变量可分离型的三维定态问题

变量可分离型的三维定态问题

第五章 目 录

§5.1有心势 .............................. 3

dinger 方程解在r0的渐近行o(1) 不显含时间的 Schr为 ........................................ 4 (2) 三维自由粒子运动 .......................... 5 (3) 球方势阱 .................................. 9 (4) 氢原子 ................................... 13 (5) 类氢离子 ................................. 23

§5.2 Hellmann－Feynman定理 ............. 23 §5.3 三维各向同性谐振子 ................. 26 §5.4 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程，

恒定均匀场中带电粒子运动........... 28

dingerequation ... 28 o(1) 带电粒子在外电磁场中的Schr(2) 正常塞曼效应（Normal Zeeman Effect） ...... 30 (3) 带电粒子在均匀强磁场中的运动 .............. 32 (4) 磁通量的量子化 ........................... 34

2

第五章 变量可分离型的三维定态问题

对体系，我们可根据(r,t)进行完全描述，当我们知道初态(r,0)，便可求出

ˆ不显含t时， (r,t)。当H iˆH tiEnt/有特解 n(r,t)un(r)e。

ˆ(r,pˆ)un(r)Enun(r) H所以通解为 (r,t)cnn(r,t)，

n而cn可由t=0时的初始态(r,0)求出。

我们讨论一些特殊位势下的三维问题，即变量可分离型的位势问题。

§5.1有心势

这是一种特殊形式的位势，是空间各向同性的，即 V(r)V(r)。

当粒子在该力场中运动时，其能量本征方程可写为

2ˆ(r,pˆ)un(r)( H2V(r))un(r)Enun(r) 2mˆ222212L(r)。 而 2222m2mrrr我们可看到

ˆ [L2ˆ]0 ,Lzˆ,Lˆ2]0 [Hˆ,Lˆ]0， [Hzˆ,Lˆ因此，H2ˆ是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量,Lz完全集（球对称势的体系都有这一特点）。

3

ˆ,Lˆ所以，我们可以以H2ˆ的本征值（即量子数）对能量本征方程的特解进行分,Lz类。即以完全集的力学量的量子数来标记能量本征函数。

令 unlm(r)Rnl(r)Ylm(,)

