2018年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．1
2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（ ） A．0.55×106
B．5.5×105
C．5.5×104
D．55×104
3．（4分）下列计算正确的是（ ） A．a3+a3＝2a3
B．a3•a2＝a6
C．a6÷a2＝a3
D．（a3）2＝a5
4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图
7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（ ） A．7
B．5 C．4
第1页（共30页）
D．3
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则
的长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．
π
（k2＞0，x＞0）
10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝
的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8
B．﹣8
C．4
D．﹣4
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B．
第2页（共30页）
C． D．
12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（ ）
A．2a
B．2b
C．2a﹣2b
D．﹣2b
二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）计算：|﹣2018|＝ ． 14．（4分）要使分式
有意义，x的取值应满足 ．
，则x2﹣4y2的值为 ．
15．（4分）已知x，y满足方程组
16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）．
17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
第3页（共30页）
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD＝90°，则cosB的值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共78分）
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x＝﹣．
20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点； （2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．
第4页（共30页）
21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； （3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．
22．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y＝﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
第5页（共30页）
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
第6页（共30页）
25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长； （2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求
第7页（共30页）
的值．
26．（14分）如图1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜
）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一
点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值； （2）如图2，连结CE，当CE＝EF时， ①求证：△OCE∽△OEA； ②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．
第8页（共30页）
2018年浙江省宁波市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．1
【考点】18：有理数大小比较． 【专题】511：实数．
【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案． 【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得 ﹣3＜﹣1＜0＜1， 最小的数是﹣3， 故选：A．
【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键． 2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（ ） A．0.55×106
B．5.5×105
C．5.5×104
D．55×104
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【专题】511：实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：550000＝5.5×105， 故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）下列计算正确的是（ ） A．a3+a3＝2a3
B．a3•a2＝a6
C．a6÷a2＝a3
D．（a3）2＝a5
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂
第9页（共30页）
的除法．
【专题】17：推理填空题．
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可． 【解答】解：∵a3+a3＝2a3， ∴选项A符合题意；
∵a3•a2＝a5， ∴选项B不符合题意；
∵a6÷a2＝a4， ∴选项C不符合题意；
∵（a3）2＝a6， ∴选项D不符合题意． 故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】X4：概率公式．
【专题】11：计算题；543：概率及其应用．
【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．
【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，
∴正面的数字是偶数的概率为，
第10页（共30页）
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数． 【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°， 则这个正多边形的边数是：360°÷40°＝9． 故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．主视图 C．俯视图
B．左视图 D．主视图和左视图
【考点】R5：中心对称图形；U2：简单组合体的三视图． 【专题】55F：投影与视图．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看是一个田字， “田”字是中心对称图形， 故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．
7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结
第11页（共30页）
OE．若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质． 【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°， ∴∠BCA＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点， ∴EO是△DBC的中位线， ∴EO∥BC，
∴∠1＝∠ACB＝40°． 故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．
8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（ ） A．7
B．5
C．4
D．3
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数． 【专题】11：计算题；542：统计的应用．
【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解． 【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4， ∴
解得：x＝3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7， 所以这组数据的中位数为4， 故选：C．
第12页（共30页）
＝4，
【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则
的长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．
π
【考点】KO：含30度角的直角三角形；MN：弧长的计算． 【专题】55C：与圆有关的计算．
【分析】先根据ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°， ∴∠B＝60°，BC＝2 ∴
的长为
＝
，
