广东省2021届高三数学上学期期末考试试题 文

广东省汕头市金山中学2019届高三数学上学期期末考试试题 文

一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1．已知集合

A．{1，4} B．{2，3} 2. 已知复数zA．虚数

3. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在等差数列

中，前项和满足

，则

（ ）

，Q={1，2，3，4}，则（∁RP）∩Q=（ ） C．{2，3，4} D．{x|1≤x＜4}

2，则下列结论正确的是（ ） 1iB．

的虚部为i

z2 C．

的共轭复数z1i D．

为纯

A． 7 B． 9 C． 14 D． 18

5. 已知alog27,blog38,c0.3，则a，b，c的大小关系为（ ）

A．cba B．abc C．bca D．cab 6. 定义在R上的奇函数（ ）

A．7.在

A．8. 已知

A.9. 函数

A.B.C.将函数的图象

中，

为

B．

C．

，则

D．1 （ ）

满足

，且当

时，

，则

0.2边上的中线，点满足

51511515ACAB B．ACAB C．ACAB D． ACAB 66666666，则B.，

的图象关于直线的图象关于点

对称 对称 的图象向左平移

个单位得到函数

（ ）

C.

D.

的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

1

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D.若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个三棱锥的三视图， 则该三棱锥的外接球表面积是（ ）

A．

11. 设数列an满足a12，且（例如1.61,1.62）则

，若x表示不超过x的最大整数，

＝（ ）

B．

C．

D．

A．2020 B．2019 C．2018 D．2017

12. 已知函数方程有5个不同的实根，

则取值范围是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知曲线 14. 设向量是 .

15.如图，在直三棱柱则异面直线

16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段

，以

为一边在线段

的长度为a，在线段

上取两个点，，使得，得到图2中的图形；

与

中，

，

在

处的切线过点且

，则向量

，那么实数

_______．

在向量方向上的投影

所成角的余弦值为 .

的上方做一个正六边形，然后去掉线段

2

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对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，则 （1）

；（2）如果对

恒成立，那么线段

的长度a的取值范围是_______. 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

121*

已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N)在函数f(x)＝x＋x的图像上．

22(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列

18.（本小题满分12分） 如图，三棱柱（1）求证：（2）求三棱锥

19.（本小题满分12分） 汕头市有一块如图所示的海岸，现有以下两个方案： 方案l：在岸边方案2：在

，

上分别取点

，用长度为

，

的围网依托岸边围成三角形上分别取点

，使得

. ，用

，

为岸边，岸边形成

角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，

平面

的所有棱长都是2，; 的体积.

面

，

分别是

的中点.

13

的前n项和为T，证明：T< . nn 4

anan2B1 B C1 A1

E D A

C

的平分线上取一点，再从岸边

3

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长度为记三角形

的围网依托岸边围成四边形的面积为，四边形

.

. 请分别计算

的最大值，并比较哪个方案好.

20.（本小题满分12分）

设椭圆

（1）求椭圆的方程； （2）已知过椭圆右焦点求四边形

的左焦点为，离心率为，为圆的圆心．

的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，

面积的取值范围．

21. （本小题满分12分） 已知函数（1）证明：（2）若对任意

ax， g(x)＝xe

的导函数

在区间

2ax (a∈R).

上存在唯一零点； ，使得

，求实数的取值范围.

，均存在

ax注：复合函数y=e的导函数=ae.

请考生从第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. （本小题满分10分）选修

：坐标系与参数方程

4

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在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为．

（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点

23. （本小题满分10分）选修已知函数f(x)x2x1. （1）解不等式f(x)：不等式选讲

作斜率为1直线与圆交于

两点，试求

的值．

1； 212（2）若正数a，b，c，满足a2b4cf()2，求

124的最小值. abc题号 答案 1 C 2 D 汕头市金山中学2017级高三第一学期期末考试

文科数学 参考答案 3 4 5 6 7 8 9 B B A A C B D 10 C 11 B 12 D 13.__1__; 14.____; 15._____; 16.___; ,___.

121121

17. 解：(1)∵点(n，Sn)在f(x)＝x＋x的图像上，∴Sn＝n＋n.① ┄┄┄1分

2222112

当n≥2时，Sn－1＝(n－1)＋(n－1)．② ┄┄┄2分

22①－②，得an＝n. ┄┄┄3分 11

当n＝1时，a1＝S1＝＋＝1，符合上式， ┄┄┄4分

22∴an＝n. ┄┄┄5分 11111

(2)由(1)得＝＝(－)， ┄┄┄7分

anan＋2n（n＋2）2nn＋2∴Tn＝－

11111111111111111＋＋＋…＋＝×(1－)＋×(－)＋×(－)＋…＋×(－)＋×(a1a3a2a4a3a5anan＋2232242352n－1n＋12n

1) n＋2

5

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1111＝(1＋－－) ┄┄┄10分 22n＋1n＋231113＝－(＋) < ． ┄┄┄12分 42n＋1n＋24

18. 解：（1）∵ ∴ ∵三棱柱∴平面∴

平面平面

∴

平面

，是

的中点

┄┄┄1分

中

平面

平面

，且平面

┄┄┄2分

B1 B ┄┄┄3分

中，

分别是

的中点

又∵在正方形∴ 又∴

平面

C1 O E D A

C

, ┄┄┄4分 A1

. ┄┄┄5分

（2）解法一（割补法）：

B1 ┄┄┄12分 解法二（利用平行顶点轮换）： ∵∴

B C1 A1

O E D A

C

∴

┄┄┄12分

6

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解法三（利用对称顶点轮换）： 连结∵为

，交

于点

的中点

的距离等于点

到平面

的距离.