ˆ2212L(r)unlm(r)V(r)unlm(r)Eunlm(r)，于是有 222mrr2r得

l(l1)21d2(r)R(r)(EV(r))R(r)0，即得 22mrdr2r

d2dr2(rR(r))l(l1)r2(rR(r))2m(EV(r))2(rR(r))0。

为了求解V(r)V(r)下的能量本征方程解。我们先要了解边条件的性质。

dinger 方程解在r0的渐近行为 o(1) 不显含时间的 SchrA．若V(r)Arm 时(A0)，仅当 0m2 时才确有束缚态。

根据维里定理（Virial Theorem），如V(r)是x,y,z的n次齐次函数，则有

。 2TnV （在定态上）

对于上述势

2TmV。

而 ETV(12)T。 m但在这类位势下，束缚态E0，所以存在束缚态的条件为0m2, 即仅当

r2V(r)0时，才有束缚态。

B．在r0时，径向波函数应满足rR(r)0

由径向方程

r0d2dr2(rR(r))l(l1)r2(rR(r))2m(EV(r))2(rR(r))0。

当r

0时，方程的渐近式为

2d2dr(rR(r))l(l1)r2(rR(r))0。

4

s于是，若rR有渐近解为r，则有

s(s1)l(l1)， 可得解 s1ls1 s1ls2l1 l。

l1l对于 rR 渐近行为为 r，则

rR(r)0

r0而对于 rR 渐近行为为r R，显然l1,2,3,不满足平方可积，即

~1rl1，而它在r0时，比

1r32快。

对l0，R~111r0，即u~。但显然，在附近，不是解。

rrr22因 (， V(r))u(r)Eu(r) （对任何r都应满足）

2m但 214(r)这就要求 rV(r)E22 (r)，

rrm这显然不被满足。

所以，在r0时，rR的渐近行为应为rl1（即R~rl），也即

r00 rR(r)（2）三维自由粒子运动

ˆ,Lˆ 因V(r)0，所以可选力学量完全集（H [2ˆ)，于是有 ,Lzd2dr22dl(l1)]R(r)k2R(r)0 rdrr22 k令 kr

2mE2。

5

d2d2R()2dl(l1)R()[1]R()0。

2d这即为球贝塞尔函数满足的方程。而要0处为有限的解是

R()cjl()c()而在0处为无穷的解是

R()cl()c(1)()ll(1dlsin； )d(1dlcos。 )dl2[1] 0，jl()~(2l1)!!2(2l3)(2l1)!!1l12()[1]； l()~2l12(2l3)sin( ，R()cjl()~cl)2，

cos( R()cl()~cr0l)2。

0的条件，所以自由粒子的本征函数为 由于rR(r)uklm(r,,)kEklm2jl(kr)Ylm(,)， 22 k。2m三维自由粒子的能谱形成一连续谱。

现对所得结果进行讨论：我们知道，自由粒子，其哈密顿量

ˆ1(pˆ2ˆ2ˆ2Hxpypz)

2mˆ][pˆ][pˆ]0， ˆx,Hˆy,Hˆz,H[pˆx,pˆy][pˆx,pˆz][pˆz,pˆy]0， 并且 [p

6

所以，它们既是运动常数又彼此对易。因此，选它们作为力学量完全集是比较好的。其共同本征函数

upppxyz或

ukkkxyz1(2)1(2)3232eipr/

eikr。

ˆ,Lˆ而前述，H2ˆ 作为力学量完全集，有共同本征函数组 ,Lz uklm(r,,)k它当然是完备的。因此，e eikrl2jl(kr)Ylm(,)， ikr可按它展开

almuklm(r,,)

l0mll l0mlalmjl(kr)Ylm(,)

如取k方向在z方向（即为z轴），则

eikreikrcosal0jl(kr)Yl0(,)（即与无关）

l0 =

对kr求导得

l0cljl(kr)Pl(cos)。

 icljl(kr)cosPl(cos)cljll0l0由递推关系

(kr)P(cos)

ljl(kr)1[ljl1(kr)(l1)jl1(kr)]2l1

cosPl(cos)于是有

1[lPl1(cos)(l1)Pl1(cos)], 2l1l0cljli[lPl1(cos)(l1)Pl1(cos)] 2l1 7

l0cl1[ljl1(kr)(l1)jl1(kr)]Pl(cos)2l1

比较系数有 cli2l1cl1 2l12 i2l12l1cl2 2l12l32l1c0

201 i ill(2l1)c0。

而当kr0时 eikrcos1

0l0 ，

1l0il(2l1)c0l0Pl(cos)，但

l0 jl(kr) eikrcoskr0 P0(cos)1c0于是 eikz1。

il(2l1)jl(kr)Pl(cos)

l0当k在任意方向，则 eikr。 il(2l1)jl(kr)Pl(cos)（为k和r之间夹角）l0由 Pl(cos)4*Ylm(k,k)Ylm(,)

ml2l1l eikr*il4jl(kr)Ylm(,)Ylm(k,k) l0mll所以， e即得

ikr(2)l,m32il*Ylm(k,k)uklm(r,,), k8

1(2)32eikril*Ylm(k,k)uklm(r,,)。 l,mk这即平面波按分波展开（固定k）

（3）球方势阱

考虑位势为

0V(r)V0ra ra令 uRYlm

其径向方程为

d2dr2(rR)[2mE2l(l1)r22](rR)0ra

l(l1)r2d2dr2(rR)[2m(V0E)](rR)0ra

A. EV0 令 k则有

22mE2， 22m(V0E)2

Akljl(kr)ra R(r)

c1jl(ir)c2(ir)ra在区域ra，并不要求r0处有界，所以, 应为两个解的线性组合。但要求波函数在无穷远处为0，即当r有

sin(irc1ll)cos(ir)2c2

2irirril2

1c1[e(2ireril2]il2c2[eril2eril2])c1[(1c2)e2irirri(c1c2)eiril2]

