探究中点引发的数量关系和位置关系

例：在下列各图中，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，点P为CE的中点，请你写出线段AP与DP的数量关系和位置关系，并加以证明．

A A E E D P

P B D C B C

图1 图2

A A E D D P B C E B P C

图3 图4

A A

B D B C C

P D P

E 图5 图6

E

A A B E C

B P C P

D E 图7 D 图8

A

D E

P

B C 图9(一般位置)

变式：

A D A D

P

E P F E

G

B

图10

C F

B C

G 图11(一般位置)

练习：

1． 如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠ABD＝45°，在AD上取一点E，使DE＝DC，

连结BE、CE．M、N分别为BE、AC的中点，连结DM、DN． ⑴求证：DM＝DN，DM⊥DN．

⑵若将△DCE绕点D按逆时针方向旋转任意角度到图2的位置，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． A

A

N

N E C

M B D B C M D E

图1 图2

解：⑴证明：∵AD⊥BC，∠ABD＝45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，∴BD＝AD， ∵DE＝DC，∠BDE＝∠ADC＝90°， ∴△BDE≌△ADC，∴BE＝AC． ∵M、N分别为BE、AC的中点，

11

∴DM＝BE，DN＝AC，∴DM＝DN．

22

∴∠MBD＝∠BDM，∠ADN＝∠DAN，

又∵∠DBE＝∠DAC，∴∠BDM＝∠ADN， ∵∠BDM＋∠ADM＝90°，

∴∠ADN＋∠ADM＝90°，即∠MDN＝90°， ∴DM⊥DN．

⑵（1）中的结论仍然成立．

证明：由（1）知△ADB是等腰直角三角形，

∴BD＝AD，∵DE＝DC，∠ADB＝∠CDE＝90°， ∴∠EDB＝∠CDA，∴△BDE≌△ADC， ∴BE＝AC，∠DBE＝∠DAC，

∵M、N分别为BE、AC的中点，∴BM＝AN，

∴△BDM≌△ADN，∴DM＝DN，∠BDM＝∠ADN， ∵∠ADN＋∠NDC＋∠CDB＝90°， ∴∠BDM＋∠NDC＋∠CDB＝90°， 即∠MDN＝90°，∴DM⊥DN．

2． 【北京宣武08二模】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°，按

图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连结EG、CG． ⑴探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；

⑵将图1中的△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连结DF，取DF中点G（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的结论；

⑶将图1中的△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连结DF，取DF中点G（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的结论． A D A D

G E G

E B B C F C

图1

A D F

图2

G E B C 图3 F

3． 【辽宁大连08模拟改编】已知：点G、F分别是等腰△ABC、等腰△ADE底边的中点，

∠BAC＝∠DAE＝∠，点P是线段CD的中点．

⑴如图1，当点D、E分别在AB、AC边上时，试探索：∠GPF与∠的关系，并加以证明．

⑵如图2，当点D、E都在△ABC外部时，问∠GPF与∠的关系是否还成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

A A

B

E D F E

G F

D P P C

C G 图2 B 图1

⑶如图3，当点D在△ABC内部、而点E在△ABC外部时，问∠GPF与∠的关系是否还成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． ⑷如图4，若∠＝90°，连结BE，试探索AP与BE的关系，并加以证明．

A BAEDPD B P F E

G 图3 C 图4

C

解：⑴∠GPF=180º－∠α．证明：∵AB=AC、AD=AE， ∴BD=CE，∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点， ∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD， ∠GPF=∠DPF＋∠DPG=∠ACD＋∠ADC=180º－∠BAC=180º－∠α，即∠GPF=180º－∠α． ⑵∠GPF=180º－∠α仍然成立．证明：连结BD、CE． ∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE．设BD与CE交于点O，AC与BD交于点K，∠AKB=∠CKO， ∴∠BOC=∠BAC，∠COD=180º－∠α． ∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，∴PG∥BD，PF∥CE，∴∠GPC=∠BDC，∠DPF=∠DCE， ∠GPF=180º－∠GPC－∠DPF=180º－∠BDC－∠DCE=∠COD，即∠GPF=180º－∠α． ⑶∠GPF=180º－∠α仍然成立．证明：连结BD、CE． ∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE． ∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点， ∴PG∥BD，PF∥CE，∴∠PGC=∠CBD， ∠DPF=∠DCE=∠DCA＋∠ACE=∠DCA＋∠ABD， ∠DPG=∠PGC＋∠BCD=∠CBD＋∠BCD， ∠GPF=∠DPF＋∠DPG=∠DCA＋∠ABD＋∠CBD＋∠BCD=180º－∠BAC=180º－∠α，即∠GPF=180º－∠α． 1

⑷AP=BE，AP⊥BE．证明：延长AP至H，使得PH=AP，连结DH．

2

∵P是线段CD的中点，∴DP=CP， 又∵PH=AP，∠APC=∠HPD，∴△APC≌△HPD， ∴AC=DH，∠H=∠CAP，∴DH∥AC， ∴∠ADH＋∠DAC=180º，∠H=∠HAC． ∵AB=AC，AD=AE，∠=90º， ∴∠BAE=∠BAC＋∠DAE－∠DAC=180º－∠DAC，∴∠ADH=∠BAE，∴△ABE≌△DHA， 1∴BE=AH，∠H=∠ABE，∴AP=BE，∵∠α=90º，

2

∴∠BAH＋∠HAC=90º=∠BAH＋∠H=∠BAH＋∠ABE，∴∠AFB=90º，即AP⊥BE． 4． 【北京08】如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC．若ABCBEF60，探究PG与PC的位置关系及

PG的值． PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． D C C D

G P P F G F

B A

E A B

图1 图2 E

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

PG＝ ． PC⑵将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得

⑴线段PG与PC的位置关系是 ，

到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

⑶若图1中ABCBEF2(090)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出解：⑴线段PG与PC的位置关系是PGPG的值（用含的式子表示）． PCPC；D

H

A

P

C

G

B

F

PGPC3．

⑵猜想：（1）中的结论没有

E 发生变化．

证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH，CG．

P是线段DF的中点，FPDP．由题意可知AD∥FG． GFPHDP．GPFHPD，

△GFP≌△HDP．GPHP，GFHD．

四边形ABCD是菱形，CDCB，HDCABC60．

由ABCBEF60，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，

可得GBC60．HDCGBC．

四边形BEFG是菱形，GFGB．HDGB．

△HDC≌△GBC．CHCG，DCHBCG．

DCHHCBBCGHCB120．

即HCG120．CHCG，PHPG，

PGPC，GCPHCP60．⑶

PG3． PCPGtan(90)． PC