满足次可加性条件。

9．6假定某交易组合变化服从正态分布，分布的期望值为0。标准差为200w美元。（a)一天展望期的97.5% VaR为多少(b)5天为多少（c)5天展望期99%VaR为多少？ （1）1天展望期的97.5% VaR为200N1(0.975)=200*1.96=392 （2）5天展望期的97.5% VaR为5*392=876.54

N1(0.99)2.33（3）1天展望期的99% VaR 为392*1=392*=466

1.96N(0.975)因此，5天展望期的99% VaR 为5*466=1042

9.12假定两投资任意一项都有4%概率触发损失1000w美元，2%触发损失100w美元，94%

盈利100w美元。（a)95%置信水平，VaR多少（b)95%水平的预期亏损多少 （c）叠加，99%置信水平VaR多少(d)叠加，预期亏损（e)说明VaR不满足次可加性条件但预期亏损满足条件

（1）对应于95%的置信水平，任意一项投资的VaR为100万美元。

（2）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中，有4%的概率损失1000万美元，1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是

4%1%1000100820万美元 5%5%（3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.040.04=0.0016的概率损失

2000万美元，有0.020.02=0.0004的概率损失200万美元，有0.940.94=0.8836的概盈利200万美元，有20.040.02=0.0016的概率损失1100万美元，有

20.040.94=0.0752的概率损失900万美元，有20.940.02=0.0376的概率不亏损也不盈利，由0.95=0.8836++0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR是900万美元。

（4）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中,有0.16%的概率损失2000万美元，有0.16%的概率损失1100万美元，有4.68%的概率损失900万美元，因此，两项投资迭加

在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预期亏损是

4.68%0.16%0.16%90011002000941.6万美元5%5%5%（5）由于9001002=200，因此VaR不满足次可加性条件，

941.68202=1640，因此预期亏损满足次可加性条件。

10.910.9 某一资产的波动率的最新估计值为1.5% 昨天价格30美元 EWMA中λ为0.94 假定今天价格为30.50 EWMA模型将如何对波动率进行更新

在这种情形下，n10.015，n(30.5030)/300.01667，由式(9-8)我们可得出

2n0.940.01520.060.0166720.0002281

因此在第n天波动率的估计值为0.0002810.015103，即1.5103%。

10.14 w=0.000004 α=0.05 β=0.92 长期平均波动率为多少 描述波动率会收敛到

长期平均值的方程是什么 如果当前波动率是20% 20天后波动率的期望值是多少

长期平均方差为ω/（1-α-β），即0.000004/0.03=0.0001333，长期平均波动率为

0.0001333=1.155%，描述方差回归长期平均的方程式为E[σ2 n+k]=VL+(α+β)k(σ2

n- VL)这时E[σ2 n+k]=0.0001330+0.97k（σ2 n-0.0001330）如果当前波动率为每年20%，σ n=0.2/

252=0.0126,在20天后预期方差为0.0001330+0.9720（0.01262-

0.0001330）=0.0001471因此20天后预期波动率为0.0001471=0.0121，即每天1.21%。 10.17 w=0.000002 α=0.04 β=0.94 波动率近似为1.3% 估计20天后的每天波

动率

V=0.0001，=0.0202，=20以及V(0)=0.000169带入公式 ()252{V1e[V(0)V]}得到波动率为19.88%。

 把

L2LL10.18 股票价格为30.2 32 31.1 30.1 30.2 30.3 30.6 33.9 30.5 31.1 33.3 30.8 30.3

29.9 29.8 用两种方法估计股票价格波动率

周数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 此时，

股票价格 30.2 32 31.1 30.1 30.2 30.3 30.6 33 32.9 33 33.5 33.5 33.7 33.5 33.2

价格比Si/Si1

1.059603 0.971875 0.967846 1.003322 1.003311 1.009901 1.078431 0.99697 1.00304 1.015152 1

1.00597 0.994065 0.991045

每天回报uiln(SiSi1)

0.057894 -0.02853 -0.03268 0.003317 0.003306 0.009852 0.075508 -0.00303 0.003035 0.015038 0

0.005952 -0.00595 -0.009

2，u0.094708uii0.01145

0.011450.09470820.02884 周收益率标准差的估计值为1314(141)即周波动率为2.884%

0.028840.00545或每周0.545%

21410.19昨天收盘价300美元 波动率1.3% 今天收盘价298 （1）采用ewma 其中λ=0.94（2）garch模型 w=0.000002 α=0.04 β=0.94

每周波动率的标准差为

(a)在这种情形下，n10.013，n(298300)/300-0.0066667，由式(9-8)我们

222可得出n0.940.0130.060.00666670.000161527

因此在第n天波动率的估计值为0.0001615270.012709，即1.2709%。

222(b)这里GARCH(1,1)模型为n0.0000020.04n10.94n1

22由(a)知，n10.0130.000169，n-1(-0.0066667)0.000044447，因此 2n0.0000020.040.0000444470.940.000169=0.00015886

22对于波动率的最新估计为n0.00015886=0.012604，即每天1.2604%。 10.23 VaRN(X) (1) =1000/1.6448727 =607.94978

12VaRN1(99%) =607.94978*2.326=1414.0912（万美元）

xKx（2） Prob0.01Kx-3 所以x

3 K0.05/1000350000000

k/0.01 1709.9759

8.17 上题中的交易组合的曲率是是多少？a久期和b曲率多大程度上解释了上题第三问中组合价值变化的百分比。

曲率的公式为，C=*

，有A组合，CA=（t12*p1+t22*p2）式中，

PA=4016.95，t1 =1，t2 =10，P1=2000*e-0.10 ,P2=6000*e-0.10*10,则有CA=55.40 。B组合，CB=35.40 。（1）对于A交易组合，根据公式，

久期衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下近似式，

B=-D*B*

=-5.95*5%=-0.2975，

曲率衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下更精确的关系式，B=-D*B*

+*B*C*(

)2, 则有

=-5.95*5%+*55.40*(5%)2=-0.2283

=-0.23，与

而实际交易组合价格对收益率变化的百分比为，

曲率关系式结果大体一致，这个结果说明，债券收益率变化较大时，曲率公式比久期公式更精确。（2）对于B交易组合，根据公式,

久期衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下近似式， B=-D*B*

=-5.95*5%=-0.2975，

曲率衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下更精确的关系式，

B=-D*B*

+*B*C*(

)2, 则有

=-5.95*5%+*35.40*(5%)2=-

0.2533。

而实际交易组合价格对收益率变化的百分比为，0.2573，与曲率关系式结果大体一致，

这个结果说明，债券收益率变化较大时，曲率公式比久期公式更精确。

=-