0

,

9

则

c1c20， i即

c1Bl, c2iBl

于是有

R(r)Bl[jl(ir)i(ir)] R(r)Blhl其中 hl(1)(1)(ir)

()jl()i()

l ()(1dlsin1dlcos )i()l()ddl1dlei) (i)()( d(i)i(2)l(l1) e[1i]

2要求两区域的波函数及其导数在ra处连续，即

1)dlnh(l(ir)ldlnjl(kr)drradrra，

从而确定E的可能值，即本征值。 下面讨论l0的解。

当l0，则有 j0(kr)sinkr kr(1) h0er r令 ka，a， 则由连续条件得

ctg，

10

以及 222mV0a22。

显然，在二，四象限。

讨论：1） 由图可知，(2mV0a222)12，则无解； 22mV0a123)2） 当(，则仅有一个解。 222这时

ka。所以，0kr在0a区间无节点。 22mV0a1253()3） 当，有二个解

222一个解

2ka，无零点； 23ka2。所以，0kr2。有一个零点。 2另一个解

归一化系数，可经由方程给出

unrlm(r,,)[当V02]12jl(knrlr)Ylm(,)

jl1(knrla)ll2(knrla)

，，这时 ra

区域的波函数为0。由

连续条件，jl(knla)0，即有根xnlrr

l nr 0 1 2

B．当EV0

1 π 5.76 6.99

2 2π 9.10

3 3π …

knrla(nr1,2,3,)。

10.42 …

11

令 k(2mE22)12，

k1[2m(EV0)2]12

d2drd2dr2(rR)[k22(rR)[k1l(l1)r2](rR)0ra

l(l1)r2](rR)0ra

 RklAkljl(kr)ra

Rkl1无妨设 c1 c2则由 r

c1jl(k1r)c2l(k1r)ra

Bcosl(k1)

Bsinl(k1)，

l)2

jl(k1r)sin(k1rk1rlcos(k1r)2

l(k1r)k1rr  Rkl(r)B1sin[k1rll(k1)]2 k1rsin(krkrl)2。 所以，力场的性

事实上，对于自由粒子Rkl(r)质反映在 l(k1)上）

由ra的连续条件

rdlnjl(kr)drradlnconljl(k1r)sinll(k1r)drra

如令 kjl(ka)jl(ka)l （微商对宗量）

12

则有 tgl(k1)k1jl(k1a)ljl(k1a) k1l(k1a)ll(k1a)(l0,1,2)。

当V0,a,E给定（即k给定），则由方程给出一系列l(k1)所以，当EV0时，有一连续谱。

这时 r ，有渐近解

Rkl1lllsin(k1rl)i(k1r)i(k1r)122S(k)e2] ~~[el1k1rrSl(k1)e2il(k1)

与自由粒子比较

l)2l)2]

1Rkl~[eri(krei(kr可以看出，力场对粒子作用，主要反映在Sl(k1)上，即l(k1)上，改变出射波的位相（至于k和k1仅反映粒子在不同位势时的波数不同）。

（4）氢原子

氢原子是最简单的原子，但它反映出典型的两体问题

A. 两体问题的质心运动的分离

质量为m1和m2的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差有关。 V(r1,r2)V(r1r2)，

V(r1r2)

