2018年福建省莆田市初中初三市质
检数学试卷及答案(总10页)
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2018年莆田市初中毕业班质量检查数学试卷
(满分:150分;考试时间:120分钟)
注意:本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分,答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答,答案写在答题卡上的相应位置。
一、选择题(每小题4分,共40分) (1)2018的相反数为( )
11(A)2018 (B) (C) 2018 (D)
20182018(2)下列式子运算结果为2a的是( )
(A)aa2 (B) 2a (C) aa (D) a3a
(3)若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是半径相等的圆,则这个几何体是( ) (A)圆柱 (B)球 (C) 正方体 (D)圆锥 (4)下列说法中,正确的是( )
(A)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 (B)对角线相等的四边形是矩形 (C)对角线互相垂直的四边形是菱形 (D)有一组邻边相等的矩形是正方形
(5)若x=1是关于x的方程x2-2x+c=0的一个根,则c的值为( ) (A) 1 (B)0 (C) 1 (D)2
O (6)如图,AB是⊙O的切线,A为切点,连接OB交⊙O于点C.若OA=3, 4tan∠AOB=,则BC的长为( ) C 3B
A (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(7)一组数据:2,3,3,4,若添加一个数据3,则发生变化的统计量是( ) (A)平均数 (B)中位数 (C)众数 (D)方差
(8)已知一次函数y=kx+1的图象经过点A,且函数值y随x的增大而减小,则点A的坐标可能是( )
(A)(2,4) (B)(-1,2) (C )(-1,-4) (D)(5,1)
(9)如图,在四边形ABCD中,∠A=120°,∠C=80°将△BMN沿养MN翻折,得到△FMN.若
MF∥AD,FN∥DC,则∠F的度数为( )
(A) 70° (B) 80° (C) 90° (D) 100°
C y
D
N B F A
B A M O x
22
(10)如图,点A、B分别在反比例函数y=
a1(x>0),y= (x<0)的图象上.若OA⊥OB,xxOB2, OA则a的值为( )
(A)4 (B)4 (C) 2 (D)2 二、填空題(每小题4分,共24分)
(11)计算:38=________.
(12)我国五年来(2013年~2018年)经济实力跃上新台阶,国内生产总值增加到827000亿元.
数据827000亿元用科学记数法表示为________亿元.
(13)如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间阴影部分是一个小正方形
EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”,若AB=5,AE=4,则正方形EFCH的面积为
A A D ________. G H F
E F E B D B C
C
(14)如图,△ABC中,AB=35,AC=45.点F在AC上,AE平分∠BAC,AE⊥BF于点E.若点D为 BC中点,则DE的长为________.
(15)小峰抛掷一枚质地均匀的硬币两次,则事件“至少出现一次正面朝上”的概率为________.
(16)2010年8月19日第26届国际数学家大会在印度的海德拉巴市举行,并首次颁出陈省身
奖,该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖. 根据蔡勒公式可以得出2010年8月19日是星期________.
cy26(m1)(注:蔡勒(德国数学家)公式:W=2cyd1 4410其中:W——所求的日期的星期数(如大于7,就需减去7的整数倍),c——所求年份的前
两位,y所求年份的后两位,m—月份数(若是1月或2月,应视为上一年的13月或14月,即3≤m≤14),d——日期数,[a]—表示取数a的整数部分.) 三、解答题(86分) (17)先化筒,再求值:
a11,其中a=3. 2a2a1a1A
(18)( 8分)如图,等边△ABC.
(1)求作一点D,连接AD、CD,使得四边形ABCD为菱形; (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接BD交AC于点O,若OA=1,求菱形ABCD的面积.
33
B C
(19)( 8分)保险公司车保险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保
人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表: 上年度出险次0 1 2 3 4 ≥5 数 保费 a a 2 a 该公司随机调查了该险种的300名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计图: (1)样本中,保费高于基本保费的人数为________名; (2)已知该险种的基本保费a为6000元,估计一名 续保人本年度的平均保费.
B (20)( 8分)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°.分别以AB、AC
为边在AB同侧作等边△ABD和等边△ACE,连接DE. (1)判断△ADE的形状,并加以证明; A C (2)过图中两点画一条直线,使其垂直平分图中的某条线段,并说明理由. D E
(21)( 8分)水果店在销售某种水果,该种水果的进价为10元/kg根据以往的销售经验可知:
日销量y(单位:kg)随售价x(单位:元/kg)的变化规律符合某种函数关系. 该水果店以往的销售记录如下表:(售价不低于进价) 售价x(单位:元10 15 20 25 30 /kg) 日销量y(单位:30 20 15 12 10 kg) 若y与x之间的函数关系是一次函数,二次函数,反比例函数中的某一种. (1)判断y与x之间的函数关系,并写出其解析式;
(2)水果店销售该种水果的日利润能否达到200元?说明理由.
