习题解答_现控理论_第6章

6-1 对线性系统

作状态反馈uKxv,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。

解 将反馈律代入状态空间模型，则有

因此，闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为

6-2 对线性系统

作输出反馈u=-Hy+v,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。

解 将反馈律代入状态空间模型的输出方程，则有

即

因此，当(IDH)可逆时，闭环系统输出方程为 将反馈律和上述输出方程代入状态方程，则有 当闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为 来源于网络

6-3 给定被控系统的状态方程为

试确定一个状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在-2±j处。

解 1) 判断系统的能控性。开环系统的能控性矩阵为 则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。

2) 求能控规范II形:

因此系统开环特征多项式f(s)=s2-2s-5,而由期望的闭环极点-2±j所确定的期望的闭环特征多项式

f(s)=s2+4s+5,得系统的状态反馈阵K为

则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为 通过验算可知,该闭环系统的极点为-2±j,达到设计要求。

6-4 给定被控系统的状态方程为

问能否确定一个状态反馈阵K,使闭环系统的极点分别配置在下列位置: (1) s1=-2, s2=-2, s3=-2, s4=-2 (2) s1=-3, s2=-3, s3=-3, s4=-2 (3) s1=-3, s2=-3, s3=-3, s4=-3 解： 由于开环系统模型为约旦规范形，因此由模态判据知，该系统特征值2的子系统完全能控，因此2重的开环极点2 可以任意配置；而特征值-2对应的2维子系统不完全能控，但由于其对应的2维子系统的能控性矩阵的秩为1，故2重的开环极点-2应有一个可以任意配置，一个不能配置（不能控）。 根据上述分析结果，可以判定如下： (1) s1=-2, s2=-2, s3=-2, s4=-2 由于期望闭环极点有一个为-2，因此，可以将可任意配置的3个极点配置为-2，而一个不能配置的极点也为-2，符合期望极点要求。故，应存在状态反馈律将闭环极点配置在期望位置上。

(2) s1=-3, s2=-3, s3=-3, s4=-2 由于期望闭环极点有一个为-2，因此，可以将可任意配置的3个极点配置为-3，而一个不能配置的极点还为-2，符合期望极点要求。故，应存在状态反馈律将闭环极点配置在期望位置上。

(3) s1=-3, s2=-3, s3=-3, s4=-3 由于期望闭环极点没有-2极点，因此，不存在状态反馈律将不能配置的极点-2还为配置在期望的4个极点的任何一个上。 6-5 判断下述系统是否能镇定，若能镇定，试设计一个状态反馈使系统成为稳定的。

1000001x0u (1) x0131 0110020x0u (2) x2101解: (1) 先对系统进行能控性分解 表明系统不完全能控,取能控性分解变换矩阵Pc为 30040， P10Pc0101c1300.25010 0于是可得

01011APc1APc130； BPBc0

0010 来源于网络

原系统的能控性分解为

由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的,系统是可

镇定的。

再对能控部分进行极点配置。由上可知,系统的能控部分为

101A11B， 10 13~~~设A*为具有期望特征值的闭环系统矩阵，且A*A11B1K1,本例中设期望的闭环极点取为-3和-2，

因此有

~显然,当反馈阵K1为 此时,闭环极点为-3和-2。 求取原系统的状态反馈镇定矩阵K 经检验,状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。 (2) 先对系统进行能控性分解 表明系统不完全能控,取能控性分解变换矩阵Pc为 0102， P11Pc003c1200.0100 1/30于是可得 01011APc1APc130； BPBc0 0002原系统的能控性分解为 由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的,系统是可

镇定的。 (2) 对能控部分进行极点配置。由上可知,系统的能控部分为 101A11B， 10 13~~~设A*为具有期望特征值的闭环系统矩阵，且A*A11B1K1,本例中设期望的闭环极点取为-1和-2，

因此有 ~显然,当反馈阵K1为 此时,闭环极点为-1和-2。 (3) 求取原系统的状态反馈镇定矩阵K 经检验,状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。 6-6 已知系统状态空间模型的各矩阵为

00101001A001BC，，001 0100试判断该系统的输出反馈可镇定性。

解 设输出反馈u=[h1 h2]y,因此闭环系统的系统矩阵为

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其特征多项式为s3+ h1s-(1+ h2)。由劳斯判据可知，该系统不可能通过输出反馈进行镇定。

本题系统为能控能观的，根据定理6-5，其输出反馈可镇定性。

6-7 已知待解耦的传递函数矩阵为。

试作一前馈补偿器Gc(s)使系统解耦，且其传递函数阵为

解Gc(s)为

6-8 已知状态空间模型的各矩阵为

00210001B01A020C,,100 04100试判断该系统能否实现状态反馈解耦。若能，求其积分型解耦系统。 解：由于 可知 l10,l21。 从而 状态反馈解耦控制律的反馈矩阵与前馈矩阵为 因此，状态反馈解耦控制闭环系统传递函数阵为 6-9 给定被控系统的状态空间模型为 试确定一个状态观测器,要求将其极点配置在-2,-2和-3处。 解 (1) 用方法一求解。利用对偶性方法,求得原系统的对偶系统为 根据6.2节进行极点配置方法，可计算出对偶系统的状态反馈阵K为 即所求状态观测器的反馈阵 则相应状态观测器为 6-10 给定被控系统的状态空间模型为 试设计一个降维状态观测器,要求将观测器的极点配置在-3和-5处。 解 (1) 由于输出C已为规范形式，则系统各矩阵可分解为如下形式 (2) 因此,降维状态观测器的特征多项式为 (3) 由给定的期望特征值得期望的特征多项式为 令f(s)=f*(s),则可得 (4) 故，可得降维状态观测器的各矩阵为 于是所得的降维状态观测器为 6-11 给定被控系统的状态空间模型为

该系统的状态不能直接测量,试设计一个带状态观测器的状态反馈系统,要求将其状态观测部分的极

点配置在-5,-7和-8处,状态反馈部分的极点配置在-1,-2和-3处。 解：根据6.2节求解极点配置方法，得到反馈矩阵为K=[4 7 3]；再根据6.5节求解状态观测器反馈矩阵的方法，得到反馈矩阵为G=[-353/3 260/3 -106]T。因此，所设计的带状态观测器的状态反馈

系统的状态反馈律：

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状态观测器为

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