ˆ 这时， H2ˆ1p2m1p222m2引入相对运动和质心运动

rr1r2

m1r1m2r2m1m2

R于是有

Pp1， p2iR （Mm1m2）

13

p(p1m1p2m2)ir （m1m2）

m1m2ˆ]i， xr1r2， [x,p） [R,P]i （,为x,y,z）

于是有，

22ˆˆpˆPˆHˆ HV(r)HRr2M2这样一个体系可看作二部分运动合成，一是质心运动，它是自由运动；另一个是相对运动。是一个质量为m1m2的粒子在势场V(r)中运动。

m1m2ˆ(R,r)E(R,r) H令 (R,r)(R)(r)为一特解，得

ˆ(R)(EE)(R) HRrˆ(r)E(r)。 Hrr直接得

(R)而相对运动部分为

(1(2)32eiPR/

ˆ2p2V(r))Er(r)ErEr(r)

所以，处于位势为V(r1,r2)V(r1 (R,r,t)r2)的体系，最普遍的波函数为

Er(r)eiErt/dP。

CPErErei(PREPt)/(2)32以后表达式都是内部运动，质量是约化质量。

B. 氢原子：相互作用只与质子和电子的距离r有关

222e22ˆV(r) H 2240r于是有

14

22(V(r))u(r)Eu(r) 2根据分离变数

u(r)RnlYlm代入得

l(r)Ylm （要求，当r0，lr2e240r20）

d2dr2l(r)l(l1)r2l(r)2E2l(r)l(r)0

要求为束缚态，则E<0。令

8E (2)12r，

 2e24022e2c2c2 8E40c2E2E1 a0于是

2 2Ed2d2l()l(l1)2l()1l()l()0 4当，方程近似为

1()l()0，所以 l24dd2ld2d21()~e2；

当0，方程近似为

l()l(l1)2l()0，所以

l()~l1， l()~l。

前已讨论，取l()~l1 令 l()代入方程得

vl[2(l1)]vl(l1)vl0。 这是一合流超比方程

15

l11e2v0常数)， l() (并要求vl() vl[]vlvl0，它有解

1 F(,,)和F(1,2,)，

F(,,)称为合流超比函数

(P)()P F(,,) 。

P0()(P)P!当P大时，其相近两项系数之比：

uP1(P1)()1[]/ uP()(P1)(P1)! [(P)()1]

()(P)P!P11 ~PP1P1所以，相邻系数比与e幂级数系数之比相同. 这样，合流超比函数在P大时的渐近行为与e行为一致。这就使得l 。要使vl在大时，其行为不

12都比e为e，则F(,,)级数必须被截断成多项式。而任何多项式，当 慢。

而由

(P)(P1)，

()当为负整数时，则P1项的系数都为0，即P1项的系数都

为0。这样，F(,,)是一最高幂次为的多项式。这时，当时，其行为

12不会快于e趋于无穷。从而保证，

l0。 取（nrl1nr，这样它就被截断为一多项式，最高幂次为nr0,1,2,3,)，它代表R()的波节数。

于是 nrl1n (n1,2,3,)。

16

nr0,1,2,3,n1显然，当 n 给定，。这时

ln1,n2,0 l()cF(nr,2l12,)l1e2。

1而 na0 En2，即 2E2222a0n

e28a0n2。 a042e20.529108cm

n(8En2)12r2r na0根据合流超比函数性质



02l31[F(nr,2l2,)]2d e 从而得

(2l3)nr!nr(2)(1)[1]

(2l2)(2l2nr1)2l2

1unlm(r,,)RnlYlm(nl)!122321l()[]e2F(nr,2l2,)Ylmna02n(nl1)!(2l1)!Ene280a0n2, l0,1,2,n1,

n

2r。 na0 17

ra0R102(132)ea0 u1001a30141era0

R20(132r)(2)e2a0a0r2a0r2a0， u2002a30(2r)ea0r2a0

R21(132r)e2a0a03， u210rea42a300re3a08a011r2a0cos

u210r2a0iesin

u211下面对波函数和能级进行讨论 1） 原子能谱和简并度

rea8a300r2a0iesin。

18

Ene280a0n2，n1时，E113.6eV。

对于一定n（nnr应的独立波函数为 gnl1）值的能级有l0,1,2,n1,所以，一条能级对

(2l1)2(n1)l0n1nn2。 2212一条能级有n重简并，且宇称可不同。事实上，如考虑电子有自旋S，则实际

简并度为2n2（计及自旋一轨道耦合及相对修正）。 2）径向位置几率分布

由波函数可得rrdr的几率为

Pnlr2drRnl22Ylmd

2 Rnlr2dr

n1，l0，无节点(nr0)； n2，l1，无节点(nr0)；

l0，有一个节点(nr由波函数可知，当ln1，即nr1)