(22)( 10分)如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为N,连接AC. (1)若ON=1,BN=3,求BC长;
(2)若点E在AB上,且AC2=AE·AB,求证:∠CEB=2∠CAB.
44
C
A E N O D
B
(23)( 10分)规定:在平面直角坐标系内,某直线l1与绕原点O顺时针旋转90°,得到的直线l2称
为l1的“旋转垂线. (1)求出直线yx2的“旋转垂线”的解析式; (2)若直线yk1x1(k10)的“旋转垂线”为直线
yk2xb,求证:k1·k2=1.
(24)( 12分)如图,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为点D.点P是AD上一点,PQ⊥AC于点Q,
连接BP、DQ.
AQAD(1) 求证:=;
APABC (2)求证:∠DBP=∠DQP;
(3)若BD=1,点P在线段AD上运动(不与A、D重合),设DP=t, DD 点P到AB的距离为d1,点P到DQ的距离为d2.记S=求S与t之间的函数关系式.
d1, d2B Q P A
(25)( 14分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,顶点为C,且△
ABC为等腰 直角三角形.
(1)当A(1,0),B(3,0)时,求a的值; (2)当b2a,a0时,
55
(i)求该二次函数的解析式(用只含a的式子表示);
(ii)在1≤x≤3范围内任取三个自变量x1、x2、x3,所对应的的三个函数值分别为y1、y2、 y3,
若以y1、y2、 y3为长度的三条线段能围成三角形,求a的取值范围.
参考答案与评分标准
(1) C (2) C (3) B (4) D (5) C (6) A (7) D (8) B (9) B (10) A (11) 2 (12) (13) 1 (14) 三、解答题
(17) (本小题满分8分)
解:原式=
aa11 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
(a1)2a1aa1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 2(a1)a1 ┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 a135 (15) (16) 四
42 = =
∵a=31. ∴原式=
113. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 33113(18) (本小题满分8分)
(I) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
66
如图所示,点D就是所求作的点. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 (II) 在菱形ABCD中,∠BAC=60°,OB⊥OA, ┄┄┄5分
OB∴在Rt△OAB中,tan∠OAB=tan60°=.
OA∵OA=1
∴BO3,BD=23. ┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 又∵AC=2OA=2
1∴菱形ABCD的面积SBDAC23. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
2(19) (本小题满分8分)
(I) 120 ┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 (II) 解:平均保费为
6000(1000.85801401.25401.5301.75102)
300=6950(元) ┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 (20) (本小题满分8分)
(I) △ADE是等腰直角三角形. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 理由:在等边△ABD和等边△ACE中, ∵BA=DA,CA=EA,∠BAD=∠CAE=60°. ∴∠BAD -∠CAD=∠CAE -∠CAD. 即∠BAC=∠EAD.
∴△ABC≌△ADE. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ∴AB=AD,BC=DE,∠ABC=∠ADE ∵ AB=BC,∠ABC=90° ∴AD=DE,∠ADE=90°
即△ADE是等腰直角三角形. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 (II) 连接CD,则直线CD垂直平分线段AE.
(或连接BE,则直线BE垂直平分线段AC) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
理由:由(I)得DA=DE. 又∵CA=CE.
∴直线CD垂直平分线段AE. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 (21) (本小题满分8分)
(I) 解:观察可知,售价x与日销量y的乘积为定值300.
y与x之间的关系为反比例函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
k 设函数解析式为y (k0).
x 当x10,y30时,k300. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
300 . ┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 x(II)解: 能达到200元.
∴函数解析式为y77
300200. x 解得:x30. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 经检验,x30是原方程的解,并且符合题意. ┄┄┄┄┄┄┄7分 答:当售价30元/kg时,水果店销售该种水果的日利润为200元. ┄┄┄┄8分 (22) (本小题满分10分)
(I)解:∵AB⊥CD,垂足为N ∴∠BNO=90°
理由:依题意:(x10)在Rt△ABC中,∵ON=1,BN=3
BN3┄┄┄3分 ∴BOBNON2,tanBONON
∴∠BON=60° ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
22A2EN1COD∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄5分
B(II)证明:如图,连接BC ∵CD是⊙O的直径,AB⊥CD, ∴
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
∴∠1=∠CAB
∵AC2AEAB,且∠A=∠A
∴△ACE∽△ABC ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∴∠1=∠2 ∴∠CAB=∠2
∴∠CEB=∠CAB+∠2=2∠CAB. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 (23) (本小题满分10分)
(I)解:直线yx2经过点(2,0)与(0,2),
则这两点绕原点O顺时针旋转90°的对应点为(0,-2)与(2,0)┄┄┄2分 设直线yx2的“旋转垂线”的解析式为ykxm (k0) ┄┄3分 把(0,-2)与(2,0)代入ykxm
b2k1得:.解得.