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l＝
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
（k1＞0，x＞0），y＝
（k2＞0，x＞0）
10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝
的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8
B．﹣8 C．4
第13页（共30页）
D．﹣4
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】1：常规题型．
【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah＝k1，bh＝k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，求出k1﹣k2＝8． 【解答】解：∵AB∥x轴， ∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah＝k1，bh＝k2．
∵S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4， ∴k1﹣k2＝8． 故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】F3：一次函数的图象；H3：二次函数的性质． 【专题】53：函数及其图象．
第14页（共30页）
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决． 【解答】解：由二次函数的图象可知， a＜0，b＜0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b＜0，
∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限， 故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（ ）
A．2a
B．2b
C．2a﹣2b
D．﹣2b
【考点】4I：整式的混合运算． 【专题】11：计算题．
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【解答】解：S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a）， S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），
∴S2﹣S1＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab＝b（AD﹣AB）＝2b． 故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质． 二、填空题（每小题4分，共24分）
第15页（共30页）
13．（4分）计算：|﹣2018|＝ 2018 ． 【考点】15：绝对值． 【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案． 【解答】解：|﹣2018|＝2018． 故答案为：2018．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键． 14．（4分）要使分式
有意义，x的取值应满足 x≠1 ．
【考点】62：分式有意义的条件． 【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案． 【解答】解：要使分式
有意义，则：x﹣1≠0．
解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1． 故答案为：x≠1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 15．（4分）已知x，y满足方程组【考点】97：二元一次方程组的解． 【专题】11：计算题．
【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【解答】解：原式＝（x+2y）（x﹣2y） ＝﹣3×5 ＝﹣15 故答案为：﹣15
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 1200（﹣1） 米（结果保留根号）．
，则x2﹣4y2的值为 ﹣15 ．
第16页（共30页）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】1：常规题型．
【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长． 【解答】解：由于CD∥HB，
∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30° 在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45° ∴AH＝CH＝1200米， 在Rt△HCB，∵tan∠B＝∴HB＝＝
＝1200
＝（米）．
∴AB＝HB﹣HA ＝1200＝1200（
﹣1200 ﹣1）米
﹣1）
故答案为：1200（
【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．
17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3或4
．
第17页（共30页）
【考点】LE：正方形的性质；MC：切线的性质． 【专题】559：圆的有关概念及性质．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形； 【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
第18页（共30页）
∴PM＝PK＝CD＝2BM， ∴BM＝4，PM＝8， 在Rt△PBM中，PB＝综上所述，BP的长为3或4
＝4．
．
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD＝90°，则cosB的值为
．
【考点】L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE＝EH，设BE＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．
∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝2，AD∥CH，
第19页（共30页）
∴∠ADM＝∠H，
∵AM＝BM，∠AMD＝∠HMB， ∴△ADM≌△BHM， ∴AD＝HB＝2， ∵EM⊥DH，
∴EH＝ED，设BE＝x， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90° ∵AE2＝AB2﹣BE2＝DE2﹣AD2， ∴22﹣x2＝（2+x）2﹣22， ∴x＝
﹣1或﹣
＝．
﹣1（舍弃）， ，
∴cosB＝故答案为
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题有8小题，共78分）
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x＝﹣． 【考点】4J：整式的混合运算—化简求值． 【专题】1：常规题型．
【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+3x﹣x2＝x+1， 当x＝﹣时，原式＝﹣+1＝．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
第20页（共30页）
（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点； （2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点． 【考点】JB：平行线的判定与性质；N4：作图—应用与设计作图． 【专题】13：作图题．
【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD； （2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC． 【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求．
【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
第21页（共30页）
（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； （3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数． 【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图． 【专题】1：常规题型．
【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数； （2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角． （3）总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4的百分比即得所求． 【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人， 由扇形图知：A级人数占总调查人数的10% 所以：20÷10%＝20×
＝200（人）
即本次调查的学生人数为200人； （2）由条形图知：C级的人数为60人 所以C级所占的百分比为：
×100%＝30%，
B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%＝15%， B级的人数为200×15%＝30（人） D级的人数为：200×45%＝90（人） B所在扇形的圆心角为：360°×15%＝54°． （3）因为C级所占的百分比为30%，