0时，F(nr,2l2,)1。所以，

Rnn1rn1ePnn1Ar2ne由

rna02rna0。



dPnn10， dr得rmax2a0n2处，为几率密度极大处。这与波尔轨道相同。而极大值位置随n迅速增大。

3) 几率密度随角度的变化：电子处于立体角d中的几率为 d0unlmr2drYlmd

19

22

所以，几率密度[在(,)方向的单位立体角中，发现粒子的几率为 wlm()Ylm22l1(lm)!m[Pl(cos)]2 4(lm)!即几率密度对是对称的（即绕z轴对称）

20

（另外，[l002unlmrdrsind]d21d）。 2而

*wlm()YlmYlmmlmll2l12l1，即球对称。 Pl(cos0)444） 电流分布和磁矩（电流的几率分布）

由unlm可求出电子和电流的几率分布。根据几率流密度矢

i*j(unlmunlmunlmu*nlm)

2m1。 ereerrrsin电流密度为J。其分量 ej（几率电流密度矢）

Jrejr0（由于Rnl是实函数）

21

Jej0（由于Plm(cos)是实函数）

Jejei*11*(unlmunlmunlmunlm)2rsinrsin

em2unlm。

rsin所以，几率电流密度矢仅在e方向上有，且大小对对称。因此，通过截面d的环电流元为

dIem2unlmd

rsin根据电磁学，环电流产生的磁矩

r2sin22emunlmd dMzSdIrsin 所以，总磁矩为

Mze2munlmd（d为环体积） 2emBm， 2 Be9.2731024焦耳/忒斯拉，称为玻尔磁子。 2由此可见，由于电子空间运动（处于unlm态），氢原子的磁矩是量子化的，它是玻尔磁子的整数倍，其方向与轨道角动量的z分量相反（由于电子带负电）。

Mze gl，

Lz2称为轨道回磁比。如取

e为单位，gl1。这是电子轨道运动产生的磁矩特征。 2s 5） r的平均值（如氢原子处于unlm态）可由方程求得

s1n2其中 r

s2s2rs(2s1)a0rs1[(2l1)2s2]a0r0，

422rsRnlrdr，而

22

sr01， r1（5）类氢离子

1na02， r22(2l21)n3a0

类氢离子是核中有z个质子，外面仅有一个电子：如He,Li,Be。

e2ze2，并以

由于是类氢离子，其解完全可借用氢原子的解来求，只要

a402ze2代替a0，而mNme，mN为原子核的质量，则

mNmeze22 En80an2

氢原子的解决，给量子力学的建立增加了支持，特别是著名的氢原子中的红谱

线H（6562.79Å）。而同位素氘（1H）有相应的红谱线（65612.00Å），但与H不同。这可从理论上直接被解释。，所以，进一步证实量子力学中假设的正确性。

§5.2 Hellmann－Feynman定理

ˆHˆ()(是Hˆ中含有的某一参量)，其本征态为u()(已归一)，本征值为若HnEn()，则有

ˆ()u()E()u() Hnnn于是有

ˆ()En()H (un(),. un())ˆ()u()E()u() 证： Hnnnˆ()Hˆ()un()En()u()E()un(), un()Hnnˆ()Hˆ()un()) 所以， (un(),un())(un(),H (un(),En()u()un())(un(),En()n) ˆ()Hˆ()u(),un()) (un(),un())(Hn

23

ˆ()u()H (un(),un())En()(un(),n)

 En()u()En()(un(),n) ˆ()E()H于是证明了 (un(), un())nze2例1：对类氢离子:V(r)，其能级能量为

40rEn(z)试求 r1z2e280a0n2.