2km0m2即直线yx2的“旋转垂线”为yx2; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 (II) 证明:直线yk1x1 (k10)经过点(1,0)与(0,1), ┄┄┄┄6分 k188
则这两点绕原点O顺时针旋转90°的对应点为(0,
1)与(1,0), ┄┄8分 k11b1k1把(0,)与(1,0)代入yk2xb,得
k1kb02∴k210,∴k1k21. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 k1(24) (本小题满分12分)
(I)证明∵AD平分∠BAC, ∴∠PAQ=∠BAD ∵PQ⊥AC,BD⊥AD ∴∠PQA=∠BDA=90°
∴△PQA∽△BDA ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 AQAD∴ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 APABAQAD(II)证法一:由(I)得 APAB又∵∠PAB=∠QAD
∴△PAB∽△QAD ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 ∴∠APB=∠AQD
∵∠APB=∠PDB+∠DBP ∠AQD=∠AQP+∠DQP ∴∠PDB=∠AQP=90°
∴∠DBP=∠DQP ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 证法二:如图,延长AC,交BD的延长线于点E, E连接PE,取PE的中点O,连接OD,OQ.
1C∵∠PDE=∠PQE=90°
在Rt△PDE与Rt△PQE中,
DO∵O是PE的中点,
11∴DOPE,QOPE Q22即DOQOEOPO
PBA∴P、D、E、Q四点都在以O为圆心,OP为半径的⊙O上,┄┄┄┄┄┄┄┄5分
∴∠1=∠DQP ∵AD垂直平分BE ∴PB=PE
∴∠1=∠DBP
∴∠DBP=∠DQP ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 (III)解:过点P分别作PG⊥AB于点G,PH⊥DQ于点H.
C则PG=d1,PH=d2.
99
DHQP∵AD平分∠BAC,PQ⊥AC.
∴d1=PG=PQ. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∴Sd1PQ. d2PH由(II)得∠DBP=∠DQP, ∵∠BDP=∠QHP=90°.
∴△DBP∽△HQP; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 PQPB∴. PHPD在Rt△BDP中,BD=1,DP=t. ∴PBt21.
t21∴S. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
t25.(本小题满分14分)
(I) 解:∵A(-1,0),B(3,0),∴该二次函数图象的对称轴为x1,且AB=4. 过点C作CH⊥AB于点H.
y1∵△ABC为等腰直角三角形,∴CH=AB=2. ┄┄1分 2H ∴C(1,-2)或C(1,2) AOBx ①如图1,当C(1,-2)时,可设ya(x1)22.
1 把点B(3,0)代入可得:a. ┄┄┄┄3分
2C图1 yC ②如图2,当C(1,2)时,可设ya(x1)2.
1 把点B(3,0)代入可得:a.
211 综上所述,a或. ┄┄┄┄┄┄┄4分
22O2AH图2 Bx(II) 解:(i) 当b2a时,yax22axc=a(x1)2ca.┄┄┄┄┄┄┄┄5分 ∴C(1,c-a)
∴B(1+c-a,0).┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 ∴a(ca)2ca0. ∴(ca)(aca21)0. ∵ca0,
1 ∴ca.
a1010
1. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 a(ii) 法一:∵1x3,a<0,
1∴当x=-1或3时,y取得最小值4a,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
a1当x=1时,y取得最大值. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
a∴yax12若以y1 ,y2 ,y3为长度的三条线段能围成三角形.
11则2(4a). ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
aa整理得:8a210. ∴2a0. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 4111,y2a(x21)2,y3a(x31)2. aaa ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
法二:依题意得:y1a(x11)2以y1 ,y2 ,y3为长度的三条线段能围成三角形.不妨设y1y2y3. 则y1y2y3在1x3范围内恒成立.
111a(x21)2a(x31)2 aaa1整理得:(x11)2(x21)2(x31)22. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
a1等价于(x11)2(x21)2(x31)2最大值小于2.
a∴a(x11)2当x1x21时,(x11)2(x21)2取最大值为8; 当x31时,(x31)2取最小值为0.
此时(x11)2(x21)2(x31)2取最大值为8. ∴81. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 2a整理得:8a210. ∵a0. ∴
1111
2a0. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 4
1212
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