∴ 点到平面∴

┄┄┄12分

解法四（构造法）： 连结

，交

于点，则为中，

，

面

，所以

的中点，再连结，

.

，且

由题意知又又∴

，所以，所以

∴

19. 解： 方案1：设在即

中，由余弦定理得：

，

┄┄┄12分

┄┄┄1分

┄┄┄2分

（当且仅当（当且仅当

时等号成立） ┄┄┄3分 时等号成立） ┄┄┄4分

最大值为 ┄┄┄5分

方案2： 在

中，由正弦定理得：即 ┄┄┄6分

┄┄┄7分

7

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（当且仅当

最大值为

时等号成立） ┄┄┄10分 ┄┄┄11分

方案好 ┄┄┄12分

20. 解：（1）由题意知

圆┄┄┄2分

所以

，又的标准方程为

，则， ┄┄┄1分

，从而椭圆的左焦点为

，即

，

，得

． ┄┄┄3分

所以椭圆的方程为：（2）由（1）可知椭圆右焦点（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时可得：┄┄┄5分

（ⅱ）当l与x轴平行时，此时可得：┄┄┄6分

，，

. ┄┄┄4分

． 不存在，直线l：，四边形

，直线

，

面积为12.

，直线，四边形

，直线面积为

，

.

（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为

.

，并设，

由┄┄┄7分

得.

8

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显然，且， . ┄┄┄8分

所以. ┄┄┄9分

过且与l垂直的直线，

则圆心到的距离为，

所以. ┄┄┄10分

故四边形面积：.

面积的取值范围为(12,

). ┄┄┄11分

可得当l与x轴不垂直时，四边形综上，四边形21. 解：（Ⅰ）设

面积的取值范围为，则

． ┄┄┄12分

┄┄┄1分

. ┄┄┄2分

当所以又故

在区间在时，

；当

单调递减，在

时，

，

单调递增. ┄┄┄3分

，

上存在唯一零点. ┄┄┄4分

上的最大值为f(x)max, g(x)在区间，均存在

，使得

上的最大值为g(x)max. ”等价于“g(x)max

（Ⅱ）记在区间

依题意, “对任意由(Ⅰ)知，f(x)在且当所以又

故应满足g(x)max

f(x)max”┄5分

只有一个零点，设为， ；当

时，

，

时，在

单调递减，在单调递增.

时，f(x)max=1. ┄┄┄6分

，所以当

.

9

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因为g(x)＝xe，所以g′(x)＝(ax＋2x)e＝x (ax＋2)e. ┄┄┄7分

①当a＝0时，g(x)＝x，对任意x∈[0,2]，g(x)max＝g(2)＝4，不满足g(x)max2

②当a≠0时，令g′(x)＝0，得x＝0或x＝－.

2

2ax2axax. ┄┄┄8分

a2

(ⅰ)当－≥2，即－1≤a<0时，在[0,2]上，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,2]上单调递增，g(x)max＝g(2)

a＝4e.

由4e分

222(ⅱ)当0<－<2，即a<－1时，在0，－上，g′(x)≥0，g(x)单调递增；在－，2上，g′(x)<0，

2a2a，得a≤－ln 2，所以－1≤a≤－ln 2. ┄┄┄9

aaa

g(x)单调递减．g(x)max＝g－＝22.

aae

由4a2e2

22

，得a≤－或a≥，所以a<－1. ┄┄┄10分

ee

2

4

22a(ⅲ)当－<0，即a>0时，显然在[0,2]上，g′(x)≥0，g(x)单调递增，于是g(x)max＝g(2)＝4e，此

a时

┄┄┄11分

不满足g(x)max.

综上，实数a的取值范围是(－∞，－ln 2]． ┄┄┄12分 22. 解：（Ⅰ）由即

得：

，C的直角坐标方程为：

，

，

． ┄┄┄4分

（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为，，直线和圆的方程联立得：

，所以，

所以，

23.解：（1）f(x)x2x1

，． ┄┄┄8分

． ┄┄┄10分

1，解得x1； ┄┄┄1分 2115②当1x2时，f(x)32x，由f(x)，即32x，解得1x； ┄┄┄2分

2241③当x2时，f(x)1不满足f(x)，此时不等式无解 ┄┄┄3分

215综上，不等式f(x)的解集为：(,) ┄┄┄4分

24①当x1时，f(x)2x(1x)1，由f(x)

10

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（2）解法1：

1a2b4cf()23 ┄┄┄5分

2124124a2b4c12b2a4c4a8c8b()[(1416)] abcabc33abacbc312b2a4a4a8c8b49abc 当且仅当时等号成立. (21222)73abacbc3所以12473 ┄┄┄10分 的最小值为abc3解法2：

1a2b4cf()23 ┄┄┄5分

21241124(a2b4c)() abc3abca,b,c0 由柯西不等式：上式[(a)2(2b)2(4c)2](13122242)()() abc493112412(124)abc(a)(2b)(4c) 当且仅当时等号成立. 373abc3所以

212473 ┄┄┄10分 的最小值为

abc3 11