,r2.

2zeˆ解： H 240rˆ2p若将z看作参量, 则

ˆEn(z)He2ze2 ，而 2z40rz40a0n于是

e2e21ze2 (unlm,unlm)(Rnl,Rnl)240r40r40a0n  r1za0n21an2

例2：对球坐标unlmRnlYlm

ˆu Hnlml(l1)221d2ze2(r)unlm

222rdr40r2r这时可将l看作参量

ˆ(2l1)2H,

2l2r 24

En(l)l于是有

[ze280a(nrl1)2ze2

3l40anˆ()E()H于是证明了 (un(), un())nze2例1：对类氢离子:V(r)，其能级能量为

40rEn(z)试求 r1z2e280a0n2.

,r2.

ˆ2p2zeˆ解： H 240r若将z看作参量, 则

ˆEn(z)He2ze2 ，而 2z40rz40a0n于是

e2e21ze2 (unlm,unlm)(Rnl,Rnl)240r40r40a0n  r1za0n21an2

例2：对球坐标unlmRnlYlm

ˆu Hnlml(l1)221d2ze2(r)unlm

22rdr24r2r0这时可将l看作参量

ˆ(2l1)2H,

2l2r 25

En(l)l于是有

r2[ze280a(nrl1)2ze2

3l40an2(2l1)2ze240an311(l)a2n32

§5.3 三维各向同性谐振子

位势V(r)21m2r2是一种常用的位势模式，它也是有心力场，所以仍取力学2ˆ,Lˆ,L)来分类能级及相应的本征函数。 量完全集(Hzˆ2212L1(r)unlmm2r2unlmEunlm. 2mrr222r2ˆ和V的性质，因此,u能变量可分离。所以其特解 由于Tnlm unlm并令 则有

4RnlYlm，

， 2m222E，r d22d 当 ，则有

d2d2所以

(R)[2l(l1)2](R)0。

(R)2(R)0

R2~e2

而 0， R~2l1令 Re2v

l1

代人方程得

26

v[2(l1)2 并代 y2]v(2l3)v0.

2, 则有

(2l3)3)y]v(y)v(y)0。 24 yv(y)[(l这即为合流超比方程，要在y＝0处有正常解，则 v(y)cF(2l33,l,y)。 42y若不截断, 当 y, Fe。为使 r 在无穷远处，Rnl0。因此要求

截断成多项式，即

2l32nr，也就是，4nr2l3E,

4所以

E(2nr3l)

23)， 2 (N其中 N2nrl。

当给定 N

1lN,N2,0N1

nr0,1,2N2N为奇N为偶N为奇。 N为偶讨论：A. 三维各向同性谐振子的能级是等间距的，最低能级为

3； 2B．每条能级是简并的。简并度 gNC． 当 N 为偶，l1(N1)(N2)； 20,2,4N；

当 N 为奇，l1,3,5N，

27

N所以，宇称为 (1)；

D. 可以求得归一化的波函数

unrlm32l2nr(2l2nr1)!!12l[](r)e2nr![(2l1)!!]2122rF(nr,l322,r)Ylm2 (m12Nl。 )， nr2ˆ,Hˆ,Hˆ)作为力学量完全集来分类。 三维各向同性谐振子也可用(Hxyz