所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%＝360（人） 答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．
第22页（共30页）
【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比＝
×100%，扇形图中某项圆心角的度数＝360°×该项在扇形图中的百分比．
22．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y＝﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求二次函数解析式． 【专题】11：计算题；535：二次函数图象及其性质．
【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可； （2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．
【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+；
（2）抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y＝﹣x2．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
第23页（共30页）
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质． 【专题】14：证明题．
【分析】（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，由于∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD＝∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）
（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A＝∠CBE＝45°，BE＝BF，从而可求出∠BEF的度数．
【解答】解：（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB， ∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS） （2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°，
由（1）可知：∠A＝∠CBE＝45°， ∵AD＝BF， ∴BE＝BF， ∴∠BEF＝67.5°
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数
第24页（共30页）
相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？ 【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用． 【专题】1：常规题型．
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元． 根据题意，得，解得 x＝40．
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为
＝50．
＝
，
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460， 解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润＝售价﹣进价．
25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
第25页（共30页）
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长； （2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求【考点】SO：相似形综合题．
【专题】152：几何综合题；55D：图形的相似．
【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得；
（2）先证△ABC∽△DCA得CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；
（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知BH＝BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC＝BH•DB，即AB•BC＝BD2，结合AB•BC＝AC2知BD2＝AC2，据此可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3， ①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝； ②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝； ③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝所以当AC＝或或
（2）∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， 又∵∠BAC＝∠ADC， ∴△ABC∽△DCA， ∴
＝
，即CA2＝BC•AD，
时，△ABC是比例三角形；
（负值舍去）；
的值．
∵AD∥BC，
第26页（共30页）
∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴CA2＝BC•AB， ∴△ABC是比例三角形；
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，
∵AB＝AD， ∴BH＝BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BHA＝∠BCD＝90°， 又∵∠ABH＝∠DBC， ∴△ABH∽△DBC， ∴
＝
，即AB•BC＝BH•DB，
∴AB•BC＝BD2， 又∵AB•BC＝AC2， ∴BD2＝AC2， ∴
＝
．
【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．
26．（14分）如图1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C
第27页（共30页）
是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一
点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值； （2）如图2，连结CE，当CE＝EF时， ①求证：△OCE∽△OEA； ②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值． 【考点】MR：圆的综合题． 【专题】15：综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；
（2）①先判断出∠CDF＝2∠CDE，进而得出∠OAE＝∠ODF，即可得出结论；
②设出EM＝3m，AM＝4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；
（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论． 【解答】解：∵直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0）， ∴﹣×4+b＝0， ∴b＝3，
∴直线l的函数表达式y＝﹣x+3， ∴B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 在Rt△AOB中，tan∠BAO＝
第28页（共30页）
＝；
（2）①如图2，连接DF，∵CE＝EF， ∴∠CDE＝∠FDE， ∴∠CDF＝2∠CDE， ∵∠OAE＝2∠CDE， ∴∠OAE＝∠ODF，
∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形， ∴∠OEC＝∠ODF， ∴∠OEC＝∠OAE， ∵∠COE＝∠EOA， ∴△COE∽△EOA， ②过点E⊥OA于M， 由①知，tan∠OAB＝， 设EM＝3m，则AM＝4m， ∴OM＝4﹣4m，AE＝5m， ∴E（4﹣4m，3m），AC＝5m，∴ OC＝4﹣5m，
由①知，△COE∽△EOA， ∴
，
∴OE2＝OA•OC＝4（4﹣5m）＝16﹣20m， ∵E（4﹣4m，3m），
∴（4﹣4m）2+9m2＝25m2﹣32m+16， ∴25m2﹣32m+16＝16﹣20m， ∴m＝0（舍）或m＝∴4﹣4m＝∴E（
，
，3m＝），
， ，
（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G， ∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3，
第29页（共30页）
∴AB＝5，
∴AB×OG＝OA×OB， ∴OG＝∴AG＝
∴EG＝AG﹣AE＝连接FH， ∵EH是⊙O直径，
∴EH＝2r，∠EFH＝90°＝∠EGO， ∵∠OEG＝∠HEF， ∴△OEG∽△HEF， ∴
，
﹣r）＝﹣2（r﹣）2+
．
，
，
＝
×＝﹣r，
，
∴OE•EF＝HE•EG＝2r（∴r＝时，OE•EF最大值为
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
第30页（共30页）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容