§5.4 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程，恒定均匀场中带电粒子

运动

dingerequation o（1）带电粒子在外电磁场中的Schr在经典力学中，当质量为m的带有电荷为q的粒子，在电磁场中的经典哈氏量为 H其中p为正则动量

因此，在量子力学中，带电粒子在外电磁场及外场中的薛定谔方程为

1(pqA)2q 2m1[iqA]2q(r,t)U(r) it2m（ 对于有自旋的带电粒子，则有附加项(r)Sl, (r)1dU(r),和

22rd(r)2mc1eSB） m当我们处理静标势时，取库仓规范A0

ˆAAPˆ 于是 i(AA)i(A)0，即 P2ˆ2PqqˆAPA2qU。  it2mm2m该方程有性质

A. 几率守恒

21*ˆ2q*qˆiPAP*A2q**Ut2mm2m*

28

2*1ˆ2*qq**ˆiPAPA2*qU* t2mm2m于是有

(*)1ˆ2Pˆ2*)qA(*PˆPˆ*) i(*Pt2mm  从而有

1ˆˆPˆ*)qPˆ(*A) P(*P2mm1ˆˆqA)] PRe[*(Pmj0 t j1ˆqA)] Re[*(PmB．规范不变性

在经典电动力学中，知道电磁场具有规范不变性

AAAf,A 不变 tf t则 BA,E即 BA,AE

t而在量子力学中

ˆ H经变换后

1ˆ(PqA)2q(r)U(r) 21ˆ(PqA)2qU(r) 2ˆH tF(r,t)qf ˆ H原方程为 i若取 eiF(r,t), 29

qfiF则 ieiF(r,t)ie

ttteiF(r,t)[1ˆf(PqA)2qU(r)]qeiF(r,t) 2mtiqf1ˆi[PqA(i)(qf)]2e2mqU(r)

1ˆ(PqA)2qU 2mˆ H这即为量子力学规范不变性。虽然波函数变了，但所有物理可观测量保持不变，结构形式表示不变。

（2）正常塞曼效应（Normal Zeeman Effect）

当氢原子，类氢离子或碱金属等原子置于较强的外磁场中，将会发现他们的每一条标志光谱分裂为三条，这就是通常称的简单塞曼效应或正常塞曼效应。（而原来能级分裂成单数能级（2l1）条）

ˆLˆ可忽略。但又不太强，使B项也（条件：当外磁场是强场∽1T（忒斯勒），使S2能忽略。另外，自旋与磁场作用在偶极跃迁中是不影响结果的，所以可不计及）。

由于原子很小，在实验室中，产生的磁场在原子范围内可看作一均匀场（B）相应矢量势，取

1 ABr

2这即意味着

1 (Ax,Ay,Az)(ByzBzy,BzxBxz,BxyByx)

2如取 B 方向为z方向，则

1A(yB,xB,0)，

2代入方程得 iqq1[(PxyB)2(PyxB)2Pz2]U(r) t22230

U(r)为原子中库仑场或屏蔽库仓场

i1ˆ21[PqB(yPxxPy)q2B2(x2y2)]U(r) t24q2B221ˆ2qBˆ[PLz(xy2)]U(r) 2282第三项qB2ea0~B106BT

第二项4L4z

(a05.291011m,h4.13571015Wbe1T1Wbm2)

当 B110T，可忽第三项。于是，不含时间的薛定谔方程可表为

ˆ2qBPˆU(r)]u(r)Eu(r) L [zE22特解：EuE(r)eiEt

如考虑碱金属和类氢离子，qe，U(r)是有心力场（但不一定是库仓场）。于是

ˆ,Lˆ选完全集(H2ˆ)， ,LzunlmRnlYlm。

无磁场时，若为

ˆ2PU(r)]unlmEnlunlm （U(r)不一定是库仑场，E可能与l [2有关），则

EnlmEnleBm 2所以，原来是 2l1 重简并的能级，在外磁场下分裂为 2l1 条，各条能级的能量差为

eBL， 2LeB 称为拉摩（Lammor）频率，它与外场成正比， 2 31

例：有l2和l1两条能级。在无外场下发生跃迁的光波频率为0由偶极矩跃迁选择定则

E。 1 mmfmi0。

1（当

qzB加上，不影响结论。因偶极跃迁ms0） 2所以，在外场下，有9种跃迁，但频率仅有三个

eB02 0eB02这即为正常塞曼效应。

ml1ml0 ml1(3) 带电粒子在均匀强磁场中的运动

（B102T）

2

当磁场足够强时，B项不能忽。这时薛定谔方程为

1ˆ(PqA)2uEu 2若为均匀磁场，B在z方向，我们可取

A(yB,0,0)。

(取A11Brf, fBxy即得)

22

1ˆˆ2Pˆ2]uEu。 [(PxqyB)2Pyz2ˆ,Pˆ,Pˆ 可选(Hxz)为完全集，因

ˆ,Pˆ][Hˆ,Pˆ][Pˆ,Pˆ [Hxzxz]0

unppxz1i(PxxPzz)/en(y) 232

从而得 [1ˆ21Py(PxqyB)2]n(y)nn(y) 222Pz nEn

2qBq2B212令 sy，即，得方程 Px， 2qB2d212s2)n(s)nn(s) (2ds22所以有解 n(s)(12s2e2H2n!n)12n(s)

qB1212其中 ()()。

 n1(n)

2其中 qB。

2Pz1qB(n) 22于是有 Enppxz unppxzPx1i(PxxPzz)/en(y) 2qB(2n1)B，故该体系具有磁矩q2(2n1)，也就是说，

由于振子能量为

q2无论电荷是正还是负，这磁矩是与外场方向相反（即反磁性）。这磁矩是量子化的，但它不是

q2的整数倍，而是1,3,5,倍。这正就是自由电子气体反磁性的特征。

由上面结果可以看到：

A．在这样强的磁场下，电子在x,z方向平移（如B在z方向），而在y方向振动，其振动平衡位置由于受到恒定的外力作用而改变了平衡位置（Px）； qB 33

B. 能量与Px无关，即每一条能级对Px是简并的，即无穷大简并，所以 np仍是本征方程之解。

zaPxunpxpzdpx

（4）磁通量的量子化

我们现在来讨论绪言中提到的磁通量量子化，即量子效应不仅在微观尺度中显示出来，而且在宏观尺度中也有显示。 在外电磁场中的薛定谔为

i1[iqA]2q(r,t)U(r)。 t2我们也已指出A只要

Af,f时，薛定谔方程的结构形式不变，

tF(r,t)qf  e即可。

iF(r,t),现来看一下，一个具体问题: 在B0,E0的区域, 即

A0,0.

因此，电磁场自由区域，即无电磁场区域 A0,

2ˆP(U(r)). it2当然，也可取 Af,f，并保持 t 2f12fct220。

ief，即不同r处位置，波函数有一固

而满足薛定谔方程的电子的波函数应为e定的位相改变。若从ar，附加的位相改变为

e[f(r,t)f(a,t)] 34

而 f(r,t)drA(r,t)，

r所以，两条路径位相差为

e[

ra(路径2）drA(r,t)ra(路径1）drA(r,t)]eedrA(r,t)(A)ds SeeBds S当电子的波函数在无电磁场路径上绕复连通区域一周，则其位相变化为

eeAdr， 0；若不等于0，则 2n，也就是

2n， e-3

e即这两条路径所包围的是量子化，这一现象在61年被证实（ P.R.L.7(1961)43,51）。

用铜线材料制成环（0.8cm铜线（1.3•10cm直径）表面镀锡（锡的临界温度为3.8

0），并置于均匀磁场中。由于磁场存在，环中电子绕环运动。当温度降低到临K）

界温度以下，则变成超导。这时，仅表面很薄一层B0，其内部B0。因此，电子在B0的区域运动，而所环绕的区域内0。 这正是我们要的情况。

实验测得，在环内的磁通量是量子化的，只不过这时 2n2e(1h14.13571015wb)。 2e2分母2倍是由于超导状态中，电子对结成一关联态，整体在运动。所以电荷为2e。

这是宏观尺度下测得的量子